趣题:如果每次只增加一个区域的话

著名的四色定理(four color theorem)告诉我们,如果一个地图由若干个连通区域构成(没有飞地),那么在给每个区域染色时,为了让相邻区域的颜色不同,最多只需要四种颜色就足够了。不过,这个结论成立有一个条件:整个地图已经事先确定了。如果我们每次只增加一个区域的话呢?具体地说,如果每次你给一个区域染色之后,我再画出下一个区域,并且之前已经染好颜色的区域不能再修改了,那么四种颜色还足够吗?这里,我们假设,在染色时,你总是遵循一个非常朴素的贪心策略:用第一个合法的颜色给每个新的区域染色。下面这个例子告诉我们,在这些假设下,四种颜色就不够了,有时五种颜色是必需的。

我们的问题就是,在这些假设下,五种颜色就一定够吗?有没有可能构造出某个情况,使得六种颜色是必需的?有没有可能构造出某个情况,使得七种颜色是必需的?

 

 

 

 

 

 

 

 

事实上,对于任意的正整数 n ,我们都能构造出某个情况,使得 n 种颜色是必需的。下图显示的是 n = 6 的情况,我们很容易把它扩展到任意大的正整数 n 。

你可以在这里看到更多有关于这个问题的讨论: http://www.iread.it/map_colors.php

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