同样是无穷集合，如果集合里的元素能够与全体正整数构成一一对应的关系，我们就说它是可数的，否则就说它是不可数的。 1874 年， Cantor 发表了一篇重要的论文，论文中证明了全体有理数甚至是全体代数数都是可数的，但全体实数却是不可数的。换句话说，同样是无穷多，实数的数量比有理数、代数数的数量都高出了一个级别。不过，当时 Cantor 证明实数集不可数的方法并不容易理解。 1891 年， Cantor 发表了另一篇论文，给出了实数集不可数的另一种证明方法。此后，这个简单到不可思议的证明不断地震撼着每一个初学集合论的人：

    事实上，实数区间 (0, 1) 就已经是一个不可数的集合了。换句话说，你绝不可能用“第一个数是某某某，第二个数是某某某”的方式把 0 到 1 之间的所有实数一个不漏地列举出来。我们大致的证明思路是，假设你把实数区间 (0, 1) 里的所有数按照某种顺序排列起来，那么我总能找到至少一个 0 到 1 之间的实数，它不在你的列表里，从而说明你的列表并不全。把你的列表上的数全写成 0 到 1 之间的无限小数（如果是有限小数，可以在其后面添加数字 0 ，把它变成无限小数）：

a₁ = 0.0147574628...
a₂ = 0.3721111111...
a₃ = 0.2323232323...
a₄ = 0.0004838211...
a₅ = 0.0516000000...
.........

    那么我就构造这么一个小数，小数点后第一位不等于 a₁ 的第一位，小数点后第二位不等于 a₂ 的第二位，总之小数点后第 i 位不等于 a_i 的第 i 位。这个数属于实数区间 (0, 1) ，但它显然不在你的列表里，因为它和你列表里的每一个数都有至少一位是不同的。这样，我们就证明了实数区间是不可数的。

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    上帝创造了整数，其余的则是我们人类的事了。正因为如此，质数、完全数、Fibonacci 数之类的数列才会让数学家们如痴如醉，因为它们的存在是如此自然，没有任何人造的因素。事实上，数学家们对这些数的认识也越来越丰富，挖掘出了这些数列中越来越深刻的性质。

    不过，人类确实太渺小了。还有好多构造异常简单的“纯天然数列”，我们了解得实在太少。Kolakoski 数列就是最好的例子之一。

    Kolakoski 数列仅由 1 和 2 构成，其中头 100 个数是

1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1,
2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1,
1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2,
1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2,
2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, ...

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    有一根不均匀的绳子，烧完正好需要 1 个小时。如何用这根绳子测出半个小时的时间呢？答案很巧妙：把这根绳子的两头同时点燃，绳子烧完时正好就过了半个小时。更妙的是下面这个加强版：如何用两根这样的绳子来计时 45 分钟？答案是，把其中一根绳子的两头都点燃，同时点燃另一根绳子的其中一头；待到前一根绳子烧完之后，再把第二根绳子的另一头也点燃，于是便能测出 30 + 15 = 45 分钟了。
    一个有趣的问题自然而然地产生了：假如这样的绳子足够多，哪些时间能够用烧绳子的方法测出来呢？

    为了解决这一问题，让我们先把这个问题本身理清楚——“烧绳子测量时间”的“游戏规则”究竟是什么？首先，一根绳子（的任意一头）可以在第 0 时刻或者另外某根绳子烧完的瞬间点燃。另外我们假设，在同一时刻，我们可以同时点燃任意多根绳子。而由此测出的时间段则定义为从点燃第一根绳子到最后一根绳子烧完的总时间。
    用形式化的语言来描述，如果绳子两端分别在第 a 时刻和第 b 时刻点燃（其中 |a - b| < 1 ），那么绳子最终将在 (a + b + 1)/2 时刻烧尽。我们说某个时间点 x 是可以到达的，当且仅当存在两个可以到达的时间 a 、 b ，使得 x = (a + b + 1)/2 。显然，第 0 时刻是可以到达的。从第 0 时刻出发，不断用 (a + b + 1)/2 进行迭代，我们就能得到所有能够测出的时间了。

