Lissajous 曲线的动画演示

随着常数 m 和 n 的变化,参数方程 x = sin(m · t), y = sin(n · t) 将会画出一系列漂亮的曲线。法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 曾在 1857 年研究过这类曲线,因此人们把它叫做 Lissajous 曲线。我在 reddit 上看到了一个 Lissajous 曲线的动画演示,觉得看起来确实非常爽;但那个动画里没有解释曲线的生成方法,很多细节也有让人不太满意的地方,于是决定自己制作一个。这个动画展示的是 m = 13, n = 18 时的 Lissajous 曲线。

UyHiP 趣题:几个特殊的强正则图

下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目,稍有改动。

屋子里有若干个人,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗?有可能。比方说,屋子里有 9 个人,其中 8 个人正好组成 4 对朋友,第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证,任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系,其中每个点代表一个人,如果两个人是朋友,就在他们之间连一条线。

除了上图展示的情况之外,我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上,上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况,比如下面这样:

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趣题:为什么偏偏是 6 格?

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排,向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次,你可以对它们做下面两种操作之一:

  • 选择某个格子,保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个,从而使得该格子内的原子数量减 1 ,两边的邻格里的原子数量分别加 1。
  • 选择某个格子,保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来,从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ,该格子内的原子数量加 1。

初始时,某个格子里有 1 个原子。现在,你需要在若干次操作之后,让它右移 6 格。也就是说,你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图(其中,数字 1 表示该格内的原子数为 1 )。继续阅读下去之前,你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子,用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。

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捡石子游戏、 Wythoff 数表和一切的 Fibonacci 数列

让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上,两人遵循棋子的走法,轮流移动棋子,但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角,谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置,那么你愿意先走还是后走?显然,答案与我们放的是什么棋子有关。

这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象,不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角,所以我们也就不分析了。因此,我们只需要研究王、后、车三种情况。

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26 个比较概率大小的问题

你的数学直觉怎么样?你能凭借直觉,迅速地判断出谁的概率大,谁的概率小吗?下面就是 26 个这样的问题。如果你感兴趣的话,你可以先扫一遍所有的问题,再逐一阅读答案,看看你猜对了多少。这篇文章很长,你可以考虑把它加入书签,每天看几个问题。

 

1.A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏, A 、 C 两人同盟, B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人(每人获得 13 张牌)后,下面哪种情况的可能性更大一些?

A.A 、 C 两人手中都没有梅花
B.A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花
C.上述两种情况的出现概率相同

A 、 C 两人手中都没有梅花,等价于 B 、 D 两人手中囊括了所有的梅花,它的概率与 A 、 C 两人手中囊括所有梅花的概率相同。因此,这个问题的答案显然是 C 。

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