今天才知道,空壳星球的内部是没有重力的

    曾经想过要写一篇科幻小说,讲一种生活在空壳星球内表面的文明,如何发现自己的星球是圆的,如何成功地环游世界一周,又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气,幸好当初没写这样的文章,不然就闹笑话了。今天我才知道,空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的,因为空壳星球内的任意一点都没有重力。

    这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近,产生的重力作用更显著,但可惜这部分土地并不多。星球的更多部分将会位于你的头上,但可惜它们又离你太远了,影响也不会太大。近的部分太小,大的部分又太远,这两者很可能是一种平衡的状态。


      

    而事实上也正是如此。不妨让我们先来考虑当星球壳充分薄的情况。考虑星球内部的一点 M ,以及这个星球上充分小的一块皮 A 。不妨假设这块皮到 M 点的距离为 d1 。现在,将 A 上的每个点都与 M 相连并延长出去,由此确定出对面的一块内表皮 B 。假设它到 M 点的距离为 d2 。注意到,一块表皮对 M 的引力,与表皮的面积成正比,与距离的平方成反比;而 A 、 B 的面积之比正好是 d1 和 d2 的平方比,因此 A 、 B 对 M 的作用力就正好抵消了。同理,这个薄壳星球的任意位置对 M 的作用力都恰好被对面的相应部分抵消,因此 M 点没有重力。而一个有一定厚度的空壳星球可以看作是由无穷个充分薄的空壳叠加而来,因而它内部也是没有重力的。

    其实,刘慈欣在科幻小说中早就注意到这一点了(我现在才意识到)。在科幻小说《山》中,刘慈欣真的构想了一种生存在星球内部的外星文明,从外星人的角度来看,他们的世界“就是这固体宇宙中的一个空泡”,于是这个外星文明就把它称为“泡世界”。小说中写到:“我们那时不知道万有引力这回事,泡世界中没有重力,我们生活在失重状态中。真正意识到引力的存在是几万年以后的事了。”

 
    逻辑推导是一回事,事实上又是怎样呢?有趣的是,这个结论可以用实验来进行验证。我们虽然无法制造一个空壳星球,但我们另有妙招。两个带电粒子的引力公式 F = K · q1 · q2 / r2,其形式与万有引力惊人地一致。让一个铜球壳带上一定量的电荷,电荷将会均匀分布于外层。此时,你会发现铜球内没有电场,这样便验证了上面的结论。

 
    这个结论有一个非常有趣的应用,它可以帮助我们计算地下的重力。比方说,假设你在地下 1 千米的某个地方,那么我们就把整个地球分成两部分,一个 1 千米厚的外壳,和它内部的实心球。刚才的结论告诉我们,前一部分对你没有作用力,因此你所受的重力全部来源于剩下的那部分实心球。如果地球的半径是 R 千米,那么地下 1 千米处的重力就相当于是一个半径为 R – 1 千米的地球表面上的重力。

    注意到,如果地球半径减小到了原来的 1/n,那么质心到表面的距离也就减小到了原来的 1/n,同时星球质量也将会减小到原来的 (1/n)3。由此可知,物体所受的重力就变成了原来的 (1/n)3 / (1/n)2 = 1/n 。也就是说,如果你朝着地心挖过去,你所受到的重力是线性地变化的。在地球表面,重力加速度还是 9.8 m/s2 ,挖到一半的地方时就只剩 4.9 m/s2 了,到地心就没有了重力加速度。当然,如果穿过地心继续往对面挖,重力就开始往反方向线性增加了。

    有趣的事情发生了:如果修建一个贯穿地心的隧道,从中国一直延伸到阿根廷,由于重力大小与物体位置始终是一个线性关系,那么在这个隧道中所做的“自由落体运动”,实际上将会是一个简谐振动!取地球半径 R = 6 371 000 米,那么简谐振动的一个周期就是 2π · √6 371 000 / 9.8 ≈ 5066 秒,因而半个周期(也就是从中国单程前往阿根廷的时间)就大约为 2533 秒,也就是 42.2 分钟。

