2006-01-07 0:07| 
31 Comments | 本文内容遵从一、平面三圆问题1
问题：平面上三圆两两相交于六点。试证明三条公共弦共点。
证明：把这三个圆想像为三个球的大圆。为方便叙述，我们把三个球的球心确定的平面记作 α。显然，平面 α 在三个球上的截面就是题目的这三个大圆，而 α 上的三个大圆的三条公共弦即是每两个球之间的公共小圆在 α 上的投影。我们要证明的就是三个公共小圆在平面 α 上的投影共点。注意到三个球交于两点，这两点关于平面 α 对称且这两点就是三个公共小圆的交点。把这两点也投影到平面 α 上，得证。
二、平面三圆问题2
问题：在平面三个圆中，任意两个圆都有两条公切线且两条公切线交于一点。显然，这样的点有三个。试说明这三点共线。
证明：在这个平面的三个圆上放三个球，每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然，这个平面是这三个球的一个公切面。再把公切线想像成这三个球确定的三个圆锥的母线在平面上的投影。显然三个圆锥的顶点都在这个平面上，且这三个顶点就是待证共线的三点。这三点是显然共线的，因为我们可以在三个球上找到另一个公切面（想像一块玻璃板从上面盖下去），那么这个切面上也包含了三个圆锥的顶点，而这两个切面的交线是唯一的一条直线。
三、四人旅行问题
问题：平面上四条直线，任两条不平行，任三条不共点。四个旅行者 A、B、C、D 分别匀速地走在这四条直线上（他们的速度可以不相同）。若 A 在行走过程中与 B、C、D 相遇，B 在行走过程中与 C、D 相遇（当然也遇见了 A），求证：C、D 在行走过程中相遇。
证明：作垂直于平面的直线作为时间轴，建立三维直角坐标系。由于四人均匀速行走，因此他们的路程-时间图像是线形的。我们可以在空间中作出 A、B、C、D 四个人行走路程与时间关系的图像并分别命名为 La、Lb、Lc、Ld。这样，我们可以从这四条空间直线中轻易判断某一时刻四人的位置。例如，空间中 P 点 (x, y, t)在直线 Lc 上，则表明在 t 时刻 C 走到了平面(x, y)位置。好，现在强了，真的强了。A、B 不是曾经相遇过吗？这就是说，La 和 Lb 相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C 不是与 A、B 都相遇过吗？那就是说，Lc 与 La、Lb 都相交。于是，Lc 也在这个平面上。同样地，Ld 也在这个平面上。既然全部都共面了，Lc、Ld 必然会相交，即 C、D 必相遇。得证。
四、三角形对称问题
问题：平面上任意三角形 ABC 和异于 A、B、C 三点的点 P。 X、Y、Z 三点分别是 P 点关于三边 BC、AC、AB 的中点的对称点。求证：AX、BY、CZ 共点。
证明：考虑空间中一点 P' 使 PP' 垂直于平面 ABC。作出 X'、Y'、Z' 关于三边 BC、AC、AB 的中点对称。可以得到，点 A、B、C、P'、X'、 Y'、Z' 是一个平行六面体的顶点。AX'、BY'、CZ' 是三条体对角线，他们显然共点。这个证到了有什么用呢？把这几个带了一撇的点全部投影到平面 ABC 上，结论就证到了。
31 条回复
您也随便说几句吧：
有没有把空间几何问题辅助线做到4维去的？
回复：这个……值得思考
四维我连想象都想象不出哎~估计只会越搞越麻烦......
