几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题

一、平面三圆问题1

      

    问题:平面上三圆两两相交于六点。试证明三条公共弦共点。
    证明:把这三个圆想像为三个球的大圆。为方便叙述,我们把三个球的球心确定的平面记作 α。显然,平面 α 在三个球上的截面就是题目的这三个大圆,而 α 上的三个大圆的三条公共弦即是每两个球之间的公共小圆在 α 上的投影。我们要证明的就是三个公共小圆在平面 α 上的投影共点。注意到三个球交于两点,这两点关于平面 α 对称且这两点就是三个公共小圆的交点。把这两点也投影到平面 α 上,得证。

二、平面三圆问题2

    问题:在平面三个圆中,任意两个圆都有两条公切线且两条公切线交于一点。显然,这样的点有三个。试说明这三点共线。
    证明:在这个平面的三个圆上放三个球,每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然,这个平面是这三个球的一个公切面。再把公切线想像成这三个球确定的三个圆锥的母线在平面上的投影。显然三个圆锥的顶点都在这个平面上,且这三个顶点就是待证共线的三点。这三点是显然共线的,因为我们可以在三个球上找到另一个公切面(想像一块玻璃板从上面盖下去),那么这个切面上也包含了三个圆锥的顶点,而这两个切面的交线是唯一的一条直线。

三、四人旅行问题
    问题:平面上四条直线,任两条不平行,任三条不共点。四个旅行者 A、B、C、D 分别匀速地走在这四条直线上(他们的速度可以不相同)。若 A 在行走过程中与 B、C、D 相遇,B 在行走过程中与 C、D 相遇(当然也遇见了 A),求证:C、D 在行走过程中相遇。
    证明:作垂直于平面的直线作为时间轴,建立三维直角坐标系。由于四人均匀速行走,因此他们的路程-时间图像是线形的。我们可以在空间中作出 A、B、C、D 四个人行走路程与时间关系的图像并分别命名为 La、Lb、Lc、Ld。这样,我们可以从这四条空间直线中轻易判断某一时刻四人的位置。例如,空间中 P 点 (x, y, t)在直线 Lc 上,则表明在 t 时刻 C 走到了平面(x, y)位置。好,现在强了,真的强了。A、B 不是曾经相遇过吗?这就是说,La 和 Lb 相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C 不是与 A、B 都相遇过吗?那就是说,Lc 与 La、Lb 都相交。于是,Lc 也在这个平面上。同样地,Ld 也在这个平面上。既然全部都共面了,Lc、Ld 必然会相交,即 C、D 必相遇。得证。

四、三角形对称问题
  

    问题:平面上任意三角形 ABC 和异于 A、B、C 三点的点 P。 X、Y、Z 三点分别是 P 点关于三边 BC、AC、AB 的中点的对称点。求证:AX、BY、CZ 共点。


    证明:考虑空间中一点 P' 使 PP' 垂直于平面 ABC。作出 X'、Y'、Z' 关于三边 BC、AC、AB 的中点对称。可以得到,点 A、B、C、P'、X'、 Y'、Z' 是一个平行六面体的顶点。AX'、BY'、CZ' 是三条体对角线,他们显然共点。这个证到了有什么用呢?把这几个带了一撇的点全部投影到平面 ABC 上,结论就证到了。

82 条评论

  • 想想议议

    有没有把空间几何问题辅助线做到4维去的?

    回复:这个……值得思考

  • spiderm1

    四维我连想象都想象不出哎~估计只会越搞越麻烦……

  • zqy

    太妙了。恕我考古。
    下面谈谈平几做法。
    1.根轴定理—-根心定理。MO直接用。
    证明可用差幂定理,即到两点间距离平方和的点的轨迹是一条垂直于这两点连线的直线。
    2.笛沙格定理。两个三角形是 圆心三角形 与 外围的公切线交点组成的三角形。
    3.不会。
    4.想了一会儿呢。[idea]
      作三角形ABC位似变换,位似中心为p,位似比为1:2,变为A1B1C1。
      显然,X,Y,Z分别在B1C1,C1A1,A1B1上。
      连XY,YZ,ZX, 易知三角形XYZ与三角形ABC全等,
      且XY//AB,YZ//BC,ZX//CA。
      
      那么三角形XYZ必可由三角形ABC旋转180度得到。
      那么AX,BY,CZ交于旋转中心。
      (此布亦可用扩展的第沙格定理。两个三角形对边平行,交于无穷远点,而所有无穷远点

    共线,故三顶点连线交于一点。)

  • zqy

    ps:4.(接第三句话) 且X,Y,Z分别为B1C1,C1A1,A1B1中点。
    唉,太差了。

  • jackie

    These moss-skinned trolls could regenerate lost limbs and heal grievous physical injuries, but they proved to be a barbaric, wow goldwow goldwow gold
    evil race. wow goldThe Amani empire stretched across most of northern Lordaeron, and the trolls fought hard to keep unwanted strangers frowow goldm their borders. The elves developed a deep loathing for the vicious trolls and killed them on sight whenever they were encountered.

