环面多面体,即亏格为 1 的多面体,直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近,我在研究一些和环面多面体相关的话题,在这里和大家分享一些我的发现。
环面多面体,即亏格为 1 的多面体,直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近,我在研究一些和环面多面体相关的话题,在这里和大家分享一些我的发现。
我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼,有一个方形的蛋糕,还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗?
提示:上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。
随着常数 m 和 n 的变化,参数方程 x = sin(m · t), y = sin(n · t) 将会画出一系列漂亮的曲线。法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 曾在 1857 年研究过这类曲线,因此人们把它叫做 Lissajous 曲线。我在 reddit 上看到了一个 Lissajous 曲线的动画演示,觉得看起来确实非常爽;但那个动画里没有解释曲线的生成方法,很多细节也有让人不太满意的地方,于是决定自己制作一个。这个动画展示的是 m = 13, n = 18 时的 Lissajous 曲线。
下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目,稍有改动。
屋子里有若干个人,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗?有可能。比方说,屋子里有 9 个人,其中 8 个人正好组成 4 对朋友,第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系,其中每个点代表一个人,如果两个人是朋友,就在他们之间连一条线。
除了上图展示的情况之外,我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上,上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况,比如下面这样:
无穷多个相同大小的正方形格子排成一排,向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次,你可以对它们做下面两种操作之一:
初始时,某个格子里有 1 个原子。现在,你需要在若干次操作之后,让它右移 6 格。也就是说,你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图(其中,数字 1 表示该格内的原子数为 1 )。继续阅读下去之前,你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子,用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。