利用重心推导平方和公式

假设平面上有 1 + 2 + 3 + … + n 个小球,每个小球的质量都是 1kg 。它们排成了一个三角形阵,具体地说,它们排成了一个倒置的、以 (0, 1) 为顶点的等边三角形。这个三角形阵作为一整个物体,它的重心的 y 坐标是多少?我们有两种不同的求解方法。


第一种方法是暴力方法。这个物体的重心的 y 坐标,一定等于所有小球的 y 坐标的平均值,即

(1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + … + n × n) / (1 + 2 + 3 + … + n)

或者写作

(12 + 22 + 32 + … + n2) / (n · (n + 1) / 2)

另一种方法则是利用图形的对称性。由对称性,整个三角形阵的重心显然应该位于这个三角形各边中线的交点上,一些经典的几何结论可以告诉我们,这个交点正好把每条中线都分成了 1 : 2 两段。因而,这个点的 y 坐标就是

1 + 2 · (n – 1) / 3 = (2 n + 1) / 3

这两种方法求出来的答案应该相等。于是,我们得到了等式

(12 + 22 + 32 + … + n2) / (n · (n + 1) / 2) = (2 n + 1) / 3

12 + 22 + 32 + … + n2 = n · (n + 1) · (2 n + 1) / 6

这个方法是我在 Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking 一书里看到的。

23 条评论

  • Dr. What

    有点意思
    貌似不太好推广啊,比如立方和。
    唔,我试试正四面体之类的会给出什么东西……

    • dr what

      对了,昨天晚上我试了下,一开始用的四棱锥……因为直接就是立方和了。但是对称性不好。
      最后结果有点出入,只在n→∞才一致,大概是因为虽然点阵的分布是均匀的,但跟四棱锥真正的均匀分布还是不一样的。
      然后试了下正四面体,有点麻烦,要消去一坨东西,不过最后还是得出来了立方和的。不知有没有更简单的几何方法。

    • qirenrui

      竟然不是lochost8080回复“已阅”!

    • qirenrui

      少打了几个字母。。。localhost8080

    • ma

      可以用杨辉三角的性质和高次相减的方法

    • 加菲众

      二维表述的证明:
      设点阵(x1,y1 ), (x2,y2 ), …, (xn,yn )为多边形各顶点;
      则其质心坐标为O(∑x n/n, ∑y n/n);
      以O为圆心的圆为(x-∑x n/n)2+(y-∑y n/n)2=C (C为常数,任意半径的平方。);
      对于其上一点P,有(xp-∑x n/n)2+(yp-∑y n/n)2=C ;
      展开其,两边乘以n,
      nxp2-2xp∑x n +n (∑x n/n)2 +nyp2-2yp∑y n +n (∑y n/n)2 =nC ;
      调整常数,
      ∑(xp2-2xpx n+x n2+ yp2-2ypy n+y n2)=nC-[n (∑x n/n)2 +n (∑y n/n)2-x 12-y12-x22-y22-…-x n2-y n2]=C’ (易知C’亦为常数);
      从而,
      ∑[(xp- x n) 2+(yp- yn) 2]= C’ .
      命题得证。
      推广至多维形式:
      由定理二维形式的证明可以看出,升维后所多出的变量(例如z)及各展开项系数是决定升维后定理成立的关键。
      由于对于任意维度D,设该维度下的各广义球方程都可表述为:
      ∑d[x(d)-a(d)]2=r2
      其中,x(d)为d维空间的各轴或曰参数,a(d)为球心在各轴上投影坐标,r为半径;
      设其圆心为O[∑x(1) n/n, ∑x(2) n/n,…,∑x(d) n/n],
      即点集x(1) n, x(2) n,…,x(d) n的广义质心,则对其上一点P,有
      ∑d[x(d)p-∑nx(d) n/n]2=r2
      两边乘以n,则其展开式中,x(d)p∑x(d) n其系数恒为-2,说明总可以将其写为:
      ∑d{∑n[x(d)p- x n ]2}= C(常数)
      的形式。

