昨天和同事聊到，汉语还真是奇怪，有“四分五裂”，有“五颜六色”，也有“七上八下”，但好像从没听说过六什么七什么的。于是想到，在汉语中，“数词 + 非数词 + 数词 + 非数词”的短语是怎样分布的呢？回到家后立即用 Mathematica 做了一个柱状图，绘出了九九八十一种数词短语模式在大规模真实语料中的出现频数。注意，这里统计的是总的出现频数，重复出现也会计算在内。另外，这是一个简单而机械的统计过程，因而 “三人一组”、“七天七夜”之类的非成语也被算了进来。
嗯，对，没有任何意义，纯属无聊之作。
这道题的答案有几个字母？答案：four。
有趣的是，这是唯一的答案。如果令函数 f(n) 表示非负整数 n 的英文表达中有多少个字母（不算空格和短横线）， n=4 是该函数的唯一不动点。
n 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
f(n) 4, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 3, …
事实上， @IanMathmogician 发现了一个更有趣的“数学冷知识”：任取一个 0 到 100 之间的整数 n ，算出这个数的英文表达中的字符个数，再算出所得结果的英文表达的字符数，并这样一直迭代下去，最后总会得到数字 4 。我用 Mathematica 做了一张图片，可以让大家直观地看到，这真的可以说是条条大路通向数字 4 啊。
国外有人发现一个鲜为人知的古董级函数作图软件—— GrafEq 。这个软件只有 2M 大小，它的功能就只有一个：作出形如 x2 + y2 = 1 的二元等式或者不等式的图像。令人惊叹的是，这个软件的图像绘制能力异常强大， Mathematica 等大型专业数学软件完全不是它的对手。
这个软件早就没再更新了。它的“最新版本”是 2.12 ，只支持 Windows 95 到 Windows XP 的系统，或者 PowerPC 7.12 到 MacOS 9.2 的系统，可见其年代久远。神奇的是，这个软件的官方网站依然健在，而且软件竟然也都能下载。如果你有幸还能装上这款软件，你将有机会重温一次 Windows 95 时代的软件安装画面。
在这个 Blog 的一篇很老很老的文章里，我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的：给定 A 、 B 两点，只用一个生锈的圆规（没有直尺），如何找出一个点 C ，使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987 年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题，并借助复平面理论得到了很多一般的结果，其研究成果《锈规作图论》发表在了《中国科学技术大学学报》上。
锈规作出等边三角形的方法非常漂亮：利用锈规作图，我们能构造出两点之间由单位长线段构成的折线段，进而实现平行四边形的构造（已知其中三个点，能够只用锈规找出第四个点），进而完成等边三角形的构造。刚才提到的那篇“很老很老的文章”里有详细的描述，继续阅读之前，强烈建议先看一看。
事实上，D. Pedoe 教授还提过另外一个问题：给定 A 、 B 两点，只用锈规能否作出 A 、 B 连线的中点？注意，由于没有直尺，线段 AB 实际上是画不出的。要想“隔空”找出线段的中点，显然并不容易。
前几天翻起张景中的《数学家的眼光》，就是为了查阅这个问题的解决方法。《数学家的眼光》一书中详细描述了锈规作图找中点的方法，在这里和大家分享。
这是今天在 MathPuzzle 上看到的视频。视频里演示了单平衡多面体、Peaucellier 连杆等非常帅气的几何图形和机械系统的实物版。这些几何构造各显神通，来头都不小，都是非常不错的数学话题。
大家看完这个视频后的感觉估计会跟我一样：为什么没有 Gömböc 呢？
不知道有多少人已经熟知 Conway 的生命游戏，但却从没听说过 Langton 的蚂蚁游戏？反正我是其中之一。直到今天我才听说了这个比生命游戏更酷的游戏—— Langton 的蚂蚁。这也是一个二维自动机形式的零玩家游戏，不过我觉得它比生命游戏有趣得多。这有两个理由：
1. 它的算法过程更简单。初始时，蚂蚁位于一张空白画布的某个方格里。如果当前蚂蚁在白色方格上，则对当前方格反色，左转 90 度，前进一格；如果当前蚂蚁在黑色方格上，则对当前方格反色，右转 90 度，前进一格。如此反复。
前几天，一篇叫做 用正方形纸片折出等边三角形 的日志引起大家的讨论，折出正七边形和折出角三等分线的方案更是让大家争论不休。提得最多的问题就是，折纸为什么要比尺规作图更强？这是一个好问题。我查了不少资料，了解到不少折纸几何的历史，收获颇大，不赶紧记下来就亏大了。于是有了这篇文章。
要解答为何折纸如此强大，首先我们得解决一个问题：什么叫折纸。折纸的游戏规则是什么？换句话说，折纸允许哪些基本的操作？大家或许会想到一些折纸几何必须遵守的规则：所有直线都由折痕或者纸张边缘确定，所有点都由直线的交点确定，折痕一律是将纸张折叠压平再展开后得到的，每次折叠都要求对齐某些已有几何元素（不能凭感觉乱折），等等。不过，这些定义都太“空”了，我们需要更加形式化的折纸规则。 1991 年， Humiaki Huzita 指出了折纸过程中的 6 种基本操作（也可以叫做折纸几何的公理）：
1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕
首先，祝大家情人节快乐。不过，对于单身 Geek 来说，情人节或许并不快乐。情人节可以说是各种 Geek 们永久的伤痛了。即使是热爱数学的你，或许看到已经被转发到烂的“心之函数”今日再度走红，心中也会觉得不爽：我们发明出来的 Geek 玩物，竟然都被你们这些非 Geek 人士拿去装 Geek 泡妞用了，最终情人节宅在家里面向显示器编程度过平凡一天的反而还是我们这群 Geek 。
于是乎，“订完全部大床房”、“买光影院单号位”、“扎破所有安全套”等经典段子年年少不了。当然，我也没有闲着。为什么有 Geek 式的爱情祝福，就没有 Geek 式的分手诅咒？我计划着创作一个“分手函数”，它的函数图像是一个裂成两半的心。
Matrix67 |
2011-10-17 13:41 | 
