牛题:等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变

 

如图,等边三角形ABC,P为三角形内接圆上一点。求证,AP^2 + BP^2 + CP^2为常数。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

证明:把整个图形放在三维空间里,其中A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)。因此,三角形ABC位于平面x+y+z=1上。图中的内接圆即为某个以原点为球心的球x^2 + y^2 + z^2 = r与该平面相交所得(其中r是某个常数)。于是,我们有

   AP^2 + BP^2 + CP^2
= (1-x)^2 + y^2 + z^2 +
   x^2 + (1-y)^2 + z^2 +
   x^2 + y^2 + (1-z)^2
= 3·(x^2 + y^2 + z^2) – 2·(x + y + z) + 3
= 3·r – 2 + 3
= 常数

来源:http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/EquiIn3D.shtml
查看更多:几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题

47 条评论

  • alax

    居然用了三维空间。。

  • KC

    厄,如果用极坐标的话,会怎么样?
    不过似乎没有角度关系?……

  • estelle

    good ,to some degree.

  • llxy7

    题是水题,做法很强大

  • Assassin.cpy.pku

    嗯.强大的.
    直接用余弦定理亦可.过程如上简短.

  • Jade

    余弦定理。
    啊,楼上已经说了。

  • galilette

    don’t need this twisted mapping.

    let a, b, c, p be the vectors connecting O to the respective points, then
    (a-p)^2 + (b-p)^2 + (c-p)^2
    = (a^2 + b^2 + c^2 + 3p^2) – 2(a+b+c).p

    1st term is constant, 2nd term is 0 b/c a+b+c = 0
    QED

  • KC

    厄,LS的好多大牛……

  • Sevenk

    我竟然想到了万能的解析……

  • gnaggnoyil

    我怎么也和LS一样……想到了万恶的解析……

  • jun_lonely

    让万恶的解析和直观的余弦定理把思维限制了。。没想到还有如此强大的解法。。

  • Marshalx

    我同学当时自己也提出过这个猜想,不过当时全校没一个能搞定的 囧

  • qzstar1985

    这道题怎么会有人提得出来却证不出来…余弦定理显而易见啊

  • DJ加菲众

    猜想:多面体以质心为球心的球上一点到各顶点距离平方和不变。
    我已经证明到:
    多边形以质心为圆心的圆上一点到各顶点距离平方和不变。
    (其实就是一步之遥,实在懒得写了,哈哈。)

    以下文字转贴自我的博客,请移步:
    http://hi.baidu.com/dj%BC%D3%B7%C6%D6%DA/blog/item/75b704f1d8df4fcb7831aa88.html

    理科生的格言就是我们爱科学。

    我是一名电台DJ,做广播里面的音乐节目之余,我也喜欢在网上找各种题目,来满足我作为理科生时的受虐欲望。

    最近我在一个著名的数学博客matrix67上看到一道证明题:等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变。图形如下:

    等边三角形ABC,P为三角形内接圆上一点。求证,AP^2 + BP^2 + CP^2为常数。

    原作者引述的方式是引入一个维,在三维坐标系中解决了这个初中难度的几何题,实在是很妙的解法。

    但是我一直想象有没有一种物理的解法来解决这个问题,毕竟这很容易让人联想到质点组ABC的质心O对P的引力、距离及其它矢量关系。

    构筑物理模型时似乎没什么头绪(如果各位有想法可以告知,:) ),倒是提醒了我这道题可不可以推向更广阔的范围。因此有了如下的一个归纳逻辑过程,并提出猜想:

    多面体以质心为球心的球上一点到各顶点距离平方和不变。(定理一)

    归纳逻辑过程如下:

    等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变。(原命题)

    继而猜想:等边三角形以中心为圆心的圆上一点到三顶点距离平方和不变。

    继而猜想:三角形以质心为圆心的圆上一点到三顶点距离平方和不变。

    继而猜想:多边形以质心为圆心的圆上一点到各顶点距离平方和不变。(定理二)

    继而猜想:多面体以质心为球心的球上一点到各顶点距离平方和不变。(定理一)

