这个月月初就开始看《从一到无穷大》，花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度，一个多星期一本书已经近乎神速了。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识，前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见，很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章，我看到了另一个好玩的东西：随机游走(random walk)问题。
    随机游走问题是说，假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度，那么n次行动之后你离原点平均有多远（即离原点距离的期望值）。有趣的是，这个问题的二维情况反而比一维情况更加简单，关键就是一维情况下的绝对值符号无法打开来。先拿一维情况来说，多数人第一反应肯定是，平均距离应该是0，因为向左走和向右走的几率是一样的。确实，原点两边的情况是对称的，最终坐标的平均值应该是0才对；但我们这里考虑的是距离，它需要加上一个绝对值的符号，期望显然是一个比0大的数。如果我们做p次实验，那么我们要求的平均距离D就应该是

    其中d的值随机取1或者-1。这里的绝对值符号是一个打不破的坚冰，它让处于不同绝对值符号内的d值无法互相抵消。但是，当同样的问题扩展到二维时，情况有了很大的改变。我们把每一步的路径投射到X轴和Y轴上，利用勾股定理我们可以求出离原点的距离的平方R^2的值：

    一旦把平方展开后，有趣的事情出现了：这些X值和Y值都是有正有负均匀分布的，因此当实验次数p充分大时，除了那几个平方项以外，其它的都抵消了。最后呢，式子就变成了

    于是呢，就有平均距离R=sqrt(n) （准确的说是均方根距离）。我们得出，在二维平面内随机选择方向走一个单位的长度，则n步之后离出发点的平均距离为根号n。这是一个很美妙的结论。

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    刚在sdyy那儿看到了这个好东西。影片Dimensions长约2个小时，共分为9章，谈论了维度、射影、复数等有趣的数学话题。下面是一个4分钟长的预告片。完整的视频可以在这里下载。

  

YouTube链接：http://www.youtube.com/watch?v=GgbcHZHEqSQ
查看更多：http://www.superliminal.com/cube/cube.htm (含下载)

下面的视频是The Simpsons的95年Halloween特别版Treehouse of Horror VI的最后一部分，名字叫做Homer^3：

  

YouTube链接：http://www.youtube.com/watch?v=AzecHW-DTqY
难怪说The Simpsons是一部属于Geek的剧集，里面隐藏了好多彩蛋！
你能在那个三维空间里看到些什么东西？





我看到了：

• 信息学界的终极难题
  
• 一段由ASCII码组成的字符串
  
• 一个我最喜欢的数学等式，由三个数学界最神奇的数组成
  
• 一个最简单、最基本的等式
  
• 一个Fermat大定理的“反例”（95年的时候Fermat大定理还没有得证）
  
• 一个物理公式，它给出将导致整个宇宙坍塌的宇宙密度的临界点

    Flatland是一部巨经典的科学幻想小说，小说里构造了一个全新的世界──这个世界是二维的！整个小说分成两个部分，前一部分系统地描述这个二维世界，包括自然状况、居民生活、政治历史等等。真正有趣的事情发生在后一部分里，这里不同维度的世界之间发生了碰撞——二维世界中的主人公拜访了一维世界，同时又接触到了一个全新的三维世界。当他在他的世界传播三维思想时，整个世界大乱，哥白尼时代的那段故事再次发生。
    Flatland: The Movie是由此改编的一个动画短片，整个电影大约30分钟。官方网站上已经放出了电影的预告片，看起来非常有意思：




下面是一个两分多钟的片段：



原版小说：http://xahlee.org/flatland/index.html
陈忱译《神奇的二维国》：http://www.matrix67.com/data/flatland.html
官方网站：http://flatlandthemovie.com/
imdb链接：http://www.imdb.com/title/tt0814106/

