量纲法竟然还能这样用

    公式 h = (1/2)·g·t^2 里, t 头上的平方并不奇怪。显然,物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的,高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位,是米除以平方秒的形式;为了得出一个以长度为单位的结果,我们必须要消除分母位置上的“平方秒”,因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。

    类似地, E = m·c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米,牛本身又是千克乘以米每平方秒,刨根到底能量的单位就该是 千克·(米^2)/(秒^2) ,正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。

    在数学中,量纲法也是无处不在。 n 维球的体积公式一定是半径的 n 次方乘以一个系数, Heron 公式 A = √s(s – a)(s – b)(s – c) 看似复杂的外表下也遵循着量纲这一金科玉律。给定 n 个数,我们有多种定义其平均数的方案,包括所有数之和的 n 分之一(算术平均数),所有数乘积的 n 次方根(几何平均数),所有数的倒数和的倒数的 n 倍(调和平均数),所有数的平方和的 n 分之一的平方根(均方根),等等。由于一组数的平均值的量纲应该和这些数本身的量纲保持一致,因此在各种平均数的公式里,平方了就要开回去,取倒了还得倒回来,全乘在一起就得开 n 次方,这样才能得到同样类型的数。

    自从在《怎样解题》里看到了量纲法,在学习和讲解数理知识时我便特别留意量纲,慢慢总结出上面这些用于说明量纲规律的经典例子。今天,我又看到了一个把量纲用得神乎其技的经典例子,在这里和大家分享。

    在微积分里,下面这个公式是一个相当帅气的结论:

    

    它的推导过程也非常帅,大家可以在这里欣赏到。

    不过这并不是这篇文章的重点。我们的问题是,下面这个定积分等于多少?

    

    或者一般地,下面这个定积分等于多少?

    

 
    毫无疑问,随着 α 值的变化,定积分的结果也会随之变化。我们关心的是,这个结果究竟会随着 α 怎样变?这个式子是对 x 进行积分,我们不妨假设 x 是一个表示长度的量,它的单位是米。首先,指数表示“多少个底数相乘”,应该是一个数,是不会有单位的。也就是说,指数 -α·x^2 应该是无量纲的。但 α 后面乘了一个 x^2 ,因此 α 本身的量纲就应该是 1/(米^2) 。由于底数 e 是一个没有单位的常数,因此连续的 e 相乘也是没有单位的; dx 是 x 变化一点点的量,它的量纲和 x 一致,也是米;因而, e^(-2x^2) dx 的单位也就是米了。而对这些以长度为单位的量进行求和,得到的结果也只能是“多少多少米”的形式。也就是说,整个定积分应该会得到一个以米为单位的量。

    同时,定积分的结果也是一个关于 α 的函数。但是, α 是一个以 1/(米^2) 为单位的量,怎样才能把它变成一个以米为单位的量呢?答案就是, α 必然要以 1/√α 的形式出现在定积分的结果中。也就是说,整个定积分就是 1/√α 乘上一个系数。至于这个系数究竟是多少,前面的公式已经给了我们充分的条件了:当 α = 1 时,定积分的值是 √π (也即 √π/√α ),也就是说这个系数就是 √π 。因此,结论就是:

    

    注意到,我们完全用量纲法,推导出了一个定积分运算结果的形式!

37 条评论

  • harryhi

    神奇……

  • zpyxbx

    真理是和谐统一的…

  • morrowind

    这个有点扯,凑巧而已吧,试了一下∫e^(ax)dx 从0到1 就不对嘛。

  • Niuzr

    地毯你看文章了吗…

  • Niuzr

    地毯,是对的吧…

  • Liana

    量纲有点像是将“虚无缥缈”的数学跟实际生活连接了起来,把一些抽象的东西拉近到我们身边……
    最后一题其实可以直接构造一个实际问题出来阐述?

  • Maigo

    嘿嘿,记得我在高中的时候也喜欢玩量纲!

  • hoxide

    这个叫变量代换~~~~
    换一下出来一个Jacobian 就是你的量纲分析出来的东西

  • V Leo

    高中经常用量纲法检查物理题目的答案:
    左边是时间,右面也要是时间。

    – -不过不知道那叫“量纲法”,个人命名为“单位检查法”。。。
    偶尔也用量纲法+极限法蒙题。。。

  • V Leo

    话说M牛选择的这个给力的Gamma函数模型最近快把我逼疯了- –

    求教为什么Gamma(n+1/2)/Gamma(n)和sqrt(n)是同级的- -?

