前两篇文章中，我们提到了两个用杠杆原理解决数学问题的例子。这篇文章将从另一个物理领域出发，探索光学的一个重要原理与几何极值问题的关系。
    物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现，很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是Fermat原理，它指出了光的传播路径的一个重要规律：光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下Fermat原理，该系列后面的文章里将会用到这一原理。
    Fermat原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”，意思是光线传播的路径总是满足这样一个规律：它总能使光在最短的时间内到达目的地。这个原理完美地统一了直线传播定律、反射定律和Snell定律，解释了为什么光线总是沿直线传播，为什么入射角等于反射角，以及光线在不同介质间传播为什么会发生折射现象。
    在Ted Chiang的著名科幻小说The Story of Your Life里有这样一段形象的描述：

    “好，这是一条光线从空气射进水中所走的路线。在碰到水面前，光线沿着直线前进；水有不同的折射率，所以光改变了前进方向。你以前听过这个，对吗？”
    我点点头，“当然。”
    “现在关于光所走路线有个有趣的性质。这条路线是这两点之间可能的最快的路线。”
    “又来了？”
    “想象一下，光线沿着这条路线前进。”他在图解中加了条虚线。
    “这条假想中的路线比光实际走的路线要短。但是光在水中前进的速度比在空气中小，而这条假想的路线的很大一部分是在水中的，所以光沿着这条假想的路线所花的时间要比沿着实际路线要长。”
    “好，我明白了。”
    “现在想象一下，假设光沿和另一条路线前进。”他画了第二条虚线。
    “这条路线减少了在水中的比例，但总长增加了。光沿着这条假想的路线所花的时间也要比沿着实际路线要长。”
    Gary放下粉笔，用蘸着粉笔屑的手指指着黑板上的图解，“任何假想的路线都比实际的要花更多的时间。换一句话说，光线走的路线是最有可能走得走快的一条。这就是Fermat定理的最小时间原理。”

    你发现Fermat原理有什么奇怪的地方了吗？你是不是感觉Fermat原理很诡异，但自己也说不清楚到底是为什么诡异？仔细想想你会发现，“最快到达”这种原理显然是不符合我们的行为方式的：假如我是光，我的传播规律是“最快到达”，但此时我要传播到哪里还不知道呢。Ted Chiang的小说对此也做出了详细的描述：

    “然而我仍要问你关于Fermat定理的东西。它的一些东西让我感到奇怪，但我不能正确指出那是什么。它只是不像是物理法则。”
     Gary的眼睛闪了一下，“我打赌我知道你想谈什么，”他用筷子把锅贴夹成两半，“你习惯于用起因和结果来思考折射：光照到水面上是起因，方向的变化是结果。但Fermat定理听上去很古怪，因为它以目的的形式来描述光的行为。它就像是光线的指挥官，‘你应该将抵达目的的时间最小化或最大化。’”
    我想了一下，“继续说。”
    “这是物理法则的一个老问题。人们在17世纪Fermat定理第一次成形时就一直在谈论它。Planck写了好几卷。本质是，普通的物理法则的表述是具有因果关系的，而像Fermat定理的可变法则具有目的性，几乎是目的论。”
    “嗯，这样解释道挺有趣。让我想一下。”我拿起一支标签笔，在餐巾纸上画了幅图解，就是Gary在我的黑板上画的那幅，“好，”我想我很大声地说道，“那么让我们假设光的目的是要沿着最快的路线前进。这样的话，光如何走呢？”
    “好吧，假若按人类行为学来说，光得检验每条可能的路线并计算每条得花多少时间。”他从盘子里戳起最后一块锅贴。
    “那样做的话，”我继续道，“光线得知道目的在哪儿。假如目的地在某某其他地方，最快的路线就会不同。”
    Gary再次点点头，“完全正确。‘最快的路线’的概念是无意义的，除非有特定的目的地。计算沿着一条假想的路线需多长时间也需要关于在这条路线上有什么东西的信息，比如水面在哪？”
    我继续看着纸巾上的图解，“在光开始移动前，它得事先知道所有这一切，对吗？”
    “这样说来，”Gary说，“光线不能沿着老路前进，然后再在后来返回。因为引起这样行为的路线不是最快的。在一开始光就已经做好了全部的计算。”
    我心中暗想，在光线能够选择它移动的方向前，它已经知道它最终会在那里结束。我知道这让我想起了什么，我抬起头看着Gary，“这让我困扰。”

