若干个顶点（vertex）以及某些顶点对之间的边（edge）就构成了一个图（graph）。如果图 G 和图 H 的顶点数相同，并且它们的顶点之间存在着某种对应关系，使得图 G 中的两个顶点之间有边，当且仅当图 H 中的两个对应顶点之间有边，我们就说图 G 和图 H 是同构的（isomorphism）。直观地说，两个图是同构的，意思就是它们本质上是同一个图，虽然具体的画法可能不一样。下面的两个图就是同构的。其中一种顶点对应关系是： 1 – a, 2 – c, 3 – d, 4 – b, 5 – e, 6 – g, 7 – h, 8 – f 。
目前，人们还没有找到任何高效的算法，能迅速判断出两个图是否同构。在普通计算机上，判断两个图是否同构，这需要花费大量的时间。因此，人们经常以图的同构为例，来解释复杂度理论和现代密码学中的诸多概念。
假设你家里的计算机十分强大，能很快判断出两个图是否同构，还能在两个图确实同构的情况下，给出一种顶点对应关系。但你的同桌家里的计算机却非常弱，没法做什么大型运算。课堂上，老师向全班展示了两个很复杂的图，不妨把它们叫作图 G 和图 H 。老师布置了一个特别的选做题：判断出这两个图是否同构。每个同学都可以提交答案，答案里只需要写“是”或者“不是”即可。按时提交答案并答对者，期末考试会获得 5 分加分；按时提交答案但答错了的，期末考试成绩将会倒扣 30 分；不参与此活动的同学，期末考试既不加分也不扣分。显然，每个同学都不敢随意提交答案，除非百分之百地能保证自己获得的答案是正确的。回到家后，借助家里的超级计算机，你很快判断出了这两个图是同构的。你给你的同桌发送了信息：“我已经算出来了，这两个图是同构的。”但是，你的同桌却回复说：“你不会是骗我的吧？”你打算怎样说服他，这两个图确实是同构的呢？