太妙了。恕我考古。
下面谈谈平几做法。
1.根轴定理----根心定理。MO直接用。
证明可用差幂定理，即到两点间距离平方和的点的轨迹是一条垂直于这两点连线的直线。
2.笛沙格定理。两个三角形是 圆心三角形 与 外围的公切线交点组成的三角形。
3.不会。
4.想了一会儿呢。[idea]
作三角形ABC位似变换，位似中心为p，位似比为1:2，变为A1B1C1。
显然，X,Y,Z分别在B1C1,C1A1,A1B1上。
连XY,YZ,ZX, 易知三角形XYZ与三角形ABC全等，
且XY//AB,YZ//BC,ZX//CA。
那么三角形XYZ必可由三角形ABC旋转180度得到。
那么AX,BY,CZ交于旋转中心。
（此布亦可用扩展的第沙格定理。两个三角形对边平行，交于无穷远点，而所有无穷远点
共线，故三顶点连线交于一点。）
ps：4.（接第三句话） 且X,Y,Z分别为B1C1,C1A1,A1B1中点。
唉，太差了。
These moss-skinned trolls could regenerate lost limbs and heal grievous physical injuries, but they proved to be a barbaric, wow goldwow goldwow gold
evil race. wow goldThe Amani empire stretched across most of northern Lordaeron, and the trolls fought hard to keep unwanted strangers frowow goldm their borders. The elves developed a deep loathing for the vicious trolls and killed them on sight whenever they were encountered.
对这4种证法十分崇拜。。
强大，无敌。。
尤其膜拜一下第3题的那个方法。。
3周年考古～
继续考古
这些证法太强了……
继续考古，真是厉害，这样都想的到！
你老厉害了~~我们用平几快证死了的题。。。。。。
居然2006年的文章我才刚刚注意到 强大 十分强大
[...] 看来，除了几何问题以外，在算法中也有把2D扩展到3D的诡异的思想。图的分层思想很有用，在很多其它问题中也有类似的做法。 [...]
[...] 查看更多：几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题 Posted in Brain Storm Tags: 空间, 证明, 趣题, 几何, 三维Trackback: [...]
第3题证法MS有漏洞……
原话：
La和Lb相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C不是与A、B都相遇过吗？那就是说，Lc与La、Lb都相交。于是，Lc也在这个平面上。
我的想法：
可是，万一La,Lb,Lc交于一点呢？
14楼,你说的情况更简单了,题目已经说任三条不共点了,呵呵
对这4种证法十分崇拜。。
强大，无敌。。yaourtière
尤其膜拜一下第3题的那个方法。。
这里有人讨论到Desargues定理, 太好了.
我做个广告先: 原来的笛沙格定理涉及的Desarguesian configuration都是可以这样描述的, ABC-S-A'B'C'(不论空间, 还是平面);
但是我发现其实这个定理可以推广到对: ABCD-S-A'B'C'D', 乃至ABCDE-S-A'B'C'D'E' 及更高维数都成立;
如果利用"齐次坐标"解析表达, 这些证明都可以脱离了辅助线进行.
共点和共超平面(二维空间时, 超平面为线)对偶.
基于这种推广, 进一步发现, 初等矩阵 和 某个变换(stereohomology)具有一一对应关系, 而且它们涵盖了好多几何变换, 尤其是图形学中常用的.
google: stereohomology可以找到这个资料: http://www.newsmth.net/att.php?p.50.48793.475.pdf
来挖坟 第4题的常规证法也很简单,设AB,BC边中点为D,E,则AC(平行且相等)0.5DE(平行且相等)ZX,于是AZXC是平行四边形,对角线平分,同理就证出来了
不过第一题和第二题的原理我还没想明白这种空间证法是在什么地方隐含了圆幂定理的
第三题的证法很强,普通证法很繁琐的样子
[...] 另一个有趣的问题来自于一个经典的竞赛题目：用有限多个长度无限、宽度有限的“带状区域”能否覆盖整个平面？答案是否定的。我们下面说明，给你一些宽度和为 1 的纸带，你甚至不能覆盖一个半径为 1 的圆。因为，一个宽度为 w 的纸带与单位圆的公共面积不可能超过 2w ，因此所有纸带与圆的公共面积之和不可能超过 2 ；但圆面积为 π ，这个值远远比 2 大，结论也就证到了。 上述推理过程告诉我们，要想覆盖一个单位圆，需要一组宽度和至少为 π/2 的纸带，但很明显 π/2 这个下界还是太松了。事实上，为了覆盖一个单位圆，纸带的宽度和为 2 是充分且必需的。充分性很显然——把纸带从上到下一张一张平行地摆放就可以了。因此，接下来我们就着重研究它的必要性。如何说明一组覆盖单位圆的纸带，它们的宽度和至少为 2 呢？下面我们给出一个巨牛无比的诡异证明，它是我见到的又一个把平面图形扩展到空间之后立刻秒杀的问题。 [...]