  
    上面的论述似乎很抽象。我们来看一个实际的数学问题。这个问题有点怪，和其它的问题很不一样。给出一个点A，给出两个圆O1、O2，再给定O1上的一点B，问O2上是否存在一点C，使得B点的位置恰好能让AB+BC达到最小，也即对于O1上异于B的任一点B'都有AB'+B'C > AB+BC。你一时间可能找不到这个点C，这很正常，但光可以立即找到这个点C。因为从Fermat原理的角度看，光的思维方式是“逆向”的，这个别扭的题目正好顺应了它的思维方式。只要沿AB发射一条光线，在圆O1表面上发生反射后的光线与O2的交点即为点C。因为，A->B->C这条光路符合光的传播性质，这条路径是所有经过O1上一点到C的路径中最短的一条，其它所有的B'都会使光程增加。事实上，光就有这种神奇的本领：不管之前有过多少反射点，有过多少折射点，这条光线今后传播到的每一个点都满足这种无比别扭的“以它为终点则前面的定点均已达到最优”的性质。对于光来说，这是顺理成章的事；但从我们的角度来看，还没到目的地便能确保路径最优是很不可思议的。我们会习惯性地认为，光从A点出发往B走之前必须得先知道它的终点是C，然后才会知道B可以使光程最短，因此它才会往B走。这是明显有悖于我们熟知的因果关系的。或许说，这个世界本没有什么因果关系，仅仅是因为人类的思维被禁锢在了因果链式思维中？


    接下来，我们举两个火星例子。两个都是经典的小学奥赛题。
  
    问题1：给定直线l同侧的两点A和B，在直线上找一点C使得折线ACB最短。
    问题2：角ABC内有一点P，请在AB上找一点M，BC上找一点N，使得三角形PMN的周长最短。
    类似的问题还有很多。很多这类几何极值问题都和Fermat原理有直接关系。考虑这样一种物理解法：将问题中的所有直线想象成镜面。对于问题1，在点A处发射光线，并不断调整初始方向，直到在某个角度时光线经反射过B点；对于问题2，在点P处发射光线，并不断调整初始方向，直到在某个角度时光线经两次反射回到P点。由Fermat原理，这两条路径都满足光程最短，途中的反射点是最优解。这直接导出了下面的结论：上述两个问题达到最优，当且仅当路径中每相连的两条折线段与对应的动点所在直线具有相等的夹角。
  
    下面考虑这两个问题的纯几何解法。对于问题1，作出点A关于直线l的对称点A'，那么A'B与直线l的交点就是我们要求的C；对于问题2，分别作出点P关于AB和BC的对称点P1、P2，则P1、P2的连线与AB、BC的交点就是我们要求的M和N。几何解法的正确性也是显而易见的：把AC转移到A'C，把PM和PN分别转换为P1M和P2N，问题就变成了求两点间的最短距离，显然两点间以直线距离最短。
    无论从数学方面看还是从物理方面看，这两种解法都是等价的。从几何解法的构造中我们可以轻易推出入射角与反射角相等，而这个几何构造说穿了就是作出光源的镜像，与物理解法没有本质上的区别。

    在接下来的两篇文章里，我们会提到另外两个精彩的数学问题，它们既可以用Fermat原理来解决，同时也可以从力学的角度来阐述。

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    你是否曾趴在电脑前暗下“做出了这道题再睡觉”的决心？你是否曾有过“这题没想出来，老子今天不吃饭”的想法？看到最近xkcd的一幅漫画后，我突然意识到了它的危险性：不顾一切地钻进某个难题里并不是一件好事。不要轻易透露你geek/nerd的身份，不然你很容易被人利用或者陷害。
    to各位MM，当你的BF在你旁边叽叽喳喳闹个不停把你弄烦了时，你会咋办？如果他正好是一个狂热的数学/物理/信息学爱好者，问题就好办多了：给他一道难题做，他很快就安静下来了。这样的题最有效果：题目新颖有趣，描述非常简单，并且解答异常困难。比如，漫画里的那道题就是一个绝好的例子……
    妈的，今天不再更新了，古代汉语也他妈的不复习了，等老子把这题解决了来再说。呃，如果两个点之间的Manhattan距离为3的话……

