无限小却无限大的集合 & 阶梯状的连续函数

    康托集合是闭区间[0,1]的子集,它的定义如下:给定区间[0,1],把这个区间分成三段,去掉中间那一端(即去掉(1/3,2/3)),然后把剩下的两段中每一段都按照刚才的方法再进行操作,然后再分,再分,就这样一直挖洞挖下去。在第二次操作后,剩下的区间是[0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1],再操作一次后区间将由8段构成。最后剩下来的东西是什么呢?你能找到存在于这个集合中的某个具体的元素吗(不包括形如x/(3^n)的端点)?
    我们看到,n次操作后,区间的总长度为(2/3)^n,当n趋于无穷时,区间长度趋于0。但是这并不能说明这个区间里没有任何元素。事实上,我们可以找到至少一个元素。比如,下图中绿色的点表示三等分点,如果P满足AP/AB=A'P/A'B'的话,那么P点始终以比例相同的位置留在某一段上,这样的话即使无限地分下去也不会把它挖掉。
      
    P点的坐标可以通过解这个方程得到:x/1=(x-2/9)/(1/9)。解出来x为1/4。因此,1/4属于康托集合。当然,除了1/4之外还有很多点在这个集合内,我们只是找到了其中一个。事实上,康托集合内的元素有无穷多个。假如我们把所有0到1的数用三进制表示,那么我们发现,去掉的部分都是三进制小数里有数字“1”的。比如,第一次操作时,1/3和2/3的三进制分别是0.1和0.2,我们去掉的是所有从0.1到0.2的数(不包含端点,因为0.1也可以写成0.0222222222…)。第二次操作就去掉了百分位有1的那些数,依此类推。因此,只要一个位于0和1之间的三进制小数能够只用0和2写出,那么它就属于康托集合,因为它永远不会被去掉。刚才的1/4转化为三进制是0.020202…,因此它属于这个集合。显然,这样的数有无穷多个,比如三进制0.002002002…等于十进制的1/13,因此它也属于康托集合。同样,康托集合里不存在孤点,因为在它的左右可以找出无数个属于康托集合的数。应用对角线方法,这个集合里的元素居然还是不可数的。事实上,我们可以建立康托集合与闭区间[0,1]的一一对应关系。
    用以下方法可以把康托集合里的所有数与[0,1]的所有实数对应起来:将康托集合内的任意一个转化为三进制小数后,把每一个数字除以2,再当成是二进制小数转化回来。由于这些三进制小数里只含0和2,因此康托集合里的每个数都恰好能转化为一个[0,1]之间的二进制小数;同样地,二进制小数里的每个“1”变成“2”后也能得到一个康托集合里的数。
      
    设f为定义域在康托集合内的函数,定义f(x)为按照上面的转化方法x所对应的二进制小数,显然这个函数的值域就是[0,1]。比如1/3的三进制为0.0222…,而二进制0.01111…=0.1即十进制的1/2,因此f(1/3)=1/2。我们发现,2/3的三进制为0.2,而0.1的十进制也是1/2。于是f(1/3)=f(2/3)。类似地,那些被挖去的区间的两个端点对应的函数值都相同。现在,我们把这个函数的定义域也扩展到[0,1]:让康托集合里的那些被挖去的区间里的点的函数值与该区间对应的端点相同(在函数图象上看相当于把函数值相等的点用横线段连起来)。于是,f(1/2)=f(1/3)=f(2/3)=1/2,f(1/8)=f(1/9)=f(2/9)=1/4。这个函数一定是上升函数,它在长度为1的区间里从0增长到了1。同时,这个函数也是一个连续函数,因为康托集合与[0,1]的所有实数一一对应。这个函数是一个阶梯状的函数,但是它不是分段的,是连续的。它是无穷多个横线段组成的一个连续函数,除端点无意义以外导数值都是0。或者说,这个函数在不变之中上升。