[...] 另一个有趣的问题来自于一个经典的竞赛题目：用有限多个长度无限、宽度有限的“带状区域”能否覆盖整个平面？答案是否定的。我们下面说明，给你一些宽度和为 1 的纸带，你甚至不能覆盖一个半径为 1 的圆。因为，一个宽度为 w 的纸带与单位圆的公共面积不可能超过 2w ，因此所有纸带与圆的公共面积之和不可能超过 2 ；但圆面积为 π ，这个值远远比 2 大，结论也就证到了。 上述推理过程告诉我们，要想覆盖一个单位圆，需要一组宽度和至少为 π/2 的纸带，但很明显 π/2 这个下界还是太松了。事实上，为了覆盖一个单位圆，纸带的宽度和为 2 是充分且必需的。充分性很显然——把纸带从上到下一张一张平行地摆放就可以了。因此，接下来我们就着重研究它的必要性。如何说明一组覆盖单位圆的纸带，它们的宽度和至少为 2 呢？下面我们给出一个巨牛无比的诡异证明，它是我见到的又一个把平面图形扩展到空间之后立刻秒杀的问题。 [...]
如何证明“=”引号里的两条线不平行？
问题三
CD不能是平行线么？
[...] 三个圆两两之间的公共弦交于一点。这个定理本身已经相当美妙了，神奇的是它还有一个更加美妙的证明。 [...]
我也来考古了……
海伦定理的四维证明：
http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/02/herons_formula.html
对于第一个题目，好像疏忽了一个小问题。如果平面那三个圆没有你作的图交的那么“近”，就是“两两互交但为 挤 在一起”，此时如若把他们当做空间球体的大圆，会导致三个球体并未交到上下对称的两个点“中间是空的、通的”此时就无法使那两个点投影了。
我想的这种情况下的解决办法是：不把这三个圆当空间球体的大圆，当小圆，可在其下方取得大圆，总可以取得一平面为大圆所在平面使得三个大圆为以讨论情况，而因为小圆面与大圆面的平行及共属于同球，则结论对于小圆也成立，则对于该情况成立。得证。
[...] 这让我立即想到之前讲过的不少把平面几何的辅助线作到空间去的趣题，我至少回想起了四篇日志（58，1947，3918，3965）。其中好几个问题也有类似的精神，尤其是第一篇日志里讲到的第一个问题。 [...]
[...] 这让我立即想到之前讲过的不少把平面几何的辅助线作到空间去的趣题，我至少回想起了四篇日志（58，1947，3918，3965）。其中好几个问题也有类似的精神，尤其是第一篇日志里讲到的第一个问题。 [...]
第三题的解法太神了……
Congratulations. We re satisfied with the calibre of the data furnished. I have high hopes that you continue with the first-rate work conducted.
