曾经想过要写一篇科幻小说，讲一种生活在空壳星球内表面的文明，如何发现自己的星球是圆的，如何成功地环游世界一周，又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气，幸好当初没写这样的文章，不然就闹笑话了。今天我才知道，空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的，因为空壳星球内的任意一点都没有重力。
这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近，产生的重力作用更显著，但可惜这部分土地并不多。星球的更多部分将会位于你的头上，但可惜它们又离你太远了，影响也不会太大。近的部分太小，大的部分又太远，这两者很可能是一种平衡的状态。
给定 n 个村庄的位置，要想把他们全部连通，最少需要修建多长的公路？这个问题被称为 Steiner 问题，是由数学家 Jakob Steiner 提出来的。注意，和最小生成树不同的是，公路是可以在中间汇合、分岔的。目前已经知道，Steiner 问题是 NP-hard 的，在规模很大的情况下，不能有效地得出最优解来。
然而，大自然却是无敌的，它可以迅速秒杀这样的难题。由于肥皂膜总会试图让自己的表面积最小，利用肥皂膜实验，我们可以轻易获得 Steiner 问题的解。我在很多书上都看到过肥皂膜实验的方法，不过却从没见过真正的实验视频。今天我终于看到了这样的视频，把它搬进墙来，和大家分享。这个视频也很好地解释了一个普遍存在的误区：说肥皂膜实验一举解决了 NP 问题是不恰当的，因为这个实验只能找到极小值，并不能找到最小值，运气不好的话，实验结果会是失败的。
这个 Blog 几乎一直在讲数学趣题，却很少提到物理趣题。其实，我个人觉得，物理也是相当好玩的（我是化学不好才选的文科）。隐约记得初中搞物理竞赛时，曾见过大量让人大呼过瘾的好题。前几天看到了一个绝好的网站，里面有相当多的物理题目，让我激动了好一阵子。我搜集整理了里面的一些好题，加上了我自己的一些补充，在这里和大家分享。不过，由于我的物理实在不怎么样，如果出现什么错误，请大家及时纠正。
那个网站上的“官方解答”并不见得靠谱，也不知是因为我没有悟到，还是因为它真的不靠谱。不管怎样，我给出的基本上还是它的官方答案。其实，阅读过程中你会发现，答案是次要的，真正有趣的其实是问题本身。
几乎从没写过物理题目的 Blog ，想要用一篇文章总结物理趣题，因此毫无疑问——这是一篇非常，非常，非常长的文章。建议大家用自己喜欢的方式做个书签，一天看一点。如果觉得还不过瘾，推荐订阅物理大牛 EagleFantasy 的 Blog。
另外，此日志一出，想必又会收到无数邮件，询问我作图用的什么工具的。在此就先回答了——请见 FAQ 。
开始吧。
这是今天在 MathPuzzle 上看到的视频。视频里演示了单平衡多面体、Peaucellier 连杆等非常帅气的几何图形和机械系统的实物版。这些几何构造各显神通，来头都不小，都是非常不错的数学话题。
大家看完这个视频后的感觉估计会跟我一样：为什么没有 Gömböc 呢？
公式 h = (1/2)·g·t^2 里， t 头上的平方并不奇怪。显然，物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的，高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位，是米除以平方秒的形式；为了得出一个以长度为单位的结果，我们必须要消除分母位置上的“平方秒”，因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。
类似地， E = m·c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米，牛本身又是千克乘以米每平方秒，刨根到底能量的单位就该是 千克·(米^2)/(秒^2) ，正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。
在数学中，量纲法也是无处不在。 n 维球的体积公式一定是半径的 n 次方乘以一个系数， Heron 公式 A = √s(s - a)(s - b)(s - c) 看似复杂的外表下也遵循着量纲这一金科玉律。给定 n 个数，我们有多种定义其平均数的方案，包括所有数之和的 n 分之一（算术平均数），所有数乘积的 n 次方根（几何平均数），所有数的倒数和的倒数的 n 倍（调和平均数），所有数的平方和的 n 分之一的平方根（均方根），等等。由于一组数的平均值的量纲应该和这些数本身的量纲保持一致，因此在各种平均数的公式里，平方了就要开回去，取倒了还得倒回来，全乘在一起就得开 n 次方，这样才能得到同样类型的数。
自从在《怎样解题》里看到了量纲法，在学习和讲解数理知识时我便特别留意量纲，慢慢总结出上面这些用于说明量纲规律的经典例子。今天，我又看到了一个把量纲用得神乎其技的经典例子，在这里和大家分享。
突然想到在网上查查三体问题进展究竟如何，于是摸到了这么一个地方：
http://www.maia.ub.es/dsg/nbody
上面这个地方提供了多体问题中颇具代表性的 47 个解的数据，用的 gnuplot 格式。我选择了其中 30 个，用 Mathematica 读出数据，生成了 30 个直观的 gif 动画。大家将会看到，在引力的作用下，多颗星体可能会形成的一些极其诡异的轨道。后面的解越来越不平凡，可见多体问题之难。图片总共 7 M，服务器表示压力很大，转载勿盗链图片。
原来一直在想，有没有什么物理手段可以得到分形图形，没想到还真有。
看上去确实很帅。
视频来源：http://www.youtube.com/watch?v=S5-U8bazU7E
查看更多：http://tesladownunder.com/LowVoltagePower.htm#Wood%20burn%20fractals
Matrix67 |
2011-07-02 2:14 | 
