据说，爱出题也是 Geek 的一种特征。这几天在做语言工程课的期末大作业时，再一次见识了汉语里各种诡异的语法规则，然后突然想到了这样一种好玩的题型，于是竟然暂时放下手中的作业，花时间编了几个这样的题目来（感谢 Geek 小美女 localhost_8080 的帮助）。
下面的每一组词中，前五个词都具有某种共同的性质，这种性质是后面五个词都不具有的。你能猜出每组词所对应的那个性质吗？
(1) 反复、高兴、磨蹭、说笑、许多 | 地震、动静、金黄、巨大、雕刻
(2) 鱼、路、船、裙子、短信 | 山、剑、伞、文章、水母
(3) 锁、画、挂钩、标志、爱好 | 钟、鞋、密码、学问、照片
(4) 腿、门、气味、鱼刺、笔记本 | 手、电、建筑、铅笔、地球仪
(5) 车、地、桌子、屁股、筷子 | 水、胃、位置、大陆、晚餐
有一个正方形的房间，房间的四壁都是镜子。房间里有一个天使和一个恶魔。假设房间是一个单位正方形 [0, 1] × [0, 1] ，那么天使和恶魔便是这个正方形内的两个点 (a, b) 和 (c, d) 。恶魔想要在原地发射致命激光杀死天使（激光可以无限地在镜子间反射）。天使可以根据恶魔的位置，预先在房间里放置一些守卫为自己挡住激光（守卫实际上也是一个个点）。当然，天使可以在自己周围密密麻麻地放一圈守卫，围成一个封闭的圆形，从而让恶魔不管朝什么方向发射激光，最终都无法击中天使。我们的问题是，能把守卫的数量减少到可数个点吗？能把守卫的数量减少到有限个点吗？
这是一个非常经典的问题，我已经见过不止一次了。它可以重新叙述为很多更有趣的实际问题。去年的这个时候，网友 Spark 发来邮件，分享了他在看台球比赛时想到的一个问题：最少需要摆放多少个球，才能挡住白球到目标球的所有可能的路线，迫使对手犯规？如果我们把台球也抽象成一个一个的点，问题就和前面提到的情况一样了。
今天，我终于看到了这个问题的答案，颇为激动，在此和大家分享。
有一个半径为 10 米的圆形舞台，初始时舞台上的某个地方有一头狮子。这头狮子在舞台上以折线段的方式跑了 30 千米。求证：在整个过程中，这头狮子至少转了 2998 个弧度。
有时候，换一个角度思考，问题就会迎刃而解。
在集合 {1, 2, ..., n} 中选出尽可能多的子集，使得每个子集所含的元素个数都是奇数，但是任意两个子集的交集都含有偶数个元素。那么，我们最多能够选出多少个这样的子集来？
容易看出，我们至少可以选出 n 个子集。例如，当 n = 4 时， {1} 、 {2} 、 {3} 、 {4} 就满足要求。我们还能选出更多的子集来吗？简单地尝试后，你会觉得似乎不行。不过，这却并不是显然的，因为存在一些不那么平凡的方案，也能让子集的数量达到 n ，例如 {1, 2, 3} 、 {1, 2, 4} 、 {1, 3, 4} 、 {2, 3, 4} 这 4 个子集也是满足要求的。看来，证明最多只能选出 n 个子集，好像并不那么容易。
n 个小朋友在圆桌上坐成一圈。初始时，每个小朋友都拥有一定数量的糖。接下来，反复进行下面两个操作：
1. 如果有人手里的糖数是奇数，就向老师再要一颗糖，把手里的糖数补成偶数；
2. 每个人都把自己手中一半的糖传给他右边的人（同时接到从左边传过来的糖）。
证明：总有一个时刻，所有小朋友手中都会拥有相同数量的糖。
附加题：这是一个非常经典的问题。猜猜看我最早在什么地方看到的这个问题？
这篇文章收录了 Which Way Did the Bicycle Go 趣题集中一个非常有趣的问题：是否有可能在平面上画不可数个不相交的 8 ？答案是否定的。证明方法非常简单。对于任意一个 8 字形，在两个洞里各取一个有理点 P 、 Q （由于平面上的有理点是稠密的，这是总能办到的），则称这个 8 字形圈住了有理点对 (P, Q) 。注意到由于 8 字形不能相交，因此两个 8 字形不可能圈住同一对有理点。由于平面上的有理点对是可数的，因此 8 字形的数量也是可数的。
注意到，平面上显然能够容下不可数个不相交的直线段，也显然能够容下不可数个不相交的圆（比方说一系列同心圆）。在 Mathematical Puzzles 一书里， Peter Winkler 提出了这样一个问题：我们能在平面上写下不可数个不相交的字母 Y 吗？
在下面的问题中，你不能使用圆规，只能使用直尺作图。不过，你的直尺拥有两条平行边，你可以在作图时同时使用它们。你需要充分利用直尺的这个特点，完成下面几个作图任务。
1. 作出已知角的角平分线；
2. 作出已知线段的中点；
3. 作出已知圆的圆心；
4. 过已知点作已知直线的平行线。
假设你的直尺是无限长的。直尺的宽度是固定不变的。直尺不能用来度量长度。
今天的趣题来自 UyHiP 今年十月的趣题。
许多快递公司都依据物件的长、宽、高三边之和来收费，一些航空公司也要求托运行李的三边长相加不能超过某个限制。那么是否有人想过，有没有可能把一个三边之和较大的盒子装进一个三边之和较小的盒子里，从而骗取更低的费用呢？有人会说，恐怕不行吧，长宽高之和更大的盒子体积不也应该更大一些吗？不见得。比方说，盒子 A 的长宽高分别是 10 、 10 、 10 ，盒子 B 的长宽高分别是 9 、 9 、 12.1 。盒子 B 的三边长之和显然比盒子 A 要大，但体积只有 980.1 ，比前者要小近 20 个单位。那么，为什么就不能把盒子 B 沿斜线方向塞进盒子 A 呢？有人会敏锐地发现，在上面的例子中，盒子 A 的体对角线长为 17.3205 ，但盒子B的对角线长度达到 17.5616 ，显然无法完全放进盒子 A 里。不过且慢，我也能举出这样的例子，三边和更大的盒子其体积和对角线都比小的盒子的要小。盒子 A 的长宽高分别为 10 、 10 、 20 ，盒子 B 的长宽高分别为 7.1 、 16.5 、 16.5 。盒子 B 的长宽高之和比盒子 A 大，体积为 1932.98 ，对角线长度比前者小大约 0.1 。看来，为了解决这个问题，我们还需要从一些更巧妙的方面入手。
Matrix67 |
2011-12-29 20:07 | 