    我们平时习惯说“微积分”。有趣的是，积分的出现远远早于微分。积分思想的早期萌芽甚至可以追溯到古希腊时代，Democritus曾运用这种思想解决了很多复杂的问题。他的“数学原子论”观点强调几何体是由一个一个面重叠而成，而面则是由线组成。他把圆锥看作一个个不可再分的薄片，从而成功地得到了圆锥体体积公式：圆锥的体积等于等底等高的圆柱体体积的1/3。事实上，仅仅凭借经验加实验，这个公式也很容易被发现，因此我们这里不再仔细追究公式的推导过程。但古希腊人对球体积的研究却迟迟没有进展。此时，一代神牛Archimedes出现了。Archimedes用了一种出人意料的神奇方法找到了球的体积公式，整个推导过程令人称叹不已，拍案叫绝。
    我们从圆的方程开始说起。首先观察方程(x-a)^2 + y^2 = a^2，这是一个中心在(a,0)，半径为a的圆，它在y轴右边与y轴相切。整理一下这个式子，我们有x^2 + y^2 = 2ax。在这个式子中，x可以从0取到2a，每一个x的值就对应着一个y值，它表示圆上对应位置的半弦长。注意到这个式子的特殊性：如果等式两边同时乘以π，牛B东西就来了：πx^2 + πy^2 = 2aπx，左边出现了两个与圆面积相关的项。这使我们有了一种让等式两边再乘以一个2a的冲动，因为这样的话等式右边也出现了一个与2a相关的圆面积：2a(πx^2 + πy^2) = x π(2a)^2。现在的问题是，等式左边多出来的一个2a和等式右边的那个x该咋办？不用担心，我们不是有杠杆原理这种牛B东西么，这两个东西可以当力臂长啊。于是，一个现在看上去并不算太突兀的力学模型出现了：

      
    找一根不计重量的金属杆，水平放置这根金属杆并以O为支点。金属杆右边串一个半径和高都是2a的圆柱体，圆柱体的左端点与支点O重合。把一个半径为a的球和一个底面半径和高都是2a的圆锥用绳子串起来，悬挂在左边距支点2a处。再次回到我们刚才的等式2a(πx^2 + πy^2) = x π(2a)^2。发现了吗，每取一个x，式子中的三个圆面积公式正好对应着这三个几何体相应位置上的横截面积。右边的圆柱横截面积始终为π(2a)^2，它离原点的距离为x；左边那个圆锥的横截面积为πx^2，它与圆锥顶端的距离为x；圆锥上方的那个球里同样存在一个对应的截面，这个截面离球的顶端距离也是x，而它的面积则正好是πy^2（回忆之前提到的半弦长）。乘上它们各自的力臂，我们就得到了上面的式子，而这个式子左右两边是相等的。于是我们知道了，对于任何一个x，三个立体图形对应位置上的“切片”都能够使杠杆平衡。我们有理由相信，如果每一个切片都可以使杠杆平衡的话，取遍所有的切片后，整个系统也应该是平衡的。尽管这存在一个严密性的问题，但毫无疑问这种假设是非常合理的，并且这种想法很大程度上促成了后来微积分的产生。无论如何，Archimedes利用这种方法得到了正确的答案：假设球的体积是V，则由杠杆原理得2a*(V + π(2a)^2*2a/3) = a π(2a)^2*2a （右边那个圆柱体的重心在图形的正中间，它到支点的距离为a，这即是臂长）。解得，V=(4/3)πa^3。