  • wasyyyy

    对这4种证法十分崇拜。。
    强大,无敌。。
    尤其膜拜一下第3题的那个方法。。

  • Zx.MYS

    继续考古
    这些证法太强了……

  • 地心

    继续考古,真是厉害,这样都想的到!

  • 上帝的神

    你老厉害了~~我们用平几快证死了的题。。。。。。

  • Eagle_Fantasy

    居然2006年的文章我才刚刚注意到 强大 十分强大

  • Sevenk

    第3题证法MS有漏洞……
    原话:
    La和Lb相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C不是与A、B都相遇过吗?那就是说,Lc与La、Lb都相交。于是,Lc也在这个平面上。
    我的想法:
    可是,万一La,Lb,Lc交于一点呢?

  • kimon

    14楼,你说的情况更简单了,题目已经说任三条不共点了,呵呵

  • bouillotte

    对这4种证法十分崇拜。。
    强大,无敌。。yaourtière
    尤其膜拜一下第3题的那个方法。。

  • 小呆

    这里有人讨论到Desargues定理, 太好了.
    我做个广告先: 原来的笛沙格定理涉及的Desarguesian configuration都是可以这样描述的, ABC-S-A’B’C'(不论空间, 还是平面);

    但是我发现其实这个定理可以推广到对: ABCD-S-A’B’C’D’, 乃至ABCDE-S-A’B’C’D’E’ 及更高维数都成立;

    如果利用”齐次坐标”解析表达, 这些证明都可以脱离了辅助线进行.

    共点和共超平面(二维空间时, 超平面为线)对偶.

    基于这种推广, 进一步发现, 初等矩阵 和 某个变换(stereohomology)具有一一对应关系, 而且它们涵盖了好多几何变换, 尤其是图形学中常用的.

    google: stereohomology可以找到这个资料: http://www.newsmth.net/att.php?p.50.48793.475.pdf

  • Caphior

    来挖坟 第4题的常规证法也很简单,设AB,BC边中点为D,E,则AC(平行且相等)0.5DE(平行且相等)ZX,于是AZXC是平行四边形,对角线平分,同理就证出来了

    不过第一题和第二题的原理我还没想明白这种空间证法是在什么地方隐含了圆幂定理的

    第三题的证法很强,普通证法很繁琐的样子

  • 拉菲克

    如何证明“=”引号里的两条线不平行?

  • elfish

    问题三
    CD不能是平行线么?

  • Shawphy

    我也来考古了……

  • vortex

    对于第一个题目,好像疏忽了一个小问题。如果平面那三个圆没有你作的图交的那么“近”,就是“两两互交但为 挤 在一起”,此时如若把他们当做空间球体的大圆,会导致三个球体并未交到上下对称的两个点“中间是空的、通的”此时就无法使那两个点投影了。
    我想的这种情况下的解决办法是:不把这三个圆当空间球体的大圆,当小圆,可在其下方取得大圆,总可以取得一平面为大圆所在平面使得三个大圆为以讨论情况,而因为小圆面与大圆面的平行及共属于同球,则结论对于小圆也成立,则对于该情况成立。得证。

  • HJWAJ

    第三题的解法太神了……

  • brownuncle

    Congratulations. We re satisfied with the calibre of the data furnished. I have high hopes that you continue with the first-rate work conducted.
    Locksmith Nashville

  • chenyh1999

    “平面三元问题二”证明错误了,这样的球可能不存在,应构建3个等顶角的圆锥,详见Peter Winker的《令人苦思冥想的数学趣题》人民邮电版社

  • chenyh1999

    “平面三元问题二”证明错误了,这样的球可能不存在,应构建3个等顶角的圆锥,详见Peter Winker的《令人苦思冥想的数学趣题》

  • chenyh1999

    “平面三元问题二”证明错误了,这样的球可能不存在,应构建3个等顶角圆锥,详见Peter Winker的《令人苦思冥想的数学趣题》

  • chenyh1999

    对了,评论加载太慢

  • cervelo jersey

    2006年我都才读初二。嘿嘿。

  • humantic

    时光荏苒,现在是2014年6月10日

  • 城南旧事

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