     可以看到，随着迭代次数的增加，能够测量的时间越来越多，也越来越精确；不过，时间一去不复返，有些时间还是无法测量，绳子再多也没法弥补。

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用摄像机对准三个屏幕，每个屏幕都显示摄像机拍到的内容，于是整个图形就是由三个与整体自相似的图形构成的，分形便诞生了。
这毫无疑问是我见过的最简单、最聪明、最酷的分形图形制作方法！

来源：http://scientopia.org/blogs/goodmath/2010/11/02/fractals-without-a-computer/

     Always A Bigger Fish 不但是电影情节中的经典桥段，也是各种恶搞的灵感来源——小鱼总是被大鱼吃掉，而大鱼上面总还有更大的鱼。久而久之，聪明的大鱼或许就不会去吃小鱼了，否则按照传统剧情，它身后会出现一条更大的鱼。一个有趣的问题出现了：倘若所有的鱼都是理性的，那会出现怎样的情况呢？
    让我们把问题重新叙述一下。假设有 n 条鱼，它们从小到大依次编号为 1, 2, …, n 。我们规定，吃鱼必须要严格按顺序执行。也就是说，大鱼只能吃比自己小一级的鱼，不能越级吃更小的鱼；并且只有等到第 i 条鱼吃了第 i - 1 条鱼后，第 i + 1 条鱼才能吃第 i 条鱼。第 1 条鱼则啥都不能吃，只有被吃的份儿。我们假设，如果有小鱼吃的话，大鱼肯定不会放过；但是，保全性命的优先级显然更高，在吃小鱼之前，大鱼得先保证自己不会被吃掉才行。假设每条鱼都是无限聪明的（并且它们也都知道这一点，并且它们也都知道它们知道这一点⋯⋯），那么第 1 条鱼能存活下来吗？

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    小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。 a × b 就表示 b 个 a 相加。初中时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方。 a ^ b 就表示 b 个 a 相乘。令人失望的是，到了高中时，我们并没有学到更牛 B 的运算符号；大学都快学完了，似乎也没见到乘方升级的苗头。乘方之上究竟是什么？下面，有请今天的主角——超级幂——登场！

    很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把 b 个 “a 次方” 重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题： a ^ a ^ a 究竟应该等于 (a ^ a) ^ a ，还是 a ^ (a ^ a) ？。我们不妨来算一算，不同算法得到的结果相差多远：

(2 ^ 2) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16
2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 4 = 16

    难道两种不同的计算顺序，得到的结果总是相同的吗？让我们换 a = 3 试试：

(3 ^ 3) ^ 3 = 27 ^ 3 = 19683
3 ^ (3 ^ 3) = 3 ^ 27 = 7625597484987

    哇，这下可就差远了。可以想象，如果把 “a 次方” 再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示 b 个 a 构成的指数塔，这种运算的威力会多大。

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    我曾经在这里介绍过一种叫做 autogram 的文字游戏，简单说就是“与自身相符的句子”，或者更简单地叫做“自我描述句”。例如，“这句话是用中文写的”、“这句话有七个字”等等。蛋疼的人还真不少，有人创作出了一些异常牛 B 的 autogram ，比如：

This autogram contains five a's, one b, two c's, two d's, thirty-one e's, five f's, five g's, eight h's, twelve i's, one j, one k, two l's, two m's, eighteen n's, sixteen o's, one p, one q, six r's, twenty-seven s's, twenty-one t's, three u's, seven v's, eight w's, three x's, four y's, and one z.

 
    1982 年， Scientific American 月刊上刊登了一个 autogram 杰作：

Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four c's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty-five n's, twenty-four o's, five p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens and, last but not least, a single !

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    心电图数列 (EKG Sequence) 的定义简单而有趣：第一项为 1 ，第二项为 2 ，以后的每一项都是最小的和前一项不互质并且不曾出现过的数。换句话说，数列 a(1)=1 ， a(2)=2 ，且当 n>2 时取 a(n) 为所有满足以下两个条件的数中最小的那一个：该数与 a(n-1) 有大于 1 的公约数，并且该数与前面 n-1 项都不相等。心电图数列的前面 20 项为

      1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, 24, 16, 20, 22, 11 ...

    为什么它叫做心电图数列呢？原因很简单——因为把它描绘在图象上时，看上去像一张心电图。

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