    写到这里,似乎突然想到了什么,于是立即去翻刘慈欣的《地球大炮》,果然看到这么一段:“计算结果很快出来了,以地球理想的平均密度,从中国跳进地球隧道,穿过直径一万两千多公里的地球,坠落到阿根廷,需四十二分钟十二秒。”这个数据竟然不是随便编的。

    大刘太牛 B 了。

 
    扩展阅读: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_train
    大家可以看到, gravity train 的想法最早可以追溯到 17 世纪,并且更有意思的是,它还可以扩展到地球表面任意两点的直线旅行。如果这个隧道不是穿过地心的,而是一条“弦”的话,虽然速度更慢,但同时隧道本身也更短。一个有趣的推论是:在地球表面任意两点的直线隧道上自由运动,周期是一个定值——单程旅行总是 42.2 分钟。

82 条评论

  • qdk0901

    杀一个花

  • Vera

    这么晚了大牛还不睡觉啊~

  • VuryLeo

    很好很强大。。。表示曾经算过。。。但是当时不会算时间。。。

  • Crank

    事实上, 考虑到地球自转(甚至公转), 还是有重力效应的. (这也是我唯一知道的在空间站产生人造重力的方法.)
    事实上, 考虑到地质构造等复杂问题, 掏空地球是不现实的. 更有有实际价值的想法是宇宙. 宇宙是否有一层均匀的”硬壳”在外面呢? 由于这样的”硬壳”不会带来引力, 那么我们是否能够分辨到它的存在或者不存在呢?
    在广义相对论中, 著名的牛顿水桶实验指出, 如果是旋转的”硬壳”是能够带来(高阶)可观测效应的,我指的是即使对于不生活在”硬壳”内表面的人.那么, 回到了E. Mach的问题:怎么样判断宇宙外层可能存在的”硬壳”是旋转还是静止的?
    如果这种0重力是universal的, 那么引力真的费劲去精确抵消彼此么? 还是本质上就是0的?

    另外给M67推荐: http://book.douban.com/subject/1156911/ 如果以前没注意到的话. 噬钛小绿人那几个题目.

  • 大刘还有一篇科幻,叫做《山》,描写的外星文明恰好是一个源自星球内部的,一步一步从星球最里面探索到星球外乃至宇宙的。

  • Cranky

    我觉得你科幻小说的思路仍然恨好. 只不过可以改成通过对非欧几何的发现.

  • 哎呀,火星了,这就是先回帖后看贴的恶果……

  • Crank

    好吧… 回帖被删了… 555~

  • clyce

    大刘的作品全读过~~~超喜欢~~~

  • ancestor

    理论上是不受重力的影响,但还是有地球自转和公转的向心力能使人保持在地壳上的。赤道处g=自传g+/-公转g=v1^2/r1+/-v2^2/r2=0.0339+/-5.93843E-3,约是月球的1%

  • 木遥

    大刘很可能是看过别莱利曼的《趣味物理学》及《趣味物理学续编》(有中文版),这书八十年代出版过,是极好极好的物理科普读物。里面讨论过这个隧道钟摆效应。

    另外,空壳星球内部的人是可以居住在星球的内表面的,只要它在自转就行。而一般星球总是有自转的。

  • seognil

    你也喜欢大刘 话说空壳星球是可以住人的 只要自转不就行了? 《吞噬者》还是什么的

  • Acumon

    其实还有一个更简单的证明!把万有引力类比为电磁力(它们都满足与距离的平方反比定律)而我们知道一个带电球壳内部是等势的(不存在电磁力)因此一个带万有引力球壳的内部也是等势的(不存在万有引力)

    如果要证明带电球壳内部等势也很简单!首先根据中心对称可知若存在力(电力线),则力必垂直于球面;又知道电力线是从正电荷指向负电荷的。球壳内部没有正或负电荷,因此球壳内部不存在电力线,因此无电磁力。