做人要厚道
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30 条评论

  • Eagle_Fantasy

    哇!太神奇了!这居然是斑竹原创!!!!太强了!!!
    小弟引用一下,不介意吧。。。
    http://eagle–fantasy.spaces.live.com

    回复:翻译自我最喜欢的数学网站cut-the-knot,加入了一点自己的东西,算半个原创吧

  • dd

    看你的blog,谁能看出来你是个文科生……
    看我的blog,谁能看出来我是个理科生……

    回复:呵呵,还真是这样

  • FancyMouse

    导数=0怎么证明的啊?总觉得这个结论怪怪的~~

    回复:导数等于0,因为它是阶梯函数,除端点外其余地方都是“平”的

  • iceberg

    呼,这个例子有力说明即使对实线上的紧性,我们的认识都还远远不够。

  • hrk

    应该说导数a.e.=0吧

  • menie

    昨天想到一个好玩的,虽然比较简单…… Idiot! = I do it!

  • xiaoxiao

    不可思议啊~强!

  • NULL

    怎么让我想到了《量子物理史话》中关于运动和静止在极限中的关系的一段。。。

  • hj

    但是,高等数学书上写着:
    如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数。

  • crazylamb

    这个在《实分析的反例》中也有提到。这个构造太漂亮了

  • flowercold

    其实这种构造方法在思想上用最简单的话来概括就是老子说的:道生一,一生二,二生三,三生万物!记得有个叫德梅齐克砝码的初等数学问题揭示的:三进制可以表示任意的整数!后来学了无穷分析,三是最小无穷小的根源,三分之一是0.333….,1-1/3乘以3等0.0000…..,学了混沌学的李天岩约克定理知道三周期带来紊乱!后来上社会学的选修是了解了绝对公平的选举系统的不存在,只要有三个候选人,选举的民主性就存在异议!我觉得三能带来很神奇的事情!

  • iceberg

    楼上真可爱……
    呃,Morte曰, “如果你问我,我认为那是一堆废话。如果你找个数字,任意数字,然后尝试赋予一些重要的意义,你总会找到惊人的一致。”

  • 白左

    数,嗯。

  • hxl268

    再论两集不对等就更谈不上相等
    ——中学几百年重大错误:将两异集误为同一集
    黄小宁(广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    【摘要】自有直线函数概念几百年来一直认定定义域为(0,1)的y=100x的值域=(0,100),其实是重大错误。几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x数轴等各不同的数轴误为同一轴而不知有用而不知的正数>(<)书上 x轴的一切正数。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。揭示数集与点集有根本区别。
    [关键词]假自然数集;自然数公理;集论;推翻:前所未知的正数与数轴

  • hxl268

    再论两集不对等就更谈不上相等
    ——中学几百年重大错误:将两异集误为同一集
    黄小宁(广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    【摘要】自有直线函数概念几百年来一直认定定义域为(0,1)的y=100x的值域=(0,100),其实是重大错误。几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x数轴等各不同的数轴误为同一轴而不知有用而不知的正数>(<)书上 x轴的一切正数。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。揭示数集与点集有根本区别。
    [关键词]假自然数集;自然数公理;集论;推翻:前所未知的正数与数轴

  • hxl268

    再论推翻百年集论的真扩集定理(改进稿)
    黄小宁(广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    [摘要]提出数容器概念从而非常形象直观地揭示x轴的线段所包含的点必多于其任何一部分的点。中学数学有将两异集误为同一集的重大错误。几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x轴等无穷多各根本不同的数轴误为同一轴。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。
    [关键词]推翻集合论;无穷大自然数;数(点)容器;前所未知的数轴;搞错变量的变域;保序变换