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    数学很科学，但真正神奇的是物理。物理科学一次又一次震撼了人类。上帝是一个艺术家，它创造的这个世界是如此的和谐。自然界的每一个现象都可以用如此简洁的公式表达出来，以至于越来越多的人相信宇宙终极定律的存在。有一句话非常准确地表达了我对物理学的看法：Chemistry is physics without thought. Mathematics is physics without purpose.
    数学的很多问题都可以用物理模型来描述，并且利用一些物理定律来解决。之前我知道至少5个用物理方法解决数学问题的实例，看完《数学与猜想》第一卷后又多了解了好几个。我将选一些个人感觉比较有趣的例子写在这里。另外，这一系列文章的科学性和严密性可能是我所有写过的东西中最没把握的，希望网友们能帮忙纠正一些物理方面的严重错误。毕竟我是文科生，物理的东西了解得并不透彻:(

    我们首先从一个简单的问题开始。这是一道初中平面几何题，它是初中那几道经典老题之一，能在一瞬间唤起你初中时的记忆。相信很多人对这题记忆犹新，再次看到这个题目时甚至可以立即报出答案来。但是，你有见过用杠杆原理来解这个几何题吗？

      
    问题：如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的三等分点，求三角形PQS的面积。

    解答：把整个图形想象成一块水平放置的纸板。在A点挂一个1g的砝码，在B点挂一个2g的砝码，在C点挂一个4g的砝码。由杠杆原理：F是AB边上的支点，相当于承受了3g的重物，这样的话整个图形的重心应该在FC上；D是BC边上的支点，相当于承受了6g的重物，这样的话整个图形的重心应该在AD上。于是，整个图形的重心就应该落在FC和AD的交点S上，因此S必须是AD边的支点。而A重1g，D重6g，则AS:SD=6:1。于是S△ASC = 6/7 S△ADC = 6/7*1/3 S△ABC = 2/7。类似地，S△BQC和S△APB都等于2/7，剩下的S△PQS就等于1/7。

    应用类似的方法还可以解决很多其它的几何问题

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    想像一个凸的几何体（比如一块鹅卵石）。把鹅卵石扔在平地上，石头可能会滚上个一两圈，但最终总会停下来。由于鹅卵石是凸的，任意时刻它与地面只有一点相接触。当它静止下来的时候，它与地面的触点可以使得整个几何体保持平衡，不妨把这样的点叫做平衡点。显然，一个几何体不可能永无止息地原地翻滚（它哪来那么多能量），最终总会在某个平衡点处停下。事实上，我们可以严格地证明，一个几何体至少有一个平衡点。问题是，有没有什么几何体就只有一个平衡点呢？你可能会说，不倒翁就只有一个平衡点啊。我们说，不倒翁这玩意儿是耍了赖的，把不倒翁劈开来，里面没粘着一个秤砣大的重物才怪。
    经过几年的努力，匈牙利科学家Gábor Domokos和他以前的学生Péter Várkonyi终于找到了这样一种凸几何体，它的密度是均匀的，并且它只有一个平衡点。随意地把它放在一个平面上，它总会自动地调整到那个唯一的平衡状态。轻轻碰一下它，它马上又会恢复原位。这样的凸几何体叫做Gömböc。匈牙利语Gömb是球体的意思，gömböc就表示像球一样的东西。Gömböc是第一个凸的、均匀的、只有一个平衡点的几何体（准确地说是两个平衡点，另一个是非稳定的平衡点，它在稳定平衡点的正对面）。这种几何体很可能被做成玩具或摆设，因为它们本身也非常美观，具有很多现代抽象艺术的特征，极具观赏价值。
    他们还猜想，存在这样一个凸多面体，只有一个面是“平衡面”。满足这种性质的凸多面体所需要的面数可能相当多。现在还没有找到这样的凸多面体。

消息来源：nytimes
查看更多：http://www.gomboc.eu/site.php

    记得初三物理竞赛的一道经典题目就是，给你N本大小相同的书（不同的版本：砖头、多米诺骨牌），问你在书桌的边沿处重叠起来最多可以伸出桌面多远。这是典型的杠杆原理题目，只是没有把杠杆原理发挥到极致罢了。
    下面的所有图片都来自这个站点。























