把 6 分成一个或多个正整数之和，本质不同的方案只有以下 11 种：
| 分拆方案 | 含有多少种不同的数 |
| 6 | 1 |
| 5 + 1 | 2 |
| 4 + 2 | 2 |
| 4 + 1 + 1 | 2 |
| 3 + 3 | 1 |
| 3 + 2 + 1 | 3 |
| 3 + 1 + 1 + 1 | 2 |
| 2 + 2 + 2 | 1 |
| 2 + 2 + 1 + 1 | 2 |
| 2 + 1 + 1 + 1 + 1 | 2 |
| 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 | 1 |
其中，每一行右边的那个数表示，该分拆方案中含有多少种不同的数。把右列的所有数全部加起来，结果是 19 。神奇的是，如果你数一数所有分拆方案中 1 出现的总次数，你会发现结果也是 19 。
这并不是巧合。事实上，对于任意一个正整数来说，各个分拆方案中不同的数的个数之和，一定都等于所有方案中 1 出现的总次数。这是为什么呢？这个结论还有一个比较直接的推广，你能想到吗？
（一）一个博弈游戏
让我们来玩一个游戏。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了，谁就输了。
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1969 年， David Klarner 提出了这样一个问题：能否把一个长方形划分成奇数个全等的小块，并且这些小块不能是小长方形？如果把问题改为偶数个小块，这件事情是很容易做到的，如下图所示。对于奇数个小块的情况，问题显然就没有那么简单了。继续阅读下去之前，你不妨先想一想。
下图是由 288 个相同的小立方体拼成的一个立体图形，它有一个非常独特，非常难能可贵的性质。要想用若干个相同的小立方体构造出一个具有同样性质的立体图形，这绝对不是一件容易的事情。事实上，下图已经是目前已知的满足该性质的立体图形中所用小立方体个数最少的了。你能猜出这个性质是什么吗？
我们很容易在平面内放置很多点，使得任意两点确定的直线都只经过这两个点——你需要做的，仅仅是让任意三点都不共线就行了。那么，能否在平面内放置若干个点，使得任意两点确定的直线总是恰好经过三个点呢？更一般地，对于任意正整数 n > 2 ，能否在平面内放置若干个点，使得任意两点确定的直线总是恰好经过 n 个点呢？当然，我们要排除掉所有点都共线这种平凡的情况。
记得我很小的时候就想过这个问题。小时候有一种经典的智力题，大致就是叫你把多少多少棵树种成多少多少行，使得每行都有多少多少棵树。比方说，如何把 9 棵树种成 10 行，使得每行都有 3 棵树？答案如下图所示。但请注意，其实图中还有不少直线上只有 2 棵树，比如那条蓝色的虚线。
当时，我就曾经想过，如果树苗足够多，能否让每条可能的直线上都种有 3 棵树呢？于是，我没事儿就来尝试一番，但每一次都以失败告终。后来我才知道，这是不可能的。根据 Sylvester–Gallai 定理，在任意一个有限点集中，一定有一条直线恰好只经过两个点，除非所有的点都是共线的。这个定理有一个非常漂亮的证明，这里不得不提。假设存在某个点集，满足任意两点确定的直线上都存在其他的点。画出所有可能的直线，作出每一个点到每一条直线的垂线段，然后找出所有这些垂线段中最短的一条。不妨假设这条最短的垂线段是点 P 到某条直线 l 的垂线段，垂足点记作 H 。由假设， l 上至少有三个点，因此至少有两个点分布在垂足 H 的同一侧（允许和垂足重合）。不妨把这两个点记作 R 、 Q ，如下图所示。由于我们画出了所有可能的直线，因此 P 、 R 两点之间也有一条直线；此时， Q 到 PR 的垂线段就是更短的垂线段，于是产生矛盾。要想避免这样的矛盾，唯一的方法就是，所有的垂线段长度都为 0 ，换句话说我们根本作不出所谓的垂线段。这也就是所有点全都共线的情况。
我们刚才证明了，在一个点集中，只经过两点的直线一定存在，除非所有点全都共线；因此，当 n > 2 时，我们自然就无法让每条可能的直线上都有 n 个点，除非所有点全都共线。