    化学曾被错误的燃素说统治百年,数学也被极荒唐的集论统治百年。
    一、提出数容器概念推翻百年集论及发现革命数
    无穷集C~D而不~E的原因是C与D分别包含同样多元素而至少比E多或少含一个元,称D与C等容(两集容量相等)。两集不对等即不等容就更谈不上相等。
    如[1]所述,设有专门容纳数(点)集的容器,可简称为容,如集合可简称为集一样。各非空集G都充满在相应的容器G内。如装水分子集的容器必占宇宙的一定空间一样,任何非空数(点)集的容器必占数(点)宇宙的一定空间。各容器的大小是固定的。
    容器D容纳不下比集D多元素的集。P={0,1,2},容P容纳不下4个数的集。显然有革命事实:容器D的容量=集D的容量。非常显然:任何无穷集D的任何一部分d都不可占满容D(挖去集D的一部分,剩下的不可充满容D)——一目了然地表明D的容量必>d的容量——百多字推翻了百多年“人类最伟大创造之一”(胡作玄,引起纷争的金苹果,福建教育出版社,1993.12:27)的集论!
    点容器可形象直观化:数轴由容纳点的容器与器内点两部分组成。相应有由长度为1的点组成的自然数轴:
    ◎①②③④…→N轴
    其中只装一数的数容○是N轴容器的元。去掉N轴全部偶数2n>n=1,2,…(所有n组成Q)得◎①○③○…,显然因自然数集N的全部偶数不可充满容器N,故Q={1,2,…,n,…}也不可充满N轴——石破天惊地表明Q不是正自然数集N+而只是其一部分!昭示Q外还有无穷多无穷大自然数!且其可与N的奇数一一配对。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此类革命数使康脱康健离脱误入百年歧途推出:N的真子集可~N。
    两不交且非空的无穷集U、V的并记为U+V。U增一元a得其真扩集K=U+{a}就比U多了个U所没有的数a。显然U容容不下K集——表明K的元必多于U的元。这一目了然地表明有[2]中的
    h定理1(真扩集定理):任何可有真扩集的非空集G的容量必0变为 y=10x得以y为元的Z~D,D
    内有多少个x,Z内也有多少个y。故容Z=容D(两容器的大小相等)。
    定义域为D=(0,1)的y=10x的值域Z~D真的=(0,10)=D+[1,10)=K吗?
    Z~D只能布满容D而不可布满容K——石破天惊地表明容K>容Z=容D——非常形象直观地表明Z~D 与D一样都只是K的一小部分!
    据h定理1Z~D不可~D的真扩集KÉD从而更≠K!
    故中学“Z=K”(及“Q=N+”)是将两异集误为同一集。
    形如y=10(y/10)=10x>x>0的数y都有对应正数y/10=x,称这类数为般正数。K内形如y=10x>x∈D的正数
    y的全体组成了Z即K内全部般数组成Z。
    Z=K(般数)(K内所有般数组成的集)才是正确的,去掉“(般数)”就是中学重大错误:将K的一小部分:Z,
    误为K。使康脱推出…。真正建立在此重大错误上的理论
    必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。搞错变量的变域是导