  • yicaoyimu

    Nice! Finally find sth I can understand~

  • 李火山

    matrix老兄,既然说道量纲法就一定要看超星学术讲座的这个,《日常生活中的量子物理学》http://www.ssvideo.cn/videoinfo.asp?id=1233,用量钢分析估算声速,地球上山的高度,热胀冷缩,烤火鸡的时间

  • yh

    10L:(n-1/2)!就是(n-1)!乘以半个n-1/2到n之间的数
    推复杂度一般也可以用stiring公式,然后显然

  • xiakexiake

    M显然没学好偏理科的东西,量纲这玩意儿是拿没量纲的东西没办法滴。我是说常系数。在这篇文章里,你的量纲是对了,可是系数对不对呢?这是量纲无法证明的东西。

  • 混蛋作业!

    有一种我想到过/学到过的东西,这里一定会有的感觉。。
    最近学了各种平均数。。就出现了。
    原来这货叫量纲法!俺几个星期前还给新童鞋科普这种YY产物,因为那时候在学波什么的,太白痴了背不出公式,波这种东西就算图像来处理也很麻烦,计算就纠结了,这地方又不流行写单位,就抱怨了一下顺便提到了。。

    不过“当 α = 1 时,定积分的值是 √π (也即 √π/√α ),也就是说这个系数就是 √π 。”
    直觉有点不严谨。。

  • stlyx

    嗯嗯~确实是可行的! 而关于物理上的量纲,有一个东西我很郁闷。就是时间也用T表示,温度也用T表示,结果造成了比热容这个物理量的量纲经常在各种书籍中混乱着…

  • dd

    好复杂。。。直接换个元√α x不就完事了。。。

  • forcey

    @17楼,其实量纲法本质上就是换元法,把x换成yz,其中z改个名叫“米”而已。

  • 路人甲乙丙丁

    我觉得既严谨又神奇啊!

  • shi

    我很赞成用量纲法检验和毛估答案。但感觉那个积分推导好像很牵强。

  • xiakexiake

    M这个博客开到现在基本上没什么意思了

  • mckelvin

    非常神奇的推导!

  • NetCobra

    当年常常用量纲来验证自己记忆的公式是否正确:如果公式两边各个变量的量纲的计算结果相同,通常我记忆的公式就是正确的……

  • 用过这种方法。。检验各种复杂推导必备啊。。

  • edward

    好像MIT物理开放课上那个教授第一节就讲了这个,确实很神奇。对了,页面上能插入个sns share按钮吗?

  • cuiaoxiang

    很简单的道理啊,被说的太玄了,就是做一个变换 x–>ax 由于 +/-inf scale 一下不变,所以算一下就知道了

  • 溪流

    楼主的例子可以归为几点来说:
    1、假设x是物理量。物理量作为积分变量在物理应用上是普遍的。为了表述方便,设她的数值为 |x|,单位为 X,x=|x|X。
    2、指数只能是纯数字,因此a也只能是一个物理量,单位是 1/X^2,只有这样才能把 x所带的单位抵消掉。
    3、积分号的作用是累加,不会影响单位,因此积分结果的单位就是北极表达式的单位。前面说过了,指数是纯数字,底数e是纯数字,dx单位同x,因此最后结果的单位也是跟x相同。
    4、数学上的规则使得最后结果不含x。因此只能以a来表达,所以跟 1/跟号a 成正比。
    5,代入一个数值,求出系数。
    LZ的表述看得我很蛋疼。

  • aaa

    雖然因次分析看來是很基礎,但這對物理研究而言是超級重要的分析原則,很多高超的物理學家都是很依賴因次分析,他們有時候不用算太多,單純用因次分析就有很重要的結果了

  • useiee

    LS说博主理科没学好的,你是把理科给学shi了没有领会到量纲法的妙处
    LS说量纲法就是变量替换的,那就是根本没理解了

    量纲法可以说是物理母空间和数学数空间保持和谐性的结果

  • lwl来围观

    我们高中老师就比较系统地教了这个方法,在批改我们做的题目的时候,看几眼就说单位不对!

  • sailzj

    相当不严谨啊,第一类换元碰巧作对了而已
    碰巧d(√a x)=√a dx
    但是对于物理学来说量纲法的重要性不言而喻。

  • ustb

    是不是有点算子的味道

  • cervelo

    确实是可行的! 而关于物理上的量纲,有一个东西我很郁闷。就是时间也用T表示,温度也用T表示,结果造成了比热容这个物理量的量纲经常在各种书籍中混乱着…

  • dibiyalu

    严重觉得不对 同意32楼

  • 春暖花开色吧活动区

    ,你可以先知先觉地领导产业,后知后觉地苦苦追赶,或不知不觉地被淘汰

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