神奇的锈规作图:单用一个只能画单位圆的圆规如何作等边三角形

    从古至今,尺规作图一直是数学中备受关注的一个问题。到现在,数学家们已经比较完美的解决了尺规作图的问题,指出哪些图形可以用尺规作图完成,哪些问题不能用尺规作图解决。Mohr-Mascheroni定理告诉了我们一个非常令人吃惊的事实:所有用直尺和圆规可以解决的作图问题,只用圆规也能完成。当然,只用圆规是画不出直线的;但我们可以认为,一条直线已经由两点确定,并不需要画在图上。数学家们向我们展示了:给定四个点,如何用单规找出它们所确定的两条直线的交点;给定一段圆弧和两个点,如何找出两点确定的直线与圆弧的交点。注意到这是直尺仅有的功用,用单规全部解决了后直尺也就不需要了。数学家们还研究过单尺作图:只拿一块直尺到处作直线交过来交过去的又能完成哪些作图问题。显然,只用直尺是不能开平方的,解析几何告诉我们直线与直线的交点只可能是各系数的一个有理表达,这决定了单尺作图不能替代尺规作图。Poncelet-Steiner定理告诉我们,假如事先给定了一个圆和它的圆心,以后只用直尺足以完成任何尺规作图能够解决的问题。这些将在我今后的《什么是数学》笔记中提到。
    昨天,网友浅海里的鱼跟我提到了锈规作图问题,这是我第一次听到这个神奇的东西。现在,假设我们没有直尺,只有一把生锈的圆规。圆规已经被卡住了,只能画出单位半径的圆。在这样的条件下,哪些作图问题仍然能够被解决?锈规作图相当的困难,但并不是没有可能。1983年,D. Pedoe教授惊奇地发现,给定两个点A和B,如果它们的距离小于2,我们可以非常简单地作出点C,使得AC = BC = AB(即△ABC为等边三角形)。

    
    先以A、B为圆心分别作圆。由于它们之间的距离小于2,因此两圆必然相交。以其中一个交点P为圆心作圆,分别交圆A、圆B于点M、N。最后,圆M和圆N的交点即为所求点C。由对称性,△CAB一定是一个等腰三角形。另外,由对称性可知∠ACB=2∠BCP,而圆周角∠BCP的角度又是圆心角∠BNP的一半。由于△BNP是等边三角形,我们可以立即得到∠ACB=∠BNP=60°,△ABC是一个等边三角形。
    D. Pedoe受到启发,提出了以下问题:任给A、B两点,只用锈规是否都能作出C使得AC = BC = AB?若干年后,侯晓荣等人巧妙地解决了这个问题,并以此为基础,借用复数运算等理论,得到了一个出人意料的结论:从给定两点出发,任何尺规作图能够完成的构造,只用锈规也能完成。只用锈规作等边三角形的方法相当精彩,我在这里详细地说一下。觉得牛B的话就在下面叫个“好”。

    
    首先,我们介绍锈规的第一个比较明显的用途:找出给定两点A、B的一条由单位长线段首尾相接构成的折线段。方法不用多说,看上边这个图,从圆A上的任一点出发,我们能够用锈规不断画圆找交点,作出排列成等边三角形的点阵。总有一个时候,会有某个圆与圆B相交,此时我们所需要的折线段也就找到了。
    
    给出A、B、C三点,我们可以利用这种折线段巧妙地作出平行四边形ABDC。首先作出从A到B的折线段,再作出从A到C的折线段,然后顺次作出一个个边长为1的菱形,最终得到的点D就是所求的点。只需注意到菱形都是平行四边形,则四边形ABDC显然是一个平行四边形。

             
    好了,我们已经慢慢地接近我们的目标了。考虑这样一个作图问题:已知等边△PAB和等边△PCD,能否只用锈规找出点E,使得BDE也是一个等边三角形?事实上,这个E点恰好就是使得四边形APCE为平行四边形的那个点,借助上面的方法我们可以轻易作出E点的位置。利用最初等的平面几何知识,我们可以得出,如果APCE是平行四边形,则△BDE必然是一个等边三角形。这个证明相当简单,我们把证明的任务留给大家自己去完成。
    有人反应过来了吗?我们的问题已经圆满的解决了!!回到我们最初的问题,给定A、B两点后,我们可以作出一条由单位长线段构成的折线A – P1 – P2 – … – Pn – B,进而作出n+1个边长为1的等边三角形。然后,一次次套用作平行四边形的方法,作出T1, T2, …等一系列的点,不断将两个小的等边三角形合成一个大的三角形。最后的Tn就是我们所求的C点,它使得△ABC恰为一个等边三角形。

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