考虑这么一个 14 位数 02565413989732 ，如图所示，它的数字先逐渐变大，然后开始变小，再变大，再变小，再变大，再变小。我们就说，它一共包含了 6 个单调区间。我们的问题就是：一个 n 位数平均有多少个单调区间？为了避免歧义，我们假设任意两位相邻的数字都不相同，因而像 77765589911 这样的数我们就不考虑了。另外，大家可能已经注意到了，我们允许这个 n 位数以数字 0 开头。因而，更精确地说，我们的问题是：相邻数字都不相同的、允许以 0 开头的所有 n 位数当中，平均有多少个单调区间？
这个题目来自 1987 年 IMO 候选题。
下图中的图 (a) 是由三个绳圈组成的。这是一个非常经典的图形，叫做 Borromean rings 。 Borromean rings 有一个非常神奇的特点：它们是套在一起的，没有哪个绳圈能从中取出来；但是，仔细观察你会发现，每两个绳圈之间都并没有直接套在一起！
Borromean rings 还有一个听上去更离奇的性质：如图 (b) 所示，如果把其中任意两个绳圈真的套在一起，那么第三个绳圈就会自动脱落掉！为了看出这一点来，我们可以像图 (c) 那样，把其中一个绳圈缩小，让它紧紧地裹在另一个绳圈上，这下就很容易看出，它已经不再对第三个绳圈有任何限制作用了。
证明：对于任意一个三角形和任意一个大于等于 4 的正整数 n ，都存在一种把这个三角形分割成 n 个等腰三角形的方案。这个问题曾经出现在 1976 年的 Crux Mathematicorum 上。 1977 年， Gali Salvatore 给出了一个非常漂亮的解答。
你或许熟知一个非常经典的结论： Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … （头两项都是 1 ，此后每一项都是前两项之和）的相邻两项之比将会越来越接近黄金比例 0.618 ，不信请看：
1 / 1 = 1.0000000...
1 / 2 = 0.50000000...
2 / 3 = 0.66666667...
3 / 5 = 0.60000000...
5 / 8 = 0.62500000...
8 / 13 = 0.61538462...
13 / 21 = 0.61904762...
21 / 34 = 0.61764706...
34 / 55 = 0.61818182...
55 / 89 = 0.61797753...
89 / 144 = 0.61805556...
144 / 233 = 0.61802575...
… …
Fibonacci 数列究竟是怎么和黄金比例扯上关系的？一个简单的解释就是，假设相邻两项之比存在一个极限，那么到了无穷远的时候，连续的三个数 a, b, a + b 将会满足 a / b = b / (a + b) ，这正好就是黄金比例的定义。我最近用 Mathematica 做了一组动画，尝试着用图形化的方法更直观地展示 Fibonacci 数列和黄金比例之间的联系。
下面这个问题来自于 IMO 2010 中的第 5 题。桌子上有 B1 、 B2 、 B3 、 B4 、 B5 、 B6 共六个盒子，初始时每个盒子里面都有一枚硬币。允许以下两种操作：
(1) 选择一个非空的盒子 Bj （1 ≤ j ≤ 5），从 Bj 里拿走一枚硬币，然后在 Bj+1 里添加两枚硬币。
(2) 选择一个非空的盒子 Bk （1 ≤ k ≤ 4），从 Bk 里拿走一枚硬币，然后交换 Bk+1 和 Bk+2 里面的硬币数（这两个盒子里的硬币数都有可能是 0 ）。
是否有可能通过有限次操作，使得最后 B1 、 B2 、 B3 、 B4 、 B5 都是空的，并且 B6 里面恰好有 2010 ^ (2010 ^ 2010) 枚硬币（符号 ^ 表示乘方）？
1996 年 9 月 10 日，《旧金山纪事报》的体育版上登载了《巨人队正式告别 NL 西区比赛》一文，宣布了旧金山巨人队输掉比赛的消息。当时，圣地亚哥教士队凭借80场胜利暂列西区比赛第一，旧金山巨人队只赢得了 59 场比赛，要想追上圣地亚哥教士队，至少还得再赢 21 场比赛才行。然而，根据赛程安排，巨人队只剩下 20 场比赛没打了，因而彻底与冠军无缘。
有趣的是，报社可能没有发现，其实在两天以前，也就是 1996 年 9 月 8 日，巨人队就已经没有夺冠的可能了。那一天，圣地亚哥教士队还只有 78 场胜利，与洛杉矶道奇队暂时并列第一。此时的巨人队仍然是 59 场胜利，但还有 22 场比赛没打。因而，表面上看起来，巨人队似乎仍有夺冠的可能。然而，根据赛程安排，圣地亚哥教士队和洛杉矶道奇队互相之间还有 7 场比赛要打，其中必有一方会获得至少 4 场胜利，从而拿到 82 胜的总分；即使巨人队剩下的 22 场比赛全胜，也只能得到 81 胜。由此可见，巨人队再怎么努力，也不能获得冠军了。
在美国职业棒球的例行赛中，每个球队都要打 162 场比赛（对手包括但不限于同一分区里的其他队伍，和同一队伍也往往会有多次交手），所胜场数最多者为该分区的冠军；如果有并列第一的情况，则用加赛决出冠军。在比赛过程中，如果我们发现，某支球队无论如何都已经不可能以第一名或者并列第一名的成绩结束比赛，那么这支球队就提前被淘汰了（虽然它还要继续打下去）。从上面的例子中可以看出，发现并且证明一个球队已经告败，有时并不是一件容易的事。为了说明这一点，我们展示一组虚构的数据（这是在 1996 年 8 月 30 日美国联盟东区比赛结果的基础上略作修改得来的），如下表所示。
| Team | 胜 | 负 | 余 | 纽约 | 巴尔的摩 | 波士顿 | 多伦多 | 底特律 |
| 纽约 | 75 | 59 | 28 | 0 | 3 | 8 | 7 | 3 |
| 巴尔的摩 | 72 | 62 | 28 | 3 | 0 | 2 | 7 | 4 |
| 波士顿 | 69 | 66 | 27 | 8 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 多伦多 | 60 | 75 | 27 | 7 | 7 | 0 | 0 | 0 |
| 底特律 | 49 | 86 | 27 | 3 | 4 | 0 | 0 | 0 |
其中，纽约扬基队暂时排名第一，总共胜 75 场，负 59 场，剩余 28 场比赛没打，其中和巴尔的摩还有 3 场比赛，和波士顿还有 8 场比赛，和多伦多还有 7 场比赛，和底特律还有 3 场比赛（还有 7 场与不在此分区的其他队伍的比赛）。底特律暂时只有 49 场比赛获胜，剩余 27 场比赛没打。如果剩余的 27 场比赛全都获胜的话，是有希望超过纽约扬基队的；即使只有其中 26 场比赛获胜，也有希望与纽约扬基队战平，并在加赛中取胜。然而，根据表里的信息已经足以判断，其实底特律已经没有希望夺冠了，大家不妨自己来推导一下。
有一个三角形，三边长分别为 a 、 b 、 c ，其中 a 、 b 两条边夹角为 60° 。分别以 a 、 b 、 c 为边向外作等边三角形。求证：前两个等边三角形的面积之和，减去第三个等边三角形的面积，将等于原三角形的面积。
如果你是刚来这个 Blog 的话……我已经把这个 Blog 里最精彩的篇章，以及我最想补充的内容，用我心目中最理想的线索，有机地整合到了一起。
Matrix67 |
2013-05-24 23:11 | 
