Sep 3

    刚刚看到一道智力题,颇有些意思,说来给大家听听。我把题意稍微改了一下,原题中的 XX 侠是一个(不太容易解释的) lynch mob 。

    某座城市里发生了一起命案,已经确定凶手是 8 个嫌疑犯之一。经过很多可靠的调查,城南和城北的两名警探各自独立地把嫌疑犯的名单缩减到了两个人。现在,两名警探正在通电话,他们试图对比一下彼此的调查结果。如果他俩的嫌疑犯名单中正好只有一处重合,他们就能确定出凶手的身份了。但问题是,这座城市里有一个伸张正义、凌驾于法律之上的 XX 侠,他正在窃听两名警探的通话。如果他从中获知了凶手的身份,他将在警方实施拘捕之前先杀死凶手。
    现在, XX 侠已经知道了那 8 个嫌疑犯是谁,但不知道两名警探各自都把目标锁定在了哪两个人上。这两名警探之前从未见过面,这通电话是他们俩第一次进行交流。他们俩能成功地确定凶手的身份,而又不让 XX 侠知道凶手是谁吗?
    (当然,这里我们不允许使用那些基于数论的公钥加密体系,不然题目就没啥意思了)

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Aug 16

目前,我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后,我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。

推理
1. 下一个图形是什么?

 
2. 小 A 和小 B 玩游戏。小 A 取出一副扑克牌并去掉大小王,剩下红色的牌和黑色的牌各 26 张。洗好牌后,小 A 依次翻开每一张牌,让小 B 看到牌的颜色。小 B 可以在任意时刻打断小 A ,并打赌“下一张牌是红色”。如果下一张牌真是红色,小 A 给小 B 一块钱;如果下一张牌是黑色的,小 B 输给小 A 一块钱。注意,小 B 必须要在某个时刻下赌注,并且机会只有一次;如果他一直没打断小 A ,则默认他赌最后一张牌是红色。
小 B 的最佳策略是什么?在这种策略下,他有多大的概率获胜?

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Aug 8

    一名初三的学生刘小坤给我提出了这样的问题:

给你一条线段 AB ,再预先给你一条平行于线段 AB 的直线 l 。请只用直尺作出线段 AB 的中点。
 
  
 

    你能想到该怎么做吗?

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Jul 8

从本月起,我开始在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后,我将在 Blog 上同步更新。

 
推理:
1. 老王熬夜工作到凌晨 2 点多时,实在不行了,倒在床上就开始呼呼大睡。睡觉前他看了一下闹钟,发现了一件有趣的事情——时钟上的时针和分针正好重合在了一起。早晨 8 点多时,老王被闹钟闹醒。他看了一下闹钟,又发现了一件有意思的事——此时时钟上的时针和分针正好指向完全相反的方向。老王究竟睡了多久呢?不足 6 个小时, 6 个多小时,还是正好 6 个小时?

2. 小 A 、小 B 和小 C 竞选推理协会的会长,有 99 个人参与了投票(当然,三位候选人是不能参与投票的)。唱票后,三位候选人惊奇地发现,每个人各得了 33 票。为了分出胜负,小 A 提议,每个投票人都选出自己心目中的“第二人选”。巧合的是,第二轮投票之后,三个人又是各得 33 票。接下来该怎么办呢?小 A 注意到了投票的人数是奇数,于是想到了一个一定能决出胜负的投票方案:所有投票人先在小 B 和小 C 当中进行投票,获胜者再和小 A 进行 PK 。这时,小 B 突然站出来反对:这种方案是不公平的,这对小 A 明显更有利一些。小 B 的说法对吗?