    我们立即会提出一系列有趣的问题，比如按照某种规则最多可以重叠多少硬币，可以伸出桌面多远，搭出给定长度的桥至少需要多少硬币等等。正巧前不久看到了一篇讨论此问题的论文，这里做一个链接：pdf文件, 1.20MB, 英文

    2007.03.11注：考虑到现在这个Blog的阅读者逐渐改变，有必要说明一下。这篇日志是早以前（还在MSN Space时代的时候）写的，涉及到诸多内部笑话，广大网友没法看懂。本来我想把它删除了或者隐藏了，但考虑到网志的完整性，仍然保留了下来。
    我参加省选前，Zroge曾经来给我们讲过课。他讲完SPFA后，我们老师（Zlaner，女，即照片中的人）叫一个同学去编程实现这个算法，她把SPFA读作es pee far，我们笑了一晚上。有一天我们老师上厕所出来时发现大门锁了，丢死人了，给我打了个电话叫我帮她。我拿我的Nokia 6020咔嚓咔嚓照了几张像后说要把这个发到Space上。回家后突发奇想，编了这个故事。

    一次星期天晚上下了晚自习，我走在回家的路上，才考了语文，没考好，心里很郁闷。路过小龙坎车站那里，突然从天上掉下来一个女的，不大，十六七岁的样子，穿得很少，看起很乖。如此美丽的她就这样突然出现在我面前。当时已经很晚了，看看周围没有人，我就偷偷地把她带回了家。
    跟她住一起住久了，我发现她有一些奇怪。后来，她告诉我，她是从别的星球来的。因为我们星球质量比他们那里大，她不习惯这里的重力，因此来的时候才从天上摔下来。我问她叫什么名字。她说她虽然有名字，但在那个星球上，他们的名字都很长。就这样，我算认识了一个外星人MM。
    再后来我停课了。我有更多的时间陪她在一起玩。我经常带她去三峡广场，逛商店，吃东西，看电影。
    今天早上起来时，她告诉我，她想看一看地球上的生物。她说，她听说地球上有各种各样的动物。想到这几天我都到学校去做Zlan的题，很久没出去玩了，我就答应带她去一趟动物园。我给Zlan发了个短信，说我今天有点事，上午暂时不来了。
    然后我把她带到杨家坪的那个动物园去玩，就是小学春游常去的那个动物园。她逛了一会儿就不想玩了，说没意思。我看看时间，才十点过，于是问她还想去哪儿。她想了一下，突然来了兴趣，告诉我说她不是一个人来地球的，其实他们星球一共来了四个人。另外三个从事着更复杂的一些研究。她想带我去看看他们到地球的一些研究成果。我答应了。
    路上，她告诉我了他们来地球的真正目的。他们星球的科技发展到需要相当精度的电容器，其电容值的允许误差范围甚至难以测量出来的。他们称高度精确的一皮法电容叫做一个超级皮法，也就是他们所说的Super皮法，简称S皮法。为了得到一个S皮法，他们花了几个世纪的时间。偶然的一次机遇，他们星球上的人监听到了在一个遥远的蓝色星球上已经有人做出了S皮法。于是，他们星球派出了包括我的外星MM在内的四个人试图带回这一项技术。
    我学文，不知道什么叫电容，什么叫皮法。依稀记得教我们年级16班的物理老头在我们班上课时说过什么“皮法”、“微法”。
    我问MM，难道你们已经找到了掌握这项技术的人了吗？
    她说，当然，是一个重庆八中的教师。
    我一惊——难道物理老头在我们班平静地叙述着“皮法”、“微法”时背后竟然藏着一个令外星文明如此感兴趣的科研成果？不愧是八中教师啊。
    MM告诉我，这是他们难得的机遇。他们把这个人锁在了一个玻璃门内，千万不能让这人给跑了。
    我看看表，十一点。我赶紧催促，快，带我去看看。
    她拉着我的手走进八中校园，经过草场边和林阴道，径直走向逸夫楼。
    当走到逸夫楼三楼楼梯拐口时，我突然觉得什么地方不对。我问MM，你们星球的人是怎么知道那个人掌握了S皮法技术的？
    她说，他们监听到在一个满是计算机的房间里，这个人竟然随口指使另一个人说，“NK，嘛哈儿去按照Zroge说的把S皮法做出来”。
    正说着，我们来到了逸夫楼四楼。
    于是，我看到了如下的画面。