    ……

    可以继续猜想到更广义的维度:多胞体以广义质心为……可惜我都不知道怎么称呼球、距离等等了。汗|||

    我们来证明定理二(即定理一的二维表述)。

    其实推广到定理二,反而思绪比原命题开阔得多。

    定理二的证明:

    设点阵(x1,y1 ), (x2,y2 ), …, (xn,yn )为多边形各顶点;

    则其质心坐标为O(∑x n/n, ∑y n/n);

    以O为圆心的圆为(x-∑x n/n)2+(y-∑y n/n)2=C ;(C为常数,任意半径的平方。)

    对于其上一点P,有(xp-∑x n/n)2+(yp-∑y n/n)2=C

    展开其,

    xp 2-2 xp∑x n/n +(∑x n/n)2 +yp2-2yp∑y n/n +(∑y n/n)2 =C

    两边乘以n,

    nxp2-2xp∑x n +n (∑x n/n)2 +nyp2-2yp∑y n +n (∑y n/n)2 =nC

    调整常数,

    ∑(xp2-2xpx n+x n2+ yp2-2ypy n+y n2)=C’ (易知C’亦为常数)

    从而,

    ∑[(xp- x n) 2+(xp- x n) 2]= C’

    命题得证。

    可以向多维继续演绎,只是更多项式的展开整理而已。

    并且,可以做以下演绎:

    当n=2时,可表述为以线段中心为圆心的圆上一点到两端点距离平方和不变。

    当n=3时,可表述为三角形以质心为圆心的圆上一点到三顶点距离平方和不变。

    … …

    许久不做数学题——至少很久没有亲自披挂上阵,而是看别人解决问题,希望推理过程没有什么错误。暂且想到这里吧。

    又及:看来原命题条件具有相当大的特殊性;其实它的魅力在于,不仅在解决它的时候可以任意开展想象,将它一般化后更是有更广阔的空间。这让我又思考起一些哲学命题了……

  • DJ加菲众

    刚才的回帖上下标全乱了|||

  • DJ加菲众

    我们成立个左右脑都要使用联盟吧……

  • thssld

    用向量法应该更简单一点吧
    0A=∑OAi/n,|BA| 恒等于 r
    ∑|BAi|^2
    =∑(BA+AAi)^2
    =n*|BA|^2+∑|AAi|^2+2*BA*∑AAi
    =n*r^2+∑|AAi|^2+2*BA*∑AAi
    前两项为常数,而由 A 的定义:
    0A=∑OAi/n
    =>∑(OAi-OA)=0
    =>∑AAi=0
    =>2*BA*∑AAi=0
    证毕。

  • hanxu

    题是牛题,证明过程如果能体现几何的美,那就更牛了。
    想了一下利用两个事实:1,OP是常数;2,三个三角形ΔPAB,ΔPAC,ΔPBC面积和为常数,不过没证出来。
    ps:评论很容易,自己搞定就需要能耐了。

  • mmdapei

    都是牛人啊……

  • 亦草亦木

    难得我看懂了这个证明,看来真需要自己在纸上好好画一画。

  • luozhenhua

    这是距离平方和的一个基本结论,用向量法是比较简洁的,它实际上有一个强有力的恒等关系的刻画(26楼已经写出来了)。在三角形特例中,这个恒等式能导出一系列的心距公式(如外心与重心,内心与重心),这个恒等式丢掉末尾的平方项(即与点到重心距离)可以得到嵌入不等式,它还与惯性矩不等式有很大关联。
    我还是很佩服matrix67的学习数学的态度,如果每个搞竞赛的人都抱着这种态度学习的话,兴许竞赛界就没今天那么多事了。 一名高中竞赛生

  • cervelo

    xp 2-2 xp∑x n/n +(∑x n/n)2 +yp2-2yp∑y n/n +(∑y n/n)2 =C

    两边乘以n,

    nxp2-2xp∑x n +n (∑x n/n)2 +nyp2-2yp∑y n +n (∑y n/n)2 =nC

    调整常数,

    ∑(xp2-2xpx n+x n2+ yp2-2ypy n+y n2)=C’ (易知C’亦为常数)

    从而,

    ∑[(xp- x n) 2+(xp- x n) 2]= C’

  • 5772156

    是内切圆不是内接圆

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