趣题:为什么偏偏是 6 格?

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排,向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次,你可以对它们做下面两种操作之一:

  • 选择某个格子,保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个,从而使得该格子内的原子数量减 1 ,两边的邻格里的原子数量分别加 1。
  • 选择某个格子,保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来,从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ,该格子内的原子数量加 1。

初始时,某个格子里有 1 个原子。现在,你需要在若干次操作之后,让它右移 6 格。也就是说,你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图(其中,数字 1 表示该格内的原子数为 1 )。继续阅读下去之前,你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子,用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。

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捡石子游戏、 Wythoff 数表和一切的 Fibonacci 数列

让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上,两人遵循棋子的走法,轮流移动棋子,但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角,谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置,那么你愿意先走还是后走?显然,答案与我们放的是什么棋子有关。

这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象,不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角,所以我们也就不分析了。因此,我们只需要研究王、后、车三种情况。

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26 个比较概率大小的问题

你的数学直觉怎么样?你能凭借直觉,迅速地判断出谁的概率大,谁的概率小吗?下面就是 26 个这样的问题。如果你感兴趣的话,你可以先扫一遍所有的问题,再逐一阅读答案,看看你猜对了多少。这篇文章很长,你可以考虑把它加入书签,每天看几个问题。

 

1.A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏, A 、 C 两人同盟, B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人(每人获得 13 张牌)后,下面哪种情况的可能性更大一些?

A.A 、 C 两人手中都没有梅花
B.A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花
C.上述两种情况的出现概率相同

A 、 C 两人手中都没有梅花,等价于 B 、 D 两人手中囊括了所有的梅花,它的概率与 A 、 C 两人手中囊括所有梅花的概率相同。因此,这个问题的答案显然是 C 。

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趣题:如果每次只增加一个区域的话

著名的四色定理(four color theorem)告诉我们,如果一个地图由若干个连通区域构成(没有飞地),那么在给每个区域染色时,为了让相邻区域的颜色不同,最多只需要四种颜色就足够了。不过,这个结论成立有一个条件:整个地图已经事先确定了。如果我们每次只增加一个区域的话呢?具体地说,如果每次你给一个区域染色之后,我再画出下一个区域,并且之前已经染好颜色的区域不能再修改了,那么四种颜色还足够吗?这里,我们假设,在染色时,你总是遵循一个非常朴素的贪心策略:用第一个合法的颜色给每个新的区域染色。下面这个例子告诉我们,在这些假设下,四种颜色就不够了,有时五种颜色是必需的。

我们的问题就是,在这些假设下,五种颜色就一定够吗?有没有可能构造出某个情况,使得六种颜色是必需的?有没有可能构造出某个情况,使得七种颜色是必需的?

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趣题:用 26 次机会找出任意一张对方想要的牌

看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先,看守从一副牌中取出大小王,将剩余的 52 张牌洗好,并在桌子上从左至右地把它们摆成一排,每张牌都是正面朝上。然后,看守让囚犯 A 来到桌前,允许囚犯 A 观察牌面,并交换其中两张牌的位置。接着,看守将囚犯 A 关回牢房,把所有牌全都翻到背面朝上(但位置不变),让囚犯 B 来到桌前。看守随便报出一张牌的花色和点数(比如“梅花 3”),要求囚犯 B 找出这张牌。囚犯 B 每次可以翻开任意一张尚未翻开的牌,但一共只有 26 次机会。如果囚犯 B 在这 26 次机会之内找到了看守想要的牌,则两名囚犯赢得游戏,无罪释放;如果囚犯 B 翻开了 26 张牌之后,还没找到看守想要的牌,则两名囚犯输掉游戏,立即死刑。在整个游戏开始之前,两名囚犯可以商量一个策略;游戏开始后,两人就不能有任何其他形式的交流。果不其然,这又是一个关满了数学天才的监狱。两名囚犯碰头后,很快就商量出了一种必胜的策略。这种必胜的策略是什么?

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