趣题:能否把三维空间分成无穷个圆?

    这是一个非常经典的问题:是否存在无穷个互不相交的圆,它们并在一起就是整个三维空间?换句话说,能否用圆形既无重复又无遗漏地填满整个三维空间?

    我很早就见过这个问题。我第一次看到这个问题时,显然没能理解到这个问题的精妙之处。当时我在想,这不是显然可以吗?把三维空间想像成无穷个平行平面的并集,而每个平面又可以看作是由无穷多个同心圆组成的,这样一来整个空间不就划分成无穷个不相交的圆了吗?因此,我一直没有认真考虑过这个问题。

    直到今天我才想到,上面的方案显然有问题——那些同心圆的圆心不属于任何一个圆。这个最容易想到的构造其实是错误的。看来,这个问题似乎没那么平凡。问题重新摆在了我们面前:究竟能不能把三维空间分成无穷个圆?


    答案是肯定的。下面是 Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection 一书中提到的一个非常漂亮的构造。首先注意到,和平面上的情况类似,我们也无法把球面划分成不相交的圆,除非挖去球面上的两个相异点(不一定是两个对称点)。然后,在平面 z=0 上,分别以 …,(-7, 0),(-3, 0),(1, 0),(5, 0),(9, 0),… 为圆心作单位圆。注意到,每个以原点为中心的球面都会与它们产生恰好两个交点,我们只需要把这些有两相异点已经不用再考虑的球面分割成圆就可以了。

  

    另外,原点本身也已经包含在了那个以 (1, 0) 为圆心的单位圆里,因此三维空间中的所有点都被包含了。
 

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