2009-05-28 20:34| 
29 Comments | 本文内容遵从 
如图，等边三角形ABC，P为三角形内接圆上一点。求证，AP^2 + BP^2 + CP^2为常数。
证明：把整个图形放在三维空间里，其中A=(1,0,0)，B=(0,1,0)，C=(0,0,1)。因此，三角形ABC位于平面x+y+z=1上。图中的内接圆即为某个以原点为球心的球x^2 + y^2 + z^2 = r与该平面相交所得（其中r是某个常数）。于是，我们有
AP^2 + BP^2 + CP^2
= (1-x)^2 + y^2 + z^2 +
x^2 + (1-y)^2 + z^2 +
x^2 + y^2 + (1-z)^2
= 3·(x^2 + y^2 + z^2) - 2·(x + y + z) + 3
= 3·r - 2 + 3
= 常数
来源：http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/EquiIn3D.shtml
查看更多：几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题
SF
居然用了三维空间。。
厄，如果用极坐标的话，会怎么样？
不过似乎没有角度关系？……
good ,to some degree.
题是水题，做法很强大
nice...
嗯.强大的.
直接用余弦定理亦可.过程如上简短.
余弦定理。
啊，楼上已经说了。
don't need this twisted mapping.
let a, b, c, p be the vectors connecting O to the respective points, then
(a-p)^2 + (b-p)^2 + (c-p)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 3p^2) - 2(a+b+c).p
1st term is constant, 2nd term is 0 b/c a+b+c = 0
QED
test
厄，LS的好多大牛……
我竟然想到了万能的解析……
我和LS一样……
RT......
我怎么也和LS一样......想到了万恶的解析......
http://zhidao.baidu.com/question/99017610.html
猛帖，经典
让万恶的解析和直观的余弦定理把思维限制了。。没想到还有如此强大的解法。。
恐怖
我同学当时自己也提出过这个猜想，不过当时全校没一个能搞定的 囧
这道题怎么会有人提得出来却证不出来...余弦定理显而易见啊
猜想：多面体以质心为球心的球上一点到各顶点距离平方和不变。
我已经证明到：
多边形以质心为圆心的圆上一点到各顶点距离平方和不变。
（其实就是一步之遥，实在懒得写了，哈哈。）
以下文字转贴自我的博客，请移步：
http://hi.baidu.com/dj%BC%D3%B7%C6%D6%DA/blog/item/75b704f1d8df4fcb7831aa88.html
理科生的格言就是我们爱科学。
我是一名电台DJ，做广播里面的音乐节目之余，我也喜欢在网上找各种题目，来满足我作为理科生时的受虐欲望。
最近我在一个著名的数学博客matrix67上看到一道证明题：等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变。图形如下：
等边三角形ABC，P为三角形内接圆上一点。求证，AP^2 + BP^2 + CP^2为常数。
原作者引述的方式是引入一个维，在三维坐标系中解决了这个初中难度的几何题，实在是很妙的解法。
但是我一直想象有没有一种物理的解法来解决这个问题，毕竟这很容易让人联想到质点组ABC的质心O对P的引力、距离及其它矢量关系。
构筑物理模型时似乎没什么头绪（如果各位有想法可以告知，:) ），倒是提醒了我这道题可不可以推向更广阔的范围。因此有了如下的一个归纳逻辑过程，并提出猜想：
多面体以质心为球心的球上一点到各顶点距离平方和不变。（定理一）
归纳逻辑过程如下：
等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变。（原命题）
继而猜想：等边三角形以中心为圆心的圆上一点到三顶点距离平方和不变。
继而猜想：三角形以质心为圆心的圆上一点到三顶点距离平方和不变。
继而猜想：多边形以质心为圆心的圆上一点到各顶点距离平方和不变。（定理二）
继而猜想：多面体以质心为球心的球上一点到各顶点距离平方和不变。（定理一）
……
可以继续猜想到更广义的维度：多胞体以广义质心为……可惜我都不知道怎么称呼球、距离等等了。汗|||
我们来证明定理二（即定理一的二维表述）。
其实推广到定理二，反而思绪比原命题开阔得多。
定理二的证明：
设点阵(x1，y1 ), (x2，y2 ), …, (xn，yn )为多边形各顶点；
则其质心坐标为O(∑x n/n, ∑y n/n)；
以O为圆心的圆为(x-∑x n/n)2+(y-∑y n/n)2=C ;（C为常数，任意半径的平方。）
对于其上一点P，有(xp-∑x n/n)2+(yp-∑y n/n)2=C
