有人突然问到我，有不有可能构造一个函数，它只在一个点连续，其余地方处处不连续。函数构造是一个非常诱人的问题，我非常喜欢那些具有各种不可思议的性质的函数，那些令人吃惊的特性往往违背了大多数人的直觉和常识，这些都是茶余饭后闲谈的绝佳话题。前面提到的这个问题就是一个很有趣的问题。永远不要想当然地以为只在一点连续的函数不存在，各种怪相函数可谓无奇不有。仔细考虑了一下，我想这个函数应该和Dirichlet函数有点联系吧，毕竟很多与连续性相关的函数其原型都是Dirichlet函数，比如满足“无理点处处连续、有理点处处不连续”的爆米花函数就有Dirichlet函数的影子。然后我就突然想到，我彻底火星了，而且还是超级乌龙火星——这个玩意儿我自己还在Blog上写过，只是当时我并没注意到罢了。我曾经在描述Hilbert曲线时写到：

    你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。显然，任何有理数都是这个函数的一个最小正周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。因此，该函数的最小正周期可以任意小。如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？
    …………
    有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。

    类似地，我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数。只需把有理点上的f(x)=x换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数。

    网友Gestorm在TopLanguage里问到，如何构造一个[0,1]到(0,1)的一一映射。两个集合的势显然相等，它们之间一定有一个一一对应的函数。注意到(0,1)是[0,1]的子集，利用Cantor-Bernstein-Schroeder定理，只要我们能找到一个从[0,1]到(0,1)的单射函数，我们便找到了两个集合间的双射函数（因为上述定理的证明是构造性的）。这非常简单，例如f(x)表示x与0.5的平均数即可。考虑上述定理的Julius König证明，我们立即得到一个[0,1]到(0,1)的一一映射：f(0)=1/4, f(1/4)=3/8, f(3/8)=7/16, ...，不断进行(x+1/2)/2的迭代；同样地，f(1)=3/4, f(3/4)=5/8, f(5/8)=9/16, ...；对于其它所有未定义到的x，f(x)=x。这个函数显然是双射的。
    仔细观察这个函数。当你领会到这个函数的真谛时，你突然恍然大悟：我可以用类似地办法弄出无穷多个[0,1]到(0,1)的一一映射。例如，最简单的便是f(0)=1/2, f(1)=1/3；然后f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, f(1/4)=1/6, ..., f(1/i)=1/(i+2)；对于其它未定义的x，f(x)=x。
    查看TopLanguage的原帖可以看到一些类似的结果。

看来，已经有人提前做了一件我最近一直想要做的事情。
最近的几个有点不正常的数据点估计把整条曲线拉低了不少。
来源：http://blog.wired.com/wiredscience/2008/08/bolt-is-freaky.html

查看更多：http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
（德语，Stetson MM快来翻译）

又一个有创意的想法！下面这个函数在自然数点上的取值正好构成了Hello world!的ASCII码，是当之无愧的Hello world函数：

round( 96.75 - 21.98*cos(x*1.118) + 13.29*sin(x*1.118) - 8.387*cos(2*x*1.118)
    + 17.94*sin(2*x*1.118) + 1.265*cos(3*x*1.118) + 16.58*sin(3*x*1.118)
    + 3.988*cos(4*x*1.118) + 8.463*sin(4*x*1.118) + 0.3583*cos(5*x*1.118)
    + 5.878*sin(5*x*1.118)  )

这是这个函数的图像：

来源：http://www.poromenos.org/node/89

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    刚才在网上发现了上面这张猛图。急着想验证一下，但不知道Mathematica如何画极坐标的隐函数，于是写了一个Free Pascal的小程序。大家也可以试着把这个小程序粘贴到Free Pascal里运行一下看看。
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    你认为是否有可能存在这样一个函数f：在平面上随便画一个圆，圆里面总能够找到函数图像上的一个点？继续看下去前，不妨先仔细思考一下。