    致全盘皆错的最重大根本错误。
    关键是“Z一切元y=10x>10x/10∈DÌK”正确,而“K一切元x>x/10∈DÌK”是病句:K有数x/100的变域E各数x均保序变换为f(x)=10x或x/10得f(E)=F,h定理2表明中学的“E=10x或x/10的变域F”等等是重大错误。
    如[3]所述,x轴A各点均由x变为点y=x,x轴就变换为以点y=x为元的y=x轴点集B=A;A各点均由x保序变换为点y=10x,A就变换为以点y=10x为元的y=10x轴点集C。据h定理2,C≠A,因为x=10x(x的同序数)不可恒成立。
    故x轴的线段h:0 1(珍珠直径)各点均由x变为点y=10…0x=kx得以点y为元的y=kx轴的
    0 … k(地球直径)~h
    ,≠h~y=x轴的0 … k。缘于它们的组成成员不同:y=x轴的元是点x而y=kx轴的元却是点10…0x,正如铜线与铁线根本不同一样。最关键是[4]指出:点集与数集有根本区别,点集中的“点”有大小且有大点与小点之分。
    如[3]所述,几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各不同的数轴误为同一轴:y=x轴,就搞错了变量的变域,使康脱推出病态的:x=y轴的线段可~它的一小部分。
    三、结语
    在一片叫好声中,1908年著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信:不合实际违反科学常识的集论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。这不能不令人感叹庞是智慧超群的天才大师!
    “时间就是金钱,…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊!造成多少亿元的损失?更要命的是它的重大误导作用!
    参考文献
      [1]黄小宁,百字推翻五千年数学“常识”:无最小正数[J],科学咨询,2007年10月第2期:29。
    [2]黄小宁,百年集论确是“疾病”之理由[J],
    科学中国人,2009(4)。
    [3]黄小宁,极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因,见:中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C],北京:中国农业科技出版社,2003.5:7。
    [4]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子
    推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题,发明与创新增刊[C],2006:125。
    [5]黄小宁,凭傻瓜数学获重大发现:有正数x≠100…0(x/100…0)[J],科学咨询,2007年8月第4期。
    电联:13178840497
    E-mail:hxl268@163.com(hxl中的l是英文字母)

  • hxl268

    中学极显然重大错误:将两异集误为同一集
    ——续《百年集论确是”疾病”之理由》
    黄小宁(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    [摘要]揭示有用而不知的最大自然数和无穷大自然数。非常形象直观地显示中学重大错误:无穷数列{f(n)}中n>0的变域必是正自然数集N。“定义域为(0,1)的y(x)=kx的值域是(0,k>1)”是重大错误。
    [关键词]最大自然数;标准及非标准无穷大数;假自然数列;推翻百年集论;变量的变域

    设俯视图1:{①,②,③,…}=A表示一给定的有无穷多双项(一双项组成一组大项)的立体序列,其由上、下两个序列A1与A2组成,立体自然数都“悬浮”在“围棋白子”○上。类似有B:
    {…,⑥,④,②,①,③,⑤,…}
    的左(右)半边的数是偶(奇)数。A(B)的所有数组成N。A中正自然数列A1的下面是棋子○序列A2={○}~N(表示A2的○可与N的数一一配对)。
    肉眼不能将A的项都看到,但人有逻辑推理能力,慧眼能洞察A的所有项是否都有“配偶”而不被肉眼所骗。肉眼不能察觉此桶水仅比那桶水多一个水分子,但慧眼能洞察此无穷集{n}比那{n}多(少)含一个数。注!符合实际的思想才能产生慧眼,否则产生傻眼陷入“不可知论”“科学终结论”泥坑。
    A的各数都由n变为n+1后再增添新首项1得图2:
    {1,②,③,④,…}(1下无○)=M
    M各数与A2的○不可一一配对而总有一数下无○,表明M中的数比(A2~N中的)○多一个——意味M比N~A2多包含一个数——意味M中有超自然数>一切自然数!可见形如{1,2,…,n,…}的集不一定是N!即存在似是而非的假N!小学生也能看图1识“字”:
    在A中:单独粉碎(增添)n个数后立刻就有n个○上(数下)没数(○)与之配对,无论如何重新配对。原因是A比原来少(多)了n个数,即上下两序列中的任一列一旦单独增减项就必打破原来数与○一样多的格局。故图1显示有
    h定理1:任何序列与级数增(减)n个项后必比原来多(少)n个项。
    [1]证明了 h定理2:对等的两无穷集F~G的任一集增(减)元后就再也不能~另一集了。
    故此序列{n}的项可多(少)于彼{n}的项。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此革命真象使康脱康健离脱误入百年歧途。
    图2的M各数都不动而各○都左移一个位置得{①,②,③,…},“肉眼”就以为其中的数与○一样多。殊不知在无穷远处必有一数下无○。A的项也作此变动得{○,①,②,③,…}——假象:部分○可与全部数一一配对。希尔伯特:数学是研究无穷的科学。然而几千年“肉眼”阶段的数学恰恰对无穷的认识太幼稚片面而一直被其表面假象所迷惑。
    符合实际的思想:不增减项的序列各项无论如何改变位置都不能改变项的多少。显然有换偶原理:已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换妻”必还是可一一配对。否则就不合逻辑自相矛盾了。
    故凡~N的集G的元都必可有“配偶”∈N,一个不漏!故G=N~N 的各非1元n+1都有配偶n∈N(所有配偶n=1,2,…组成U)的同时G的1也必可有配偶t∈N。极显然:t是U外的最大自然数!t+1是超自然数。同理在以下两都是N(上N~N的元都有自然数配偶)的
    {…,3,1,(2,4,…,2n,…}
    {…,a2,a1,(1,2,…,n,…}