展开其，
xp 2-2 xp∑x n/n +(∑x n/n)2 +yp2-2yp∑y n/n +(∑y n/n)2 =C
两边乘以n，
nxp2-2xp∑x n +n (∑x n/n)2 +nyp2-2yp∑y n +n (∑y n/n)2 =nC
调整常数，
∑(xp2-2xpx n+x n2+ yp2-2ypy n+y n2)=C’ （易知C’亦为常数）
从而，
∑[(xp- x n) 2+(xp- x n) 2]= C’
命题得证。
可以向多维继续演绎，只是更多项式的展开整理而已。
并且，可以做以下演绎：
当n=2时，可表述为以线段中心为圆心的圆上一点到两端点距离平方和不变。
当n=3时，可表述为三角形以质心为圆心的圆上一点到三顶点距离平方和不变。
… …
许久不做数学题——至少很久没有亲自披挂上阵，而是看别人解决问题，希望推理过程没有什么错误。暂且想到这里吧。
又及：看来原命题条件具有相当大的特殊性；其实它的魅力在于，不仅在解决它的时候可以任意开展想象，将它一般化后更是有更广阔的空间。这让我又思考起一些哲学命题了……
刚才的回帖上下标全乱了|||
我们成立个左右脑都要使用联盟吧……
[...] 写一个Blog最开心的事情就是能认识各种网友。一位电台DJ留言说他将我前几天写的距离平方和问题进行了推广。注意原问题中内切圆根本不是一个必要的条件，只要是以等边三角形中心为圆心作出的圆，结论都仍然成立。这给了我们很多推广的空间。我们不由得开始猜想，对于一般三角形还有类似的结论吗？可惜的是，用几何画板一画，不但以三角形内心为圆心作圆后原结论不再成立，就连根正苗红的内切圆也失去了原有的性质。为此，我们回到原问题中的证明过程上去。为什么那个证明只对等边三角形有效，对一般三角形就不管用了呢？我们照葫芦画瓢，把一般三角形也放到平面x+y+z=1上，不妨记三个顶点分别在(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2)、(x3, y3, z3)，那么所求的距离平方和就应该是x-x1、x-x2、x-x3、y-y1、y-y2、y-y3、z-z1、z-z2、z-z3的平方和。展开后，x^2、y^2和z^2的系数是相同的，它们的和仍然是一个常数。常数项本身就是常数，我们也不必关心它。问题的关键就出在一次项上：式子展开后x、y、z的系数必需相同才能巧用x+y+z=1代换，但这在一般三角形中不一定成立。约去一个比例系数，三个一次项的系数分别为x1+x2+x3、y1+y2+y3、z1+z2+z3。因此，要想让原来的证明仍然适用，必需保证这三组和相等。注意到对每一组(x,y,z)我们都有x+y+z=1，因此9个变量之和应该为3，我们立即可知这三组和其实都等于1。有趣的事情来了，考虑该三角形的质心，(x1+x2+x3)/3、(y1+y2+y3)/3、(z1+z2+z3)/3都等于1/3，而(1/3, 1/3, 1/3)恰好又是平面x+y+z=1上离原点距离最近的位置（也即球x^2+y^2+z^2=r与其相交所成圆的圆心）。因此，我们立即得到这一结论：原题的结论仍然适用于一般三角形及其对应的质心。 进一步观察我们发现，上述推理过程对于任意多个点都是适用的。对于一个四边形来说，所有12个坐标值的和为4，因此x1+x2+x3+x4、y1+y2+y3+y4、z1+z2+z3+z4均为4/3，其对应的质心坐标依旧为(1/3, 1/3, 1/3)。我们甚至还可以大胆预言，该推理过程甚至能继续适用于更高维的情况……正是这种无穷无尽的推广空间才让数学充满了生机，让思考充满了惊喜和乐趣。 Posted in Brain Storm Tags: 证明, 几何, 图形Trackback: http://www.matrix67.com/blog/archives/1954/trackback 我猜您可能还喜欢： 经典证明：Cantor-Bernstein-Schroeder定理 [...]
余弦定理
用向量法应该更简单一点吧
0A=∑OAi/n,|BA| 恒等于 r
∑|BAi|^2
=∑(BA+AAi)^2
=n*|BA|^2+∑|AAi|^2+2*BA*∑AAi
=n*r^2+∑|AAi|^2+2*BA*∑AAi
前两项为常数，而由 A 的定义：
0A=∑OAi/n
=>∑(OAi-OA)=0
=>∑AAi=0
=>2*BA*∑AAi=0
证毕。
题是牛题，证明过程如果能体现几何的美，那就更牛了。
想了一下利用两个事实：1，OP是常数；2，三个三角形ΔPAB,ΔPAC,ΔPBC面积和为常数，不过没证出来。
ps：评论很容易，自己搞定就需要能耐了。
都是牛人啊……
难得我看懂了这个证明，看来真需要自己在纸上好好画一画。
这是距离平方和的一个基本结论，用向量法是比较简洁的，它实际上有一个强有力的恒等关系的刻画（26楼已经写出来了）。在三角形特例中，这个恒等式能导出一系列的心距公式（如外心与重心，内心与重心），这个恒等式丢掉末尾的平方项（即与点到重心距离）可以得到嵌入不等式，它还与惯性矩不等式有很大关联。
我还是很佩服matrix67的学习数学的态度，如果每个搞竞赛的人都抱着这种态度学习的话，兴许竞赛界就没今天那么多事了。 一名高中竞赛生