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Jun 30

    前几天,我看到了这样一个问题:如何用火柴棒准确地搭出一个正方形?注意,由于没有任何工具可以让两根火柴棒拼成一个 90° 角,因此用四根火柴棒随意摆出一个四边形,最多也只能是个菱形。要想拼出一个正方形,我们还得想些奇招来。

      

    一个经典的做法如上图所示。先摆出线段 AB ,下面我们将要确定线段 AK 的位置,使得两条线段成 90° 角。在 AB 上随意找一个点 C ,以 AC 为底搭出两个腰为 1 的等腰三角形 DAC 和 EAC 。容易看出, D 、 E 是关于 AB 对称的两个点。搭建一系列等边三角形 △ADF 、 △AFG 、 △AGH ,确定出 D 关于 A 点的对称点 H 。这样, H 、 E 两点就关于 AK 轴对称了。再搭一个等边三角形 AIE ,则 I 、 G 两点也关于 AK 对称。因此, HG 和 IE 的交点 J 就在 AK 上,自然 AK 的位置也就确定出来了。重复执行以上操作,我们便能完成以 AB 为边的整个正方形。

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Jun 10

    如果 10 个非负数 x1, x2, ..., x10 满足 x1 + x2 + x3 + ... + x10 = 1 ,那么这 10 个数都均匀地分布在 [0,1] 之间吗?显然不是。为了说明这一点,最好的方法或许是把分布情况变得有限——我们可以把 [0,1] 区间划分成若干个小区间,并说明这 10 个数不可能均匀地分布在这些区间内。比方说,把 [0,1] 分成 [0, 0.25), [0.25, 0.5), [0.5, 0.75), [0.75, 1] 这四段:如果 10 个数都落在 [0, 0.25) 里,它们的和是有可能为 1 的;但若 10 个数都落在 [0.75, 1] 里,显然它们的和不可能为 1 。一个有趣的问题由此产生:考虑 10 个数的 4^10 种分布,它们的和有可能为 1 的有多少情况?

 
 
    显然, 10 个区间的右端点之和一定比 1 大。因此,只要 10 个区间的左端点之和不超过 1 ,就可以保证在这些区间中选的数之和可能为 1 。不妨把区间 [0, 0.25), [0.25, 0.5), [0.5, 0.75), [0.75, 1] 依次编号为 0, 1, 2, 3 ,由于它们的左端点分别为 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 ,因此左端点之和不超过 1 相当于 10 个区间的编号之和不超过 4 。而和不超过 4 的 10 个非负整数,又与 4 个小球和 10 个隔板的排列顺序一一对应,它们一共有 C(14, 4) = 1001 种情况。但在这 1001 种情况中, (4, 0 ,0, ..., 0), (0, 4, 0, ..., 0), ……, (0, 0, 0, ..., 4) 这 10 种情况是要排除的,因为区间编号只有 0 到 3 。因此,在 10 个数的 4^10 种区间分布中,只有 991 种分布才满足它们的和可能为 1 。

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Jun 3

在准备一份数理逻辑的材料时,我创作了下面 10 个逻辑推理问题。在每个问题中,甲、乙、丙三人各说了一句话,你需要判断出每个人说的究竟是真话还是假话。每个问题都有唯一解。注意,与传统的逻辑推理题目不同,没有任何条件告诉你究竟有多少人在说真话,有多少人在说假话。解决问题时尽量避免用枚举法试遍所有 8 种可能,否则这将失去“逻辑推理”的意义。

 
(1) 甲:乙说的是假话
     乙:丙说的是假话
     丙:甲要么说的是真话,要么说的是假话

答案:显然,丙说的是真话。
        因此,乙说的是假话。
        因此,甲说的是真话。

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May 21
史上最牛的Crossword
icon1 Matrix67 |icon2 Brain Storm | icon4 2010-05-21 0:43 | icon317 Comments »

    这是一个由 Lee Sallows 创造的谜题。下面这个 Crossword 中有 6 个横向短语和 6 个纵向短语。每个短语都是形如“多少多少个某某字母”的形式,比方说 “THIRTEEN NS” 、 “EIGHT ES” 等等,它表示整个 Crossword 中恰好就有 13 个字母 N , 8 个字母 E 。由于整个 Crossword 中有 12 个短语,这就意味着 Crossword 的解里只含 12 个不同的字母。牛 B 就牛 B 在,这个 Crossword 有唯一解。你能找到这个解吗?

  

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