  • feenn

    场力都是一样的,这个结论从电磁场就可以推到出来,洛伦兹公式和万有引力公式是对等的。

  • 幻风

    这篇文太水了……这是标准作业题级别的。手算很快就算出来的。

  • cruise

    大牛高中物理没学好啊……虽然不是每个老师都会推导一次但一般都会讲到这个结论。

  • baisk

    确实,高中时就推导过,球壳对内部引力和为零。地球可以看成许多个球壳组成,所以地内受到的引力就等效于将头顶的所有空壳去掉后剩下的球体对你的引力。

  • error 404

    工科生表示这些是物理常识……
    终于能优越一把拉哇哈哈

  • a691662

    他可是写三体的人啊 必须牛

  • zalazan

    往返一次时间只和密度有关

  • fomalhauty

    你也喜欢大刘啊!!开心^^

  • exp618

    来自《数学家的眼光》啊,M67能讲解一下那个“重定义微积分”的部分吗?

    #12L,不能那么类比。不等势的电荷可以移动,密度不同的固体却不能移动啊

  • ytj

    XBOX上最卖座的游戏Halo
    里面有一个生态圈就是在拉格朗日点上建立巨大的环状带,
    生物都生活在环状带内侧,靠旋转提供离心力

  • biohu

    哈哈,同17楼。

  • real_zyf

    嗯,貌似各种科幻作品都用旋转空壳的内壁来模拟重力……

  • petcon

    嗯一直看67的文章,看了这条就明白了,67在数学上应该比较牛 物理上面一般 这个空壳的题目在高中物理上面连思考题都算不上啊。。。

  • Leo

    您的物理水平貌似被喷了。。。
    不过如果是一条弦的话,不会因为引力撞到靠球心的内壁吗,应该是一条向球心弯曲的曲线吧

  • 嘉佑

    太深奥了,我表示高中没学过这些东西,比如引力什么的怎么计算,大家都学什么专业的呢?

  • 咕嘟的西瓜

    其实这个结论知名度挺高的,参加过高中物理竞赛的都会知道…关于科幻构想,Matrix可以去看科幻小说《无中生有的三个故事》的故事二《重力》

  • TheRoastDuck

    但现在新理论层出不穷,引力的形成不止一种解释,这种情况对于不同的理论可能会不同

  • 以地之名

    – – 高一物理竞赛时就学过了。

  • greendyj

    果然42是宇宙的真理呀。

  • morrowind

    终于明白前篇趣味物理题对M来说真的是太难了点。
    不过,物理的基础是数学,M在物理上还是大有空间的。

  • 严酷的魔王

    高中物理竞赛就求过这个时间。。

  • Aresius

    呵呵,大刘太牛b了

  • Eagle_Fantasy

    你说的那个实验验证的是电磁力是平方反比率.. 平方反比力空壳在内部不产生力就是逻辑的推导就可以了。。

  • Eagle_Fantasy

    @25楼。。
    旋转空壳不能完全模拟重力吧
    旋转和不旋转是绝对的而不是相对的
    只要是旋转参考系 内部的平放着的水面就是个弯液面。。。

  • Eagle_Fantasy

    @25楼。。
    旋转空壳不能完全模拟重力吧
    旋转和不旋转是绝对的而不是相对的
    只要是旋转参考系 那么平房的水杯里水面就是个弯液面。。

  • Eagle_Fantasy

    @25楼。。
    旋转空壳不能完全模拟重力吧
    旋转和不旋转是绝对的而不是相对的
    只要是旋转参考系 那么平放的水杯里水面就是个弯液面。。

  • Eagle_Fantasy

    汗。。又连击了。。。

  • a la

    科普真的很重要啊

  • o__t

    刚看了开头就想到大刘的《山》,没想到马上就提到了
    刚好今天复习专业书有提到关于重力校正,分四种:正常场校正,高度校正,中间层校正,地形校正。
    这个地形校正永远是个正值,因为不管你旁边是凹下去还是凸出来,测出来的重力总是比平坦的情况重力小,原理和这篇文章提到的那个原理是一样的。
    如果旁边是凹下去的,那么向下的吸引力减小了,需要校正。
    如果旁边是凸出来的,那么就多了一个向上的吸引力,也需要校正。