Locksmith Nashville
[...] matrix67大牛的blog今天三周年了~~这是他推出的三周年的精选回顾全是精华阿 看看下面的这些文章，谁能看出这是个文科生(传说中去北大中文系泡妞?!)原文的地址: http://www.matrix67.com/blog/archives/5581. 原创科普说明文：递归假期的一篇作文，叫我们写任一说明文。我把这篇作文发到了我的Blog上。这可能是我Blog最早的技术文章，它确定了我以后类似文章的写作风格。2. 非常奇妙的证明：图形必在格点之外翻译的cut-the-knot上的一篇文章。这是我所见到的最elegant的证明之一，在饭桌上提到证明问题时我经常会举这个例子。几个好友很早就开始阅读我的Blog，他们一致认为这是最令人难忘的一篇日志。3. 几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题也是翻译的cut-the-knot上的系列文章，当时觉得确实非常神奇。后来的学习发现，其实射影几何中有更多有趣的例子。4. 追溯羊与车：Monty Hall Dilemma问题的故事我们数学老师提到了Monty Hall问题，他的说法是错误的，因此才写下这篇文章。当时写这篇文章主要是给我的同学看，因为那时这个Blog几乎只有我们同学才上。5. 几个很强的数列这是我在The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences找到的，非常强。不是经常有考什么数列找规律的么？从这里面随便挑一个来，不查数列百科全书的话别人几乎不可能找出规律来。6. 爱的方程式惊奇函数图像系列文章的第一辑。后来渐渐有了3D桃心函数、阴阳图函数、公式生成的色情图片等一系列的东西。7. 什么是P问题、NP问题和NPC问题这可能是我写的最长的一篇原创文章了。很多网友都说，在类似的文章中这一篇是讲解最清楚、最通俗易懂的。8. KMP算法详解可能是这个Blog最经典的文章了。不少朋友最初都是找KMP算法找到这个Blog来的。9. 位运算讲解系列文章应该是这个Blog里第二经典的文章了。10. 无限小却无限大的集合 & 阶梯状的连续函数前段时间我和一帮人在饭桌上提到了诡异的函数，比如处处连续处处不可导的函数、除常函数外没有最小正周期的周期函数、导数为正却找不出单增区间的函数、平面上任意小的范围内均能找到一点的单值函数、在有理点处处不连续在无理点处处连续的函数（俗称爆米花函数）。但处处连续的阶梯函数，很多人可能还是第一次听说。挺好玩的。11. 令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数牛！这个牛！想看一些精妙的证明，体会到数学证明的神奇之处的话，从这里开始是一个不错的选择。12. 从零开始学算法：十种排序算法介绍（上）这个也牛！同样地，如果想看一些精妙的算法和复杂度的分析证明，体会CS的乐趣，从这里开始是一个不错的选择。13. 从零开始学算法：十种排序算法介绍（中）这篇日志里讲了快速排序的平均复杂度的分析和证明，很强大很科学。初学算法的人经常会忽略复杂度分析这一步，学过一段时间后回过头来看看经典算法的复杂度分析是很有益的。14. 从零开始学算法：十种排序算法介绍（下）没啥好介绍的……以后有些没什么特别背景的日志我就不附加文字介绍了，不然写着好累。15. 无题 于2007年5月16日现在我已经很少在自己的Blog里写我的感情生活了。这是我在19岁生日那天写的。16. 数论部分第一节：素数与素性测试17. 神奇的分形艺术（一）：无限长的曲线可能围住一块有限的面积分形艺术系列的开篇。分形这个东西其实挺好玩的。18. 十大另类程序语言（上）19. 十大另类程序语言（下）哈哈，这个好玩！！有几个语言相当搞笑，挺佩服老外的想象力的。20. 令人敬畏的十维空间出人意料的结论。对应的几何图像太难以想像了。我一直想写一篇描述四维几何形状的文章，至今仍未动键盘。21. 十个有趣的英文文字游戏（上）22. 十个有趣的英文文字游戏（下）很早就对英文文字游戏感兴趣，看到过不少，记了各种性质独特的英文句子。有一天突然想整理出来写一下，于是有了这两篇日志。中文其实也有很多好玩的东西，比如对联啊，灯谜啊，拆字啊，断句啊，回文句啊等等。23. 