    中,一目了然:下N小括号左边的数都是无穷大自然数>右边的一切n。详论见[2]。
    以上立体思维“解毒药”使在康脱的病态“乐园”内陶醉了百年的数学一下子清醒过来:化学曾被错误燃素说统治百年,数学也被极荒唐的集论统治百年。
    h定理3:若A各元x>0都有对应y>x,则所有y组成的B不可包含A而必至少有一x∈Ax∈A一目了然地直接表达A中有数x<B的一切元y。“对于B的每一元y(x)都有A 的x<y”显然表示A中有数x0变大为y=10x得以y为元的Z~D。⒈据h定理2,Z~D不可~D的真扩集KÉD从而更≠K! ⒉据h定理3,Z不可包含K 的一部分D表明Z≠K!
    K中:D的元与Z~D的元一一配对后,D外的元x都不可有配偶∈Z,缘于K的元x多于Z的元10x——证明中学的“Z=K”是将两异集误为同一集。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
    关键是“Z一切元y=10x/10∈DÌK”正确,而“K一切元x>x/10∈DÌK”是病句:K有数x/10<K的一切数x。这表明并非K各元x都有对应数x/10∈D。详论见[4]。
    结语:在一片叫好声中,1908年著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信:不合实际违反科学常识的集论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。这不能不令人感叹庞是智慧超群的天才大师!
    “时间就是金钱,…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊!造成多少亿元的损失?更要命的是它的重大误导作用!
    限于篇幅本文只能挂一漏万.详论见[2]-[5]。
    参考文献
      [1]黄小宁,极显然:自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误:将两异集误为同一集[J],科技信息,2009(26);
      [2]黄小宁,不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J],科技信息,2009(32).
    [3]黄小宁,百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数
    学家庞加莱百年前的预见[J],科学中国人, 2009(4);
    [4]黄小宁,百字推翻五千年数学“常识”:无最小正数[J],科学咨询,2007年10月第2期:29。
    [5]黄小宁,驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J],今日科苑,2009(16):267
    电联:13178840497
    E-mail:hxl268@163.com(hxl中的l是英文字母)

  • 剑影若兰

    实际上还存在导数几乎处处等于零的严格增函数,如问号函数

  • lilunph

    实分析的基本结论而已

  • lolicon

    在端点处不可微吧。。。

  • lolicon

    话说 15~18 楼的是恶搞么。。。

  • Toto

    之前我不知怎样直接证1/4在cantor集里面,仅仅能证1/4用ternary表达了以后确实在集里。现在终于了解了!

  • 负一的平方根

    既然导数为0….
    那么f(x)=0的积分不就…

  • cervelo jersey

    推翻理论也需要实质证明

  • 旦旦

    1/3-1/9-1/27-1/81…-1/(3^n)…
    康托集的3进位小数—[0,1]2的2进位小数
    实现:有理数-〉有理数,代数数-〉代数数,超越数-〉超越数。

  • 优德

    多一分心力去注意别人,就少一分心力反省自己。

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