  • godultimate24

    大神这个月怎么更的那么早

  • sugusor

    迷之高产

  • endle

    对对称性的分析有一个问题: 1:2 的比例是在密度均匀的情况下推导的,如果质量集中到有限个点上,这个结论应该如何证明呢?我在这里理解的不太好,请大家指导一下,谢谢。

    • LUDWIG

      质量均匀分布在三个顶点的话也容易推导对称性,所以你可以先看最里面三个点组成的三角形,重心是在中心的,然后逐渐扩大

  • Sonullx

    似乎博主在避免使用LaTeX?

  • tough guy

    记得我高二的时候遇到了这个题目,就是用对称法证明的。

  • 晓寒

    大神,请问下有没有学习mathematica的好教程推荐下,网上找了下,貌似都太老了

  • 神马浮宁

    很妙啊,长了见识

  • L

    这个推导不新颖了,我在高中的时候,就接触过,我的高中数学老师自己写的一份资料里看到过。
    个人感觉求重心是个幌子吧,我给出一个更加纯粹的证明,如下:
    考虑正三角形:
    1
    2 2
    3 3 3
    把这个三角形旋转120度,再旋转120度,分别得到两个三角形,如下:
    3
    3 2
    3 2 1
    还有另外一个三角形:
    3
    2 3
    1 2 3
    把这三个三角形相加,得到:
    7
    7 7
    7 7 7
    得到都是7不是偶然的,当将3替换成n时,每个元素都是2*n+1.
    而每个三角形的和都是1^2+2^2+….+n^2,
    所以一个三角形的和等于三个三角形相加的和再除以3.
    三个三角形相加的三角形的和为 (2*n+1) * (1+n)*n/2
    一个三角形的和为 (2*n+1)*(n+1)*n/2/3
    所以,1^2+2^2+…n^2 = (2*n+1)*(n+1)*n/6
    怎么样,这个证明优雅吧?

  • zhuguowei

    抱歉! 回复了一个不相关的帖子,但我找不到你的联系邮箱,只好在这提问了。
    最近在看你的浴缸里的惊叹,对几个问题有些疑惑,特来请教。
    组合问题18题,书上说本质不同的操作序列只有2的61次方种。即执行过偶数次或奇数次。但我总觉的没有这么简单。比如如下的一个4*4的小正方形:
    1 0 1 0
    0 1 0 1
    1 1 0 0
    0 0 1 1
    先对其左上角的3*3小格子进行翻转,变成如下的布局:
    0 1 0 0
    1 0 1 1
    0 0 1 0
    0 0 1 1
    这样就变成了一个新的4*4的小正方形了, 虽然总数还是61种,但此时的61种不同于彼时了。其实也可以说是多了一个可能的操作了,变成了61+1了
    若这时再对其右下角的3*3小正方形进行翻转, 其又变成如下的布局:
    0 1 0 0
    1 1 0 0
    0 1 0 1
    0 1 0 0
    又生成了一个新的可能操作, 操作数变成了61+1+1了。故我感觉远不止2的61次方种。
    不知我的理解对不对?

  • bigtree

    很棒,上面说的那个三角形证明也不错,可惜那个在立方和的时候失效,四棱锥不对称

  • erbin

    学过高中数学的人都知道如何用数学归纳法证明这个公式,但是问题是这个公式是怎么来的?如何从直观上直接推出这个公式?这些疑问我一直都没有解开,但是今天看了摘自“Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking ”的一个直观证明后,终于豁然开朗了。十分感谢Matrix67的抄写。

    • aleozlx

      FYI 记得高中时数学老师整理数列求和方法的时候,用阶差法推导了这个公式,利用低阶推高阶通用思路。

  • 伟德1946

    君子善假于物,更善假于势。做大势所趋的事,别做趋势在下行的事。就是流行的“风口论”吧。

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