神奇的分形艺术（四）：Julia集和Mandelbrot集还是在饭桌上，每次提到数学神秘得令人恐惧时我都会讲起这个。真是太神奇了，一个如此简单的过程竟然可以生成这般复杂玄妙的分形图形。24. Tupper自我指涉公式：图象里竟然包含式子本身数学中的魔术，非常有意思。本以为非常神奇，揭秘之后恍然大悟——不过如此。25. 编辑距离、拼写检查与度量空间：一个有趣的数据结构26. Poincaré圆盘模型：一个神奇的双曲世界进北大时恰逢数学文化节十周年，数院开了一系列精彩的讲座。我去听了其中三个讲座，这是我听过的最精彩一次。看《什么是数学》时看到了相关的内容，再结合这里的一些东西仔细品味了一下，真是科学得无与伦比。以后我还将引用到这篇日志。27. 等高线模式：解决极大极小问题的另类策略Pólya的《数学与猜想》确实是一本好书。我在这本书里学到了好多东西，其中一个最主要的收获就是这套诡异的极大极小问题解决办法。28. 趣题：直觉 VS 理性思考 经典概率问题29. 另类搞笑：自我指涉例句不完全收集AboutMe里就提到，我喜欢带有递归和自我指涉的句子。一直收集着很多这样的句子，终于决定整理出来和大家分享。30. 物理方法解决数学问题（二）：Archimedes与球体积公式31. 趣题：n为奇数时，正n边形的三角形剖分内有且仅有一个锐角三角形从EagleFantasy那里挖来的，是我目前最喜欢的“一句话证明”。跟别人提到“一句话证明”时我必然会拿它当例子。32. 物理方法解决数学问题（四）：Fermat-Torricelli问题33. 证明实数区间不可数的新方法我喜欢讲课，喜欢听每次揭晓“谜底”后下面的人恍然大悟的感叹声，喜欢从基本结论出发一步步推出不可思议的结论。在所有科学的东西里，我最爱讲的，最具悬念，最有戏剧性，结论最令人惊讶，最能颠覆传统观念就是对无穷集合势的分析了。从有限到无限，从可数到不可数，以及直线和平面上的点一一对应等等，每一个证明都令人拍案叫绝。这里提到了实数区间不可数与博弈游戏的关系，从一个全新的角度来看连续统，分析证明过程实在巧妙。34. 趣题：一个与Hamilton回路有关的问题35. 100囚犯问题、100囚犯问题加强版与选择公理（上）36. 100囚犯问题、100囚犯问题加强版与选择公理（下）37. 趣题：构造函数使得平面上任意小的圆内均包含函数上的点有一天突发奇想，到豆瓣的数学小组去逛了一圈，然后发现了这个神奇的东西。38. 很诡异的博弈问题分析方法39. 趣题：猜帽子游戏与Hamming编码40. 趣题：构造游戏初始状态使得后行者必胜41. 物理方法解决数学问题（五）：一个与椭圆有关的性质42. 趣题：量子计算机、另类编程语言和幂函数的解释43. 趣题：对数字进行编码使其按字典序排列后仍然有序这两篇日志是相当科学的算法题。很长时间没看到这么经典有趣的题目了，特别是前面那篇。44. 神奇的锈规作图：单用一个只能画单位圆的圆规如何作等边三角形这个精彩，强烈推荐一下。45. 矩阵、随机化与分形图形某留学Stetson大学的MM一次在校内上发日志链接到了我的Blog，我回访回去时认识了她。我和Stetson MM网恋了一段时间，发国际短信花了我不少钱。后来Stetson MM有了男朋友了，这段故事就此告终。这告诉我们：建网站来吸引MM终究是不可靠的。Stetson MM是我所见过的最适合我的MM，其思维的相似程度达到了令人惊讶的地步，世界上居然有一个如此像我的异性真是不可思议！这篇日志与Stetson MM在线性代数课上的一个课题研究有关。Stetson MM告诉我，她一个同学看到这篇日志后问她我Blog里的Stetson MM是不是指的她，她惊呼“你也订阅了这个Blog”呀。Small world。当时这篇日志在抓虾上的推荐数很是让我吃惊。46. 分享一些有趣的面试智力题（上）47. 分享一些有趣的面试智力题（下）48. 20年的时间里你可以做些什么？今年我20岁生日时写下的一篇特别的日志。神奇的是，这篇日志的ID正好也是我的生日——516。49. 趣题：空间四边形外切于给定球，求证四切点共面50. 趣题：直尺不够长时如何作出连接两点的直线？《什么是数学》中与射影几何相关的一个习题。当时我曾经在古汉课上大叫“太科学了”。 M12 Puzzle 传Google2亿美元收购Digg [...]