现在，你可以在官方网站上订购学校教育专用的特别版DVD，价格是120美元；30美元的个人版DVD还要过几个月才能订购。

    我们把一个边长为2的正方形划分成4个小正方形，每个小正方形里作一个内切圆，然后在原来的大正方形中间作一个同时外切于这4个圆的小圆（红色标注）。我们把这个小圆叫做“中心圆”。你怎么来求这个中心圆的半径？
    仔细观察其中一个小正方形，思路就出来了：红色的中心圆变成了一个90度扇形，它的中心位于单位正方形的一角，并且外切于直径为1的圆。可以看到扇形半径加上圆的半径等于单位正方形对角线的一半，这样我们就得出，中心圆的半径等于(sqrt(2)-1)/2。
    对于一个立方体同样如此。我们把立方体切成8个小立方体，得到的8个球体中间夹住的那个中心球半径就应该为(sqrt(3)-1)/2。你会发现一个惊人的事实，在超立方体中，位于16个四维球体间的中心球半径为(sqrt(4)-1)/2 = 1/2，它竟然与那16个小球一样大。真正可怕的事情发生在九维立方体中，此时的九维中心球半径为(sqrt(9)-1)/2 = 1，竟然内切于最初的九维立方体！而到了十维空间后，中心球的直径将超过十维立方体的边长，这个中心球将突破立方体的边界！被围在里面的中心球居然比原来的N维立方体还大，这显然违反了大多数人的直觉；如果你能想象出这个画面来，你就牛B了。科幻小说中把对十维空间的感知能力作为文明发达程度的标准，除了一些相关的宇宙模型外，这可能也是其中一个原因吧。

手工制作完成图：

所使用的材料：

我想应该有人知道我是怎么做的，但是从来没有实践过吧。
今天我实践了一下，嗯~貌似效果不错。

    我跟一些人描述过四维空间。但一个由八个全等立方体拼接组成的广义空间确实让活在三维世界的人难以想像。正如生活在二维空间里的人无法想像在一个扁平的面里怎么可能存在六个全等正方形互相拼接组成的立体形状。我们通常只能在一张纸上画四条射线并令它们两两互相垂直来表现四维空间。但第四维究竟在哪里？昨天我发现的两个网站可以帮助你感受到。

    如果你对四维立方体还不够了解，下面这个网站叙述了由二维到三维到四维的递推过程，它或许可以帮助你。
http://www.mathematische-basteleien.de/hypercube.htm

    下面两个网站的Java小程序能让人体会到一个四维立方体的存在和它绕第四维旋转的可能。

    首先，你的浏览器必须支持Java。你可以在网上搜索到有关内容。

    下面这个网站是一个通过红-蓝3D立体眼镜图或3D立体图（说穿了，就是用对眼看）能感受到的旋转的四维立方体。
http://dogfeathers.com/java/hyprcube.html
    从三维的角度而不是一张薄纸能快速感到四维立方体如何绕第四维旋转。找一个眼镜，把左边的镜片涂成红色，右边蓝色，使得你左右眼分别看到两种不同颜色的线条。戴上后你将能看到真实的立体感。在花店分别找一张红色和蓝色的玻璃纸也能轻易地做到这一点。另外，点击stereo两次后，可以用看3D立体图的方式 “对眼”去看，但效果没有那么好。

    下面这个网站提供了一种4D环境中的游戏。
http://www1.tip.nl/~t515027/hypercube.html
    在这个游戏中，你需要在三维或四维立方体中把球撞击到标记的位置，然后从出口出去再进来以获得另外一个标记，并尽量不要被外面的小球看到。成功撞击5次标记后游戏结束，你可以看看自己的得分。游戏分为两种：三维的和四维的。每一种游戏都可以选择是否启用立体图模式（看对眼模式）。比如，在三维的游戏中，不开启立体图模式你很难判断前后的位置关系，需要自己的空间想像能力。而开启立体图模式后，你将能清晰地看到三维空间中各物体的位置关系。你可以先试着在三维立方体中关掉立体模式玩这个游戏，就像是玩一个2D游戏一样。然后在四维立方体中开启立体模式玩，就像是玩一个3D游戏一样。过一会儿，你将会发现你能自由的在四维立方体中移动。

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