连杆系统：比你想象中的更强大
icon2 Brain Storm | icon4 2010-06-22 4:45| icon341 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    在机器时代，作为机械构造的理论工具，连杆系统曾一度成为数学界中最热门的话题。所谓连杆系统，就是一些刚性的小杆在端点处以转轴的方式相连，形成的一个机械装置。固定某些顶点的位置之后，其余的动点就能画出一些有趣的轨迹。比方说，固定线段 AB 的其中一个端点 A ，则顶点 B 将描绘出一个绕 A 点的圆周。

  

    连杆系统最激动人心的，莫过于一些简单的连杆装置能够描绘出非常复杂的曲线。例如，上面的右图就是由五根相同长度的线段构成的连杆。固定 A 、 B 两个端点后，显然 C 和 D 描绘出的都是圆弧，但 E 点的轨迹就很难以想象了。事实上， E 点的轨迹相当的诡异，需要用一些复杂的代数语言才能描述。

 


 
    在连杆系统领域中，有一个困扰人类近百年的难题——利用连杆系统是否能画出直线来？当时看来，这个问题是如此的困难，以至于人们普遍猜测甚至试图去证明，能画出直线的连杆压根儿是不存在的。 1864 年，一位法国海军军官 Charles-Nicolas Peaucellier 发明了第一个能画出直线的连杆系统，在当时引起了极大的轰动。 Peaucellier 连杆的原理并不难理解，利用初中几何知识足以证明 Peaucellier 连杆的正确性。

  

    Peaucellier 连杆是由 7 根连杆组成的，其中 AC=AD=a ， BC=CE=ED=DB=b ， OB 为任意长。固定 A 点和 O 点的位置，使得 OA 的距离恰好等于 OB ，则 E 点将会描绘出一条垂直于 AO 的直线来。容易看出， A 、 B 、 E 三点在同一条直线上。我们首先说明， AB·AE 是一个常数。过点 C 作 CH⊥AE ，垂足为 H 。于是 AB·AE = (AH+HE)·(AH-HB) = AH2 - BH2 = (AC2 - CH2) - (BC2 - CH2) = a2 - b2 = 常数。

  

    为什么 AB·AE 为常数，就能保证 E 点的轨迹是一条直线呢？过 A 点作出圆 O 的直径 AM ，在射线 AM 上找出一点 N 使得 AM·AN 也等于这个常数。由于 AM·AN = AB·AE ，我们立即可知 △ABM∽△ANE ，因此 ∠ANE = ∠ABM = 90° ，也就是说 EN 与 AN 始终垂直。这就证明了， E 点的轨迹确实是一条与 AO 垂直的直线。

 
 
    解决了连杆画直线的问题后，数学家们显然还不满足。很多迹象都表明，连杆系统比我们想象中的更强大，画出一些更奇怪的图形似乎不成问题。
    有一个非常简单的构造几乎是瞬间增强了连杆系统的功能，让人们更加相信构造复杂连杆的可能性。虽然连杆系统要求杆与杆必须在端点处连接，但我们可以利用三角形的稳定性，把某根杆的一端直接接到另一根杆的中间。如下图，虽然 AB 和 BC 是两根各自能绕着 B 转的连杆，但简单地用三角形固定一下， AB 和 BC 将会变成一条线段 AC 。利用这一基本构造，我们就能把连杆的端点直接连在另一根连杆的中间了。

  

 
    这一基本构造极大地激励了我们——我们何不像研究尺规作图一样，借助最基本的构造，构造出更实用的基本构造，逐渐搭建起连杆作图的大厦呢？ 1877 年，英国数学家 Alfred Kempe 顺着这个思路研究下去，最后得出了一个惊人的结论：连杆系统不仅能画出直线和圆，还能画出双曲线、抛物线、椭圆，甚至半立方抛物线、双纽线等复杂的曲线。事实上，任何代数曲线 f(x,y) = Σ(i=1..n) Σ(j=1..n) Ci, j · xi · yj = 0 都是可以用连杆系统画出的！

 
  

    这个证明的基本思路是这样的。首先，以 O 为端点构造两个菱形。利用 Peaucellier 连杆，我们可以让 x 点和 y 点始终沿着两条垂直的直线运动。固定 O 点后，我们就建立起了一个平面直角坐标系。接下来，我们需要把 y 点绕着原点顺时针旋转 90 度。假设菱形 OCyD 的边长为 l ，则构造连杆 OC' = C'y' = y'D' = D'O = l ， CC' = DD' = √2 l ，这样我们就把 Oy 的长度转移到了 x 轴上。接下来，我们将用一系列连杆构造出一个点 T ，使得 T 始终在坐标系中的 (f(x, y), 0) 的位置上。然后我们将构造出一个点 S ，使得 S 始终在坐标系中的 (x, y) 位置上。最后，我们把 T 点的位置固定在 (0, 0) ，则 S 点就将描绘出 f(x, y) = 0 的图象来。
    为了得到 T(f(x, y), 0) ，我们只需要实现对 x 轴上的点的以下四种操作：

