原来一直在想，有没有什么物理手段可以得到分形图形，没想到还真有。
看上去确实很帅。

视频来源：http://www.youtube.com/watch?v=S5-U8bazU7E
查看更多：http://tesladownunder.com/LowVoltagePower.htm#Wood%20burn%20fractals

    任意给定一个凸多边形和它内部的一个点，证明把这个点投影到该凸多边形的每条边所在直线上，至少会有一个投影点恰好落在边里。换句话说，过凸多边形内一点向每条边的所在直线作垂线，则总会有一个垂足恰好就在对应的边上。

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    在今天晚上的微观经济学课上，我又听到了一个比较有意思的东西。试着找找各种类型的连续函数f(x)，画出f'(x)和f(x)/x的函数图像，你会发现一个奇怪的现象：f'(x)与f(x)/x相交的地方都是f(x)/x取到极值的地方。简单地算一算，我们不难证实这个结论。f(x)/x的导数等于f'(x)/x - f(x)/x^2。将f'(x)=f(x)/x代入上式，可得f'(x)/x - f(x)/x^2 = f(x)/x^2 - f(x)/x^2 = 0。这就是说，当f'(x)与f(x)/x相等的时候，f(x)/x的导数一定等于0。有意思的是，这个结论还有一个非常直观的解释，你能想到吗？

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    说勾股定理是一切科学的基础恐怕一点也不夸张。一些最基本的物理定律就与勾股定理之间产生了完美的对应。在我初三学到动能的公式时，我就想到，动能与速度的平方成正比是有内在原因的，这正是由数理科学中最基本的定理——勾股定理——决定的。考虑一个质量为1的物体向正北方向运动，如果它的速度为a，那么所需要的能量就是(a^2)/2；类似地，让同一个物体以b的速度向正东方向运动，所需要的能量应该为(b^2)/2。如果把这两个力叠加在一起，我们就得到了这样一个事实：用(a^2)/2 + (b^2)/2的能量可以让物体往大致东北的方向运动，其速度正好就是一个以a和b为边的矩形的对角线长。因此，(a^2)/2 + (b^2)/2正好也就是对角线长度的平方的一半，这恰好与勾股定理的内容一致。可以说，我们用数学定理验证了一个物理定律；也可以说，我们用物理定律证明了一个数学定理。

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http://woodgears.ca/marbleadd/

    看完Proofs from THE BOOK的几何部分，我决定把书又放一放，开始阅读Infinity and the Mind。我承认我不该在当代文学史课上读这本书——读到第15页时，我看到了一段非常有趣的文字，竟然在课堂上放声大笑出来。不知道大家之前是否见过这个“思维实验”，我好像是第一次见到，它真的好搞笑。
    历史上，不同的人对宇宙空间有着不同的见解。古罗马哲学家Lucretius认为，宇宙是无限的。让我们来看一看他的经典论证。假设宇宙是有限的。我们往宇宙的边界投掷一根标枪。则我们将看到以下两种情况之一：这根标枪穿过边界飞向远方，这说明宇宙并无边界，它是无限的；或者这根标枪一头装上宇宙边界停了下来，这说明边界外“有东西”挡住了标枪，同样说明宇宙是无界的。

Update: 其实我想说的是，笑点不是古人的论证与现代科学的差距，而是论证自身用到的二难性所带来的滑稽效果与逻辑推理出奇宏大的力量；正如证明上帝不是万能的（上帝能否创造一块连自己也举不起来的石头），或者大球小球落下去的速度一样快之类的思维实验，它们总是让人会心一笑。

    有些时候，数学模型和物理世界相结合可能会得出一些不可思议的悖论，Gabriel喇叭就是最经典的例子。这里，让我们来看另一个有趣的例子。

  
    假设有一个无穷大的桌面，上面垂直地树立着一根有限长的金属杆。在这根金属杆的顶端用铰链连接一根无穷长的金属杆。这根无穷长的金属杆可以绕着活动关节处上下转动。让无穷长的金属杆随重力自由活动。注意到夹角α绝对不可能小于90度，因为我们的金属杆和桌面都是理想刚体，它们不能相交、穿透。这样的话，α只可能是90度。于是，荒唐的一幕发生了：这根无穷长的金属杆平行地悬在桌面上空，但却只有端点处这一个支撑点。

来源：http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/Infinity/InfiniteRod.shtml

    这个月月初就开始看《从一到无穷大》，花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度，一个多星期一本书已经近乎神速了。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识，前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见，很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章，我看到了另一个好玩的东西：随机游走(random walk)问题。
    随机游走问题是说，假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度，那么n次行动之后你离原点平均有多远（即离原点距离的期望值）。有趣的是，这个问题的二维情况反而比一维情况更加简单，关键就是一维情况下的绝对值符号无法打开来。先拿一维情况来说，多数人第一反应肯定是，平均距离应该是0，因为向左走和向右走的几率是一样的。确实，原点两边的情况是对称的，最终坐标的平均值应该是0才对；但我们这里考虑的是距离，它需要加上一个绝对值的符号，期望显然是一个比0大的数。如果我们做p次实验，那么我们要求的平均距离D就应该是

    其中d的值随机取1或者-1。这里的绝对值符号是一个打不破的坚冰，它让处于不同绝对值符号内的d值无法互相抵消。但是，当同样的问题扩展到二维时，情况有了很大的改变。我们把每一步的路径投射到X轴和Y轴上，利用勾股定理我们可以求出离原点的距离的平方R^2的值：

    一旦把平方展开后，有趣的事情出现了：这些X值和Y值都是有正有负均匀分布的，因此当实验次数p充分大时，除了那几个平方项以外，其它的都抵消了。最后呢，式子就变成了

    于是呢，就有平均距离R=sqrt(n) （准确的说是均方根距离）。我们得出，在二维平面内随机选择方向走一个单位的长度，则n步之后离出发点的平均距离为根号n。这是一个很美妙的结论。

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