    为了说明任一圆内都包含函数上的点，我们只需要说明对于平面上任意给定点(x,y)，对于任意小的d都能在函数上找到一点，使得其横坐标落在x±d的范围内且纵坐标落在y±d内。这样的话，任意给出一个圆后，我都能保证圆的内接正方形里有点。
    我们构造这个函数f的基本思路是，构造一个将全体有理数映射到全体有理数的函数。注意到有理数是可数的，我们可以用这里的方法将全体有理数和自然数建立一一对应关系。也就是说，我们有了一个定义域为全体自然数、值域为全体有理数的一对一函数R(x)，它所对应的函数值是第x个有理数。下面我们开始着手定义我们要求的函数f(x)。函数f(x)的定义域是全体有理数，定义域里的每个x都可以表示成n/m的形式（化到最简），于是我们可以令f(x)=f(n/m)=R(m)。对于任意的y和d，在y±d里肯定存在一个有理数，假如按照上面的对应来看它是第m个有理数（即R(m)），下面我们就想办法说明我们总能够找到一个n，使得n/m在x±d的范围内。当然，如果运气不好m值很小的话我们就挂了，我们很自然地想到，这个m值应该越大越好，最好能重新定义一个值域为全体有理数的函数，对任一给定的有理数我们都能找出任意大的m对应到它。然后我们想到定义一个多对一的、定义域和值域都是自然数的函数H(x)：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
H(x) 1  1  2  1  2  3  1  2  3  4  1  2  3  4  5 ...

    重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(m))，这样的话任意给定一个有理数，我们可以找到任意大的m使得R(H(m))等于这个有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现一个整数n，则此时n/m在x±d的范围内。
    但我们又遇到一个问题：要是找到的那个n始终不能和m互质（表明没化到最简）咋办？我的直觉是，这种极端的情况应该是不存在的，当m充分大时，总有一个满足要求的n/m出现。但我没有严格证明它。其实，我根本不需要去证明它；这个题目有趣就有趣在，我这个函数f是可以随便构造的。你或许在想，要是分母m为质数就好了。那好，我就可以强迫分母m为质数。定义一个定义域为全体质数，值域为全体正整数的函数P(x)，它表示x是第几个质数：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
P(x) -  1  2  -  3  -  4  -  -  -  5  -  6  -  - ...

    重新定义f(x)=f(n/m)=R(H(P(m)))，现在我们能够找到任意大的质数m使得R(H(P(m)))等于指定的有理数。当m足够大时，m(x-d)和m(x+d)之间一定会出现两个相邻的整数p和q，由于m是质数，p和q之间总有一个数与m互质（不可能都是m的整倍数），我们需要的n也就找到了。

满足要求的函数有很多。这只是其中一种构造方法。大家能不能再想一些更有趣的构造来？
来源：http://www.douban.com/group/topic/2561708/
参考网友yushih的解答

最近重新整理了日志Tag。如果你喜欢这篇文章，不要错过这里的惊奇数学事实，你会看到更多难以置信的数学结论。

    不知是哪个牛人发现了这样一个有趣的函数f(x,y)=e^(-x^2-y^2/2) * cos(4x) + e^(-3((x+0.5)^2+y^2/2))，它可以说是“函数界”里的Hello World，因为当z充分小的时候（比如取0<z<0.001），函数图象是两个大大的字母，向电脑前的你表示最真挚的问候。看来，以后打招呼又有新的方式了。

    

    另外一些有趣的问题是，有没有牛人能找到一个并不太复杂的，可以显示“Hello World”的初等函数呢？或者更实用一些的，想要创作一个“XXX我爱你函数”需要花多长时间，函数本身会有多复杂？
    消息来源：http://www.walkingrandomly.com/?p=19

    你认为，是这个“HI函数”牛B，还是爱的方程式牛B？或者爱的方程式3D版更牛一些？或者数学公式生成的色情图片更牛？个人觉得，还是Tupper自我指涉公式最牛。