      (1) 把某个点的坐标加上一个常数 c
      (2) 把某个点的坐标乘上一个常数 c
      (3) 把两个点的坐标相加
      (4) 把两个点的坐标相乘

 
    

    前两个操作并不困难。对于 x 轴上的某个点 p ，为了得到点 z=p+c，只需要固定两个距离为 c 的点 A 、 B ，并构造一系列平行四边形即可。为了得到点 z=c·p，我们只需要构造一组相似三角形 OAp 和 OBz ，使得 OB=c·OA ， Bz=c·Ap 。添加一个连杆 pC 使得四边形 ABCp 为平行四边形，以保证这两个三角形是相似的。注意，在乘法器的构造中，我们用到了前面所说的基本构造，即连杆中间直接连接另一根连杆。

 
    

    把两个变量相加也比想象中的容易。事实上，我们不但能在 x 轴上对两个动点做加法，还能直接实现一个更强的基本操作——对平面上的两个向量进行相加。只需要构造一系列的平行四边形，容易证明向量 Oz 即是向量 Op 和 Oq 之和。

 
    

    但是，对 x 轴上的两个变量进行相乘就有些麻烦了。注意到，由于 p·q = ((p+q)2 - (p-q)2) / 4 ，因此只要我们能实现平方操作，也就有了实现乘法的方法。而由于 1/(p-1) - 1/(p+1) = 2/(p2 - 1) ，因此只要我们能实现倒数操作，也就有了实现平方的方法。在证明 Peaucellier 连杆的正确性时，我们已经证明了，在上图中的连杆中有 z·p = a2 - b2 ，利用它我们便能实现 z = (a2 - b2)/p 。取 a 、 b 为适当的值，我们就能得到 p 的倒数了。

    由于 x 和 y' 都已经在 x 轴上了，利用上面的这些基本操作，我们便能得到 T(f(x, y), 0) 。另外，利用向量加法器，我们可以得到 Ox 和 Oy 的向量和 S = (x, y) 。将 T 点的位置固定在原点 O 处， S 的轨迹就是 f(x, y) = 0 的图象了。
    Kempe 的结论最令人惊讶的地方莫过于，由于各种曲线都能用代数曲线近似地描述，因此连杆系统几乎可以视为万能的了。因此，如果你足够有耐心的话，你甚至能构造一个连杆系统，它能签出你的大名来！

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41 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2010-06-22 5:53 | GeniusYan 说：

    沙发～～～终于抢到了～～～

  • 楼层: 板凳 | 2010-06-22 7:42 | Aeris.J 说：

    Sofa~

  • 楼层: 地毯 | 2010-06-22 8:23 | Climber.pI 说：

    2L..

  • 楼层: 地板 | 2010-06-22 9:50 | DebugL~ 说：

    请问大家第一个证明怎样保证E点始终是在直线上的，因为我觉得那个证明只能保证在那两个点是在直线上的啊
    我认为如果可以保证四边形cbde是正方形的话应该就可以了，但是，一定是正方形吗？

  • 楼层: 地下室 | 2010-06-22 9:52 | 　 说：

    神奇

  • 楼层: 地基 | 2010-06-22 9:55 | Tweets that mention Matrix67: My Blog » Blog Archive » 连杆系统：比你想象中的更强大 -- Topsy.com 说：

    [...] This post was mentioned on Twitter by 皆是虚妄 and 阳阳猪的 GR Share, chengeng. chengeng said: 连杆系统：比你想象中的更强大 http://goo.gl/NUcA [...]

  • 楼层: 地壳 | 2010-06-22 10:04 | 倒倒 说：

    不活了，我也要学数学。

  • 楼层: 地幔 | 2010-06-22 11:06 | izzz 说：

    前十

  • 楼层: 地核 | 2010-06-22 11:10 | madlax 说：

    神奇~~

  • 楼层: 10楼 | 2010-06-22 11:11 | Магсн 说：

    很无聊的博文- -

  • 楼层: 11楼 | 2010-06-22 11:21 | Nigh 说：

    有意思。。

  • 楼层: 12楼 | 2010-06-22 11:47 | ppwwyyxx 说：

    很不无聊的博文--
    我是学数学的所以。。

  • 楼层: 12a楼 | 2010-06-22 11:48 | Rzuin 说：

    LS 这不好

  • 楼层: 14楼 | 2010-06-22 11:58 | aijisud 说：

    很强大～

    要是我在中学看到这篇文章，我一定会试试这些连杆系统的，可是现在大学了，没时间没兴趣了...

    唉...