  

    

幸兄说的果然没错，“6020成像不好”，不愧是行家啊。
今天看了一下大家的MSN Cartoon头像，还是幸兄的那个最像。

    新年第一天斗地主输了13元，郁闷了，到这里来写一点东西。
    昨天和NK聊MSN，对方冒了一句暴经典的话，说把儿的时间是给女人和OI的。这句话很值得思考。我们要思考一下，为什么OI和女人的地位并列？他们之间有什么共同处吗？我陷入了沉思。几分钟后，我猛然抬头，发掘了一个OI和女人的共同处：对于一个女人和一段程序，往往都是输入的多，输出的少；过程也许很复杂，但我们只管最后的输出。这也是女人和程序最吸引人的地方。因此，我们可以认为，NK的这句话是富有哲学韵味的。
    NK为何说得出这样经典的句子而把儿自己却说不出来？我们很快联系到，NK说，他放弃了。他放弃了什么我们不管，但很显然他能站在把儿、女人和OI之外去分析。换句话说，当把儿陷入OI不能自拔时，NK却清醒的看到OI与女人的等价性。即把儿和NK有个区别：虽然他们都是男人，都把女人放在第一位；但前者却放不下OI，后者却可以坦然的放下来。说穿了，就是把儿把OI当作了一个男人的第二生命（男人的第一生命永远是女人）。
    一个人一生有且只能有一个追求。猫猫这一辈子的追求是什么？猫猫可以选择音乐，可以选择童话，可以选择化学；但一旦选定了，这一辈子都要以它为“线索” 了。有人会说，我什么也不会，就是很猥亵，我这一生还能追求什么？把儿的回答是：你就算只会猥亵，你这一辈子能猥亵出点名堂来，出了点小名气也可以。但是显然这不是针对把儿自己说的。
    曾以为物理是小把儿毕生的追求。后来才知道我错了。用物理知识去说明一些现象，解决一些问题是非常有趣的；但用物理公式去计算一些数值来却毫无意义。计算题玷污了物理的趣味性。有人说，哪个学科不是这样呢？我找到了，那就是信息学。闲时你可以做一些题，你可以去参加竞赛。虽然大多数时候结果也是一个数值，但它与其他的竞赛有一个最大的不同，这也是它迷人的地方：它只关心输出，不关心过程。你的程序不一定对，但你的结果对了；你们的程序都对，但你们的程序完全不一样。每次想到这里我就感到非常高兴。这是目前为止我所发现的唯一一科只需要思维，不需要动笔计算的学科。你不用算，你只需要知道怎么算，然后让计算机算。同时，它也是我发现的涵盖最广的学科。它包含了几乎所有非计算的数学知识，包括离散数学、组合数学、运筹学、逻辑学、图论……
    因此我说，信息学特别有趣。而且是相当的有趣。我不放弃它。但这里的“放弃”定义与NK有所不同。我可以放弃NOIp，可以放弃省选，可以放弃NOI，可以放弃IOI，甚至可以放弃整个信息学竞赛。但我不放弃信息学。用这种方式定义“放弃”，我相信，不单是NK，所有深入学习过信息学的人都清楚，放弃整个信息学是不会发生的事。正如猫猫不会放弃童话，不会放弃音乐。那是一种兴趣和爱好。而我则走上了极端，我不但不放弃它，而且把它置于了与女人同等重要的地位。它将陪伴我一生。我将永远用OI充实我的生活。
    最后说一下，新OIer们，道路非常漫长，要学的东西还非常多。也希望你们永远不要放弃。
    给大家拜个年。