多年以前，要想进入莫斯科国立大学的数学系，你必须通过四项入学考试；头两个都是数学考试，一个笔试，一个面试。在面试中，学生和考官都是一对一的，考官可以自由向学生提出任何他喜欢的问题。那时，为了筛选出他们不想要的应试者（主要是犹太人），很多考官都会出一些题目描述简单有趣、解答过程极其巧妙而又出人意料的问题。这些问题极具杀伤力，民间戏称其为“棺材问题”(coffin problems)。下面这个问题就是其中一个“棺材问题”：
    考虑一个空间四边形A1A2A3A4，它的四条边A1A2, A2A3, A3A4, A4A1都与一个给定的球相切。求证，这四个切点共面。
    为了更好地理解这个问题，考虑一个菱形的钢架沿对角线折叠，或者一个正四面体钢架去掉相对的两条棱。把这个空间四边形当成一个碗去接一个球，你会发现这个球卡在空间四边形中掉不下去了，此时它与四条边都相切。凭借我们的生活经验，我们很容易提出这个猜想：四个切点是共面的。

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    偶然路过这个地方，感觉像发财了一样。你可以看到Berkeley、Stanford、MIT等各大名校的教学录像链接，包括物理、数学、计算机、生物、经济等诸多学科。向来是很喜欢国外编写的教材的，今天发现国外课堂似乎也异常的精彩，特别是MIT，实在是太牛了。要强烈推荐的是Walter Lewin的物理课，从上个月开始他的课在网上相当火爆。看看下面的视频吧，我保证你从来没有见过如此激动人心的物理课：

    你可以在这里看到99年Walter Lewin的Physics I: Classical Mechanics，我这里用流媒体在线播放速度贼快。今天没事干，看了一下他的第一堂课，那是真的牛B。这40分钟完美地介绍了物理学的基本方法。引入物理单位时，Walter Lewin放映了一段经典短片Powers of 10，如果你还没看过的话一定要去看。最精彩的部分是Walter Lewin用物理单位的量纲检验法确定了物体坠落时间与物体高度、物体质量和重力加速度的关系。假设我们有t = h^a * m^b * g^c，由于等式左边是一个时间，等式右边也必须得出一个时间单位。这足以说明b=0，c=-1/2，以及a=1/2。于是我们知道了，t应该与h的平方根成正比关系（我们无法确定他们之间是否有常数以及这个常数是多少）。最后，我们还需要用实验来验证这一结论。由于我们不知道常数是多少，结论无法直接验证；但我们可以对不同的h做两次实验，把他们的结果相除，这样的话常数就会被除掉。换句话说，假如物体坠落的高度为原来的2倍，那么落地所需时间就应该是原来的根号2倍。Walter Lewin的实验证实了这一点，成功地演绎了完整的物理研究基本方法。嗯，真的很精彩。我还要接着看下去。

    这里是前几年算法导论课的教学录像，同样来自于MIT。课程所用的教材就是《算法导论》。如果你正在钻研《算法导论》的话，不妨去这里看看，说不定会有意外的收获。还是要给那个跟我说想学CS的MM说一声，《算法导论》真的是个好东西。

    Kaizo Super Mario本来是一个号称世界上最变态的Super Mario的ROM hack，有几段看上去非常折磨人的游戏视频在互联网上流传很广。当然，网上也有类似于XX秒快速通关之类的动画，但那看上去就太假了，显然是用SL大法搞出来的，体现不出这个hack的变态程度。有牛人突然想到，为什么不把两者结合起来，让视频同时展示出所有的尝试（就像科幻小说《一日囚》的“时间叠加”，或者电影The Next的“2分钟预见”），既能反映其变态程度，看上去又没那么折磨人。于是就有了下面这段另类的动画。动画做完后，此牛人突然恍然大悟：这不就是量子物理学中不确定性原理的一个绝佳的演示么？你可以在上面那个链接里读到一大篇与“多世界解释”(Many-Worlds Interpretation)有关的理论。

  

视频链接：http://www.vimeo.com/676234
消息来源：http://jandan.net/2008/03/16/quantum-super-mario.html

    上一次写这玩意儿已经是两个月前的事了，今天突然想起这一系列的东西我还没有写完。和上次一样，我们将对另一个几何问题作出光学和力学两种解释。由于前面已经有了不少铺垫，很多东西这里就不再重复了。

  
    椭圆是平面上到给定两点的距离之和为定值的点的集合。那两个定点就叫做椭圆的焦点。椭圆有一个神奇的性质：选定椭圆上的任意一点P，把它和两个焦点A、B相连，则PA和PB与椭圆在P点处的切线有相同的夹角。换句话说，PA和PB与法线的夹角相等，即入射角等于反射角。这样的话，任意一条从A出发的光线，经过椭圆壁的反射后总会经过另一个焦点B。假如有一个餐厅是椭圆形的，你的位置恰好位于椭圆的一个焦点上。这时你突然听到不知哪里传出的一男一女谈情说爱的声音，其肉麻程度不堪入耳，并且声音格外清晰。不用怕，这是因为那对男女正好坐在另一个焦点上，他们谈话的声音再小你也听得见，因为这些声音经过房间墙壁的反射后全汇聚到你这里来了。
    你可以用解析几何证明这一结论，不过其复杂程度令人望而生畏。这是我上学期做的最恶心的一道高数题。有趣的是，这个结论用Fermat原理（光总是沿着所花时间最短的路径传播）来解释的话，根本不需要运算，几句话就说清楚了。我们需要证明这样一个几何命题，椭圆上一点P与焦点A、B的连线到过P点的切线的夹角相等。把过P点的切线作出来后，我们可以一眼看出这个论断是正确的：从点A出发的光线经切线反射后过点B，则反射点一定就是点P，因为切线上所有其他的点P'都在椭圆外，折线A->P'->B都比A->P->B长。