  • 楼层: 15楼 | 2010-06-22 12:46 | biohu 说：

    签出我的大名。。。。

  • 楼层: 16楼 | 2010-06-22 13:01 | maa04 说：

    把固定点去掉，如果不出现三角形结构，画出来的线更难描述……

  • 楼层: 17楼 | 2010-06-22 13:04 | wuzhengkai 说：

    大师！

  • 楼层: 18楼 | 2010-06-22 13:12 | sb 说：

    kao./....来晚了

  • 楼层: 19楼 | 2010-06-22 13:27 | Eagle_Fantasy 说：

    你设计一个能画出Matrix67的连杆吧~期待

  • 楼层: 20楼 | 2010-06-22 13:44 | zrp 说：

    画出不连通图案（如Matrix67)的连杆系统是需要三维或者以上的吧？

  • 楼层: 21楼 | 2010-06-22 14:19 | Jollwish 说：

    玩过Phun的人都知道这个东西。。用Phun模拟连杆系统很强大。。

  • 楼层: 22楼 | 2010-06-22 15:47 | Marvin 说：

    理论上只能画出复连通图案吧

    对了，这似乎和机器人学关系挺大，机器人机械臂的运动空间使用矩阵描述的，证明起来也许比纯几何方法要简洁一些

  • 楼层: 23楼 | 2010-06-22 22:26 | h2feo4 说：

    有一本书叫
    专门讲各种铰链杆机构如何绘制直线
    类似的原版书我有数G（朋友从诺丁汉大学图书馆扫描的）
    还有50cm厚的复印件
    M67有兴趣的话我可以发一些给你

  • 楼层: 24楼 | 2010-06-22 22:27 | h2feo4 说：

    有一本书叫《How to Draw a Straight Line》
    专门讲各种铰链杆机构如何绘制直线
    类似的原版书我有数G（朋友从诺丁汉大学图书馆扫描的）
    还有50cm厚的复印件
    M67有兴趣的话我可以发一些给你

  • 楼层: 25楼 | 2010-06-23 12:58 | Richie Deng 说：

    刚才搜了一下，《How to Draw a Straight Line》这本书在Google Books上有全文阅读的，是扫描版

  • 楼层: 26楼 | 2010-06-23 13:36 | ilhrx 说：

    我们机械设计老师说，有以前的机械前辈，专门写了本图册，收录了各种连杆机构的图形，以供查询。

  • 楼层: 27楼 | 2010-06-23 16:27 | yh 说：

    ...

    借地方求书on numbers and games

  • 楼层: 28楼 | 2010-06-23 20:35 | xxzc 说：

    http://hi.baidu.com/%D0%C2%CF%E7%D5%C5%B3%CF/blog/item/0d5b2cfa5c8bed69034f56ad.html

    可以找这个做后一个的动画

  • 楼层: 29楼 | 2010-06-24 8:58 | 欧迪雅 说：

    如果不出现三角形结构，画出来的线真的很难描述

  • 楼层: 30楼 | 2010-06-25 21:16 | Bcnof 说：

    这个很强大……

  • 楼层: 31楼 | 2010-06-27 0:15 | 晓而不羽 说：

    有没有超越曲线？

  • 楼层: 32楼 | 2010-06-27 13:18 | h2feo4 说：

    to 31楼
    平面杆机构能绘出的超越曲线例如三角函数，应该能用杆机构做傅里叶变换
    另外，有间隙或者死点的机构有很强的非线性，可以用于计算例如绝对值
    空间机构能算的就更多了

  • 楼层: 33楼 | 2010-06-27 19:38 | Jollwish 说：

    怎么可能签出大名，画出来的肯定是连通图啊。。

  • 楼层: 34楼 | 2010-06-29 3:47 | Mimee 说：

    M67 去兼修数学吧 不然我看着可惜.......

  • 楼层: 35楼 | 2010-06-29 20:59 | sb 说：

    拜wish牛

  • 楼层: 36楼 | 2010-07-23 17:35 | 都市圈 说：

    楼主好猛，这个E点也好好玩啊

  • 楼层: 37楼 | 2010-07-23 17:36 | 北京婚纱摄影工作室 说：

    拜读拜读，博主真牛人啊，分析的

  • 楼层: 38楼 | 2010-07-25 14:29 | Hemrione 说：

    to h2feo4
    你好，我想了解更多关于连杆的知识。请问有哪些书可看？
    求您的联系方式。谢谢！
    jihe_dp@163.com

  • 楼层: 39楼 | 2010-08-06 21:55 | Joyer 说：

    只对第二个图形的生成感兴趣。

  • 楼层: 40楼 | 2010-08-11 14:49 | AAquARK 说：

    = =很不错啊

  • 楼层: 41楼 | 2010-08-11 15:08 | AngelQuark 说：

    您是搞数学研究的么？很好很强大哦！

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