  • RaielZ

    楼层: 17楼 | 2011-07-02 9:40 | baisk 说:
    确实,高中时就推导过,球壳对内部引力和为零。地球可以看成许多个球壳组成,所以地内受到的引力就等效于将头顶的所有空壳去掉后剩下的球体对你的引力。
    ———
    喜歡這個解釋~~~ (我表示我高中也沒接觸到這麽個命題……)

  • Neptune

    高中物理竞赛不是有这样的题么….从中国造个隧道到美国,放个定时炸弹进去,问多久能炸到美国…..

  • Fool

    地球质量密度不是均匀分布的,所以重力加速度和距地心的距离应该不是线性关系

  • 寸羽

    ……这不是经典的结论么?

  • 木子耳

    看到简谐振动突然就感觉亮啦。。
    然后看了回复们之后表示佩服物理好的人。。

  • D

    我记得牛顿在《自然哲学的数学原理》里就提到了这个结论。

  • w.vela

    小时候好像算过,貌似如果自转的话,离心力能模拟重力?不知道是不是我算错了⋯⋯

  • 枫落无痕

    刚才百度了一下matrix67,出来了这么一篇文章:http://news.163.com/11/0419/02/71VJ222700014AED.html
    赞~~

  • wuzhengkai

    物理竞赛学简谐运动时证过。。。

  • Andy

    唉,应该是《数学家的眼光》里面的吧……这本书相当好啊

  • Sing

    版主對以下的sphere with tunnel problem可能會有興趣,這是經典的Brachistochrone problem的推廣,眾所周知所謂curve of fastest decent就是cycloid,現在將問題改成在地球表面建一條隧道使物件通過自由下降從一點最快到達另一點,有趣的地方是答案竟然是hypercloid

    http://mathworld.wolfram.com/SpherewithTunnel.html

  • 六翼

    三体3里不是也有么,自转的太空城什么的,能转就能住人

  • spacetimer

    刘慈欣《山》就是基于这个结论写的

  • Peer

    喷者或笑者请谨慎。由于会做题的人,容易陷入知其然不知其所以然的境地。这种看似常识的问题,通常后面会有很多可思考的事情。各位请解释,什么是“时间”,“力”产生的本质是什么,地球自转的原因是什么。上述的问题决不是刁难,特别是学物理的最好能答上。当明了本质,就不应该把事情复杂化,或是对某特定事物崇拜。对同一本质的理解若是正确的,即使有若干不同的表述,但它们全然等价。望轻视此篇者稍加思虑。

  • invoker

    ft, high school physics

  • hoggers

    嘻嘻,发现学物理的其实有时候也可以比数学天才厉害点的啊。
    物理题做过的,哈哈。

  • Pt-Cr

    回26楼petcon:这个在高中物理上面连思考题都算不上……我在高中,我思考了半天没思考出来……我好弱……
    回32楼greendyj:
    果然42是宇宙的真理呀。

  • ashi

    重力和电磁的先和似乎写反了,是先有的万有引力定律,然后发现内部无重力,库伦发现带电球壳里也无静电力,所以受启发挪我用了万有引力定律,然后发现符合定律。所以到目前为止库伦定律里边是k q1 q2 / r^(2+alpha) 然后现在还在实验确定alpha的大小,似乎已经到1e-9的精度了。

  • Maigo

    我一看到题目就想到学电场的时候算过带电球壳内部没有电场了。不过当时我好像是在很辛苦地积分……

  • HBpencil

    如果沒有引力,那怎麼能成一個球體?