  
    后来，我在《数学与猜想》中看到了另外一种物理证明方法，非常神奇。这个结论的正确性可以通过一个非常简单的力学模型揭示出来。看上图，我们在两个焦点间连接一条长度为2a的绳子，绳子上挂一个重物。注意到重物是挂在绳子上的，绳结处P是可以活动的。显然，P点的轨迹形成了一个椭圆。重物有不断下落的趋势，此时重力势能转化为动能；当整个力学系统静止时，重力势能达到最小，因此最终绳结P应该位于椭圆的最低点，该点处的切线正好是一条水平线。此时绳结P受到了三个力：重物M所产生的垂直向下的力，以及左右两边的绳子的拉力。由于物体保持平衡，两个拉力的合力必须竖直向上才行。但绳子内部的张力处处相等，两个方向上的拉力大小应该一样；如果它们的合力竖直向上，那么这两个力的方向与竖直方向的夹角必然相同。于是我们得到了和上面的讨论相同的结论：椭圆上的点与两焦点的连线到法线的夹角相等。

  

    星战系列显然考得最差。太空中传播声音，所有星球的重力都和地球一样，所有星球的气候都差不多，在太空中爆炸起火，躲避激光武器，超光速传输……星战系列几乎都占完了。

来源：http://digg.com/general_sciences/Bad_Movie_Physics_A_Report_Card_Chart
貌似最近引用了很多digg上的东西

    

一个很牛B的沙盒程序，可以模拟各种物理现象。适合用于物理教学。
很喜欢那个把东西变成水的效果:)

YouTube链接：http://www.youtube.com/watch?v=0H5g9VS0ENM
下载：http://www.acc.umu.se/~emilk/downloads.html

Ward Fleming把很多的圆珠笔笔珠夹在两片玻璃板间，并用马达让整个装置产生震动。
你可以看到两片玻璃板间形成了很多有趣的图案：

  

视频下载：http://www.mathpuzzle.com/Atomic_Model_1.2.mov
查看更多：http://pinscreens.net/gallery5.htm (貌似需要翻墙)

    据说，17世纪时，大数学家Fermat曾向意大利的物理学家和数学家Torricelli提出过这样一个问题：在已知锐角三角形ABC内求一点P，使得PA+PB+PC最小。Torricelli证明了，这个点是存在的，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。他还指出，若分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形ABC'、BCA'、ACB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，交点即为所求的点P。这个点后来被称为Fermat点，通常记作F。这个定理有很多种证明，这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。
  
    考虑三角形内任一点P，将△ABP绕点B旋转60°得到△C'BP'。显然，△BPP'是等边三角形，PB=P'P；同时，PA也转移到了C'P'，于是PA+PB+PC=C'P'+P'P+PC，P点到三个顶点的距离和转换为了一条从C'到C的折线段。注意C'的位置是和P无关的（C'AB始终成等边三角形），因此折线段C'P'PC的长度的最小值即为CC'的长度。这个最小值是可以达到的，即P和P'可以恰好落在CC'上。如果点P在CC'上且∠APB=120°，则旋转之后∠C'P'B也等于120°，正好与∠BP'P组成一个平角，于是C'、P'、P、C四个点都在一条直线上，C'P'+P'P+PC达到最小。这个点就是我们要求的Fermat点F。注意这个点F满足以下两条性质：在等边三角形顶点C'与原三角形顶点C的连线上，对AB张角为120°。由对称性，∠BFC和∠CFA也都等于120°，且点F同时也在BB'和CC'上。这也说明了为什么AA'、BB'、CC'三线共点。

  
    这个题目真正有趣的地方在于，它有一个非常简单的物理解法。我们可以用Fermat原理来说明，为什么Fermat点F满足∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。假设我们固定AF的长度，那么F点的轨迹是一个以A为圆心的圆。当BF+FC达到最小时，路径B->F->C必然符合光的传播性质，反射点F满足入射角等于反射角，也就是说AF的延长线（即法线）平分∠BFC。同样地，固定BF的长度，则要想AF+FC最小，BF的延长线必须平分∠AFC。类似地，还有CF的延长线平分∠AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时，AF+BF+CF才能达到最小，否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等，我们立即看到，右图中所有这6个角全都等于60°。这样，我们就得到了先前证明的结论：存在点F使得它到A、B、C的距离和最小，此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。

    上面的这个问题有一个扩展，叫做广义Fermat点问题。考虑平面上n个点A1, A2, ..., An，每个点都有一个权值W1, W2, ..., Wn，广义Fermat点是这样的一个点P，它使得ΣPAi*Wi达到最小。广义Fermat点更具一般性，有非常高的实用价值。比如，城区里有n个住宅区，第i个住宅区里有Wi个人，问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。目前，广义Fermat点问题还没有一般结论，但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以用力学模拟法说明，这个广义Fermat点是唯一存在的。事实上，我们可以建立力学模型找出这个点来。
  
    取一块木板，在木板上标出n个点所在的位置，各钻一个小孔。再找n条同样长的细绳，把所有绳子的其中一头扎结于一点；第i根绳子从木板上点Ai处的小孔穿过去，绳子另一头系上一个重Wi的砝码。所有准备工作就绪后，把木板水平悬在空中，此力学系统平衡后绳结所在的位置即为所求的点P。这是为什么呢？
    道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向，此时重力势能转化为动能；当整个系统静止时，势能应该达到最小。假如我们用Hi来表示静止时第i个砝码离地面的距离，那么此时ΣHi*Wi达到最小。由于木板与地板之间的距离一定，因此ΣLi*Wi达到最大。又由于绳长为定值，所以ΣPAi*Wi达到最小。

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