  • Thomas

    除了《山》,刘在另一篇中也提到了空心地球的0重力现象,好像是在恐龙帝国击败人类后神族挖空地球残余人类移居内部

  • BMC

    人要是没有重力 社会会是什么样的哦

  • MC

    似曾相似的定理在高中物理上就出现过,只是当时只是机械的推导,机械的记忆,忽略了自己探索的过程。现在想想,能自己体会在探索的过程中的美景,是多么幸福与幸运的一件事啊。

  • trek jerseys

    en 其实结果就是这样的

  • FutureBoy

    你跟大刘不谋而合了,他写过

  • hweelee

    a:空心的球中间要是再有一个球呢,中间这个球上有重力吗?也许我门的宇宙边缘就是一个壳,我门都生活再这个壳里面.
    b:但是壳外面是什么呢?
    a:壳外面还是我们的宇宙,是相通的
    b:壳的里面和外面,是相通的,这不是扯淡吗?这是什么样的一个壳呢?难道宇宙的外壳有个洞?
    a:不是洞,我说的是我们意识里面封闭的宇宙.
    b:那到底是什么样的外壳呢?
    a:我只是假设这个壳存在,是什么样子我也想象不出来.
    b:了也就是说越过了这个壳还是进到我们的宇宙喽?
    a:应该是..
    b:了这个外壳不就是宇宙的中心了吗?
    a:应该是…
    b:哈哈,a在扯淡.
    双子座的自问自答.

  • 求索

    静电力与引力的类比甚好,但是:
    导体空腔内部无电场,这是由导体静电屏蔽的本性决定的!因此实验验证是没有任何意义的:哪怕把铜球拍扁了再挖上几个洞,一样会是零结果。

  • specialized cycling jersey

    我也是今天才听博主说的

  • phylixal

    根据场论的高斯定理可以导出此结论。
    重力场为有源场。
    球壳内取任意封闭曲面,对通过此曲面的重力场场强作面积分。此此积分即为重力场的通量,由高斯定理可知曲面内无物质时通量为零。
    即此处没有重力场。

    确实是类比带电球壳更直观些。

  • lrkk1234

    同顶大刘的《山》,让我想到天元突破了

  • saieuler

    不能随便拿引力和电磁力类比,因为有正负电荷之分。将一个物体靠近电场,它也将感应出电场,因为相互抵消的电荷会在两头分开。而我们却无法让一个物体靠近另一个物体时分离出正反物质。电场还可以屏蔽,如果引力场也可以屏蔽,还要飞机干什么。

  • 有点没看明白请教,F=GMm/r^2那么如果作用对消除应该A的面积与D的长度,但问题是这样推到的前提是两边引力相同。这哪里是证明其内无引力场。。

  • cervelo

    如果这种0重力是universal的, 那么引力真的费劲去精确抵消彼此么? 还是本质上就是0的?

  • frostcake

    这个可以有空壳金属球内的点电荷不受电场力类比得到吧

  • zhongkailv

    如果修建一个贯穿地心的隧道,从中国一直延伸到阿根廷,由于重力大小与物体位置始终是一个线性关系,那么在这个隧道中所做的“自由落体运动”,但并不是一个简谐振动,因为这个摆幅实在有点大。可以算出:一个物体做自由落体运动到 R = 6 371 000 米时并不是2533 秒,而应该是2281秒。

  • tjlaoji

    万有引力和电磁力的类比有点问题,因为电磁力是由电荷产生的,而金属导体内部自由电荷是可以自由移动的,万有引力是由质量引起的,质量的分布无法自由移动,因此任意形状的金属壳内部库仑力都是0。当然,万有引力确实会使球壳内部物体受到的万有引力为零,这是可以严格证明的(方法如本文)。这是大学普通物理的基本知识——虽然在学万有引力的时候未必能有那么高的数学能力,但学了电磁学的时候确实就可以证明这一点了。大刘是理工出身,这点伎俩小意思,楼上有人说大刘受《趣味物理学》什么的启发,那是太小看工程师了。

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