Matrix67 |
2010-02-19 3:08 | 
在处理最优化问题时，我们常常通过分析导函数来寻找极值点，因此往往希望目标函数是可导的；但在很多实际问题中，目标函数里经常带有取最大值函数，它的存在将破坏函数的可导性。一个有趣的问题由此产生：能否设计一个平滑的二元函数 f(x,y) ，它的效果近似于 max(x,y) ，足以用来代替最大值函数？在设计这样的函数时，下面这些条件需要尽可能满足：
· 函数简洁而美观
· 可以调整函数的“平滑度”
· 可以很方便地扩展到多个变量
Dec
6
Oct
27
在今天晚上的微观经济学课上，我又听到了一个比较有意思的东西。试着找找各种类型的连续函数f(x)，画出f'(x)和f(x)/x的函数图像，你会发现一个奇怪的现象：f'(x)与f(x)/x相交的地方都是f(x)/x取到极值的地方。简单地算一算，我们不难证实这个结论。f(x)/x的导数等于f'(x)/x - f(x)/x^2。将f'(x)=f(x)/x代入上式，可得f'(x)/x - f(x)/x^2 = f(x)/x^2 - f(x)/x^2 = 0。这就是说，当f'(x)与f(x)/x相等的时候，f(x)/x的导数一定等于0。有意思的是，这个结论还有一个非常直观的解释，你能想到吗？
Oct
20
连续函数f(x)满足f(0)=0且f(1)=0。证明，总能在[0,1]中找到两个数a和b满足b-a=1/2且f(a)=f(b)。换句话说，我们总能画出一条长为1/2的水平线段，它的两个端点都在函数f(x)上。
这个证明再次用到了我们上次提及的零点定理。考虑f(1/2)的值，如果它也等于0，我们的问题就直接解决了。无妨设f(1/2)>0，那么考虑f(x+1/2)-f(x)的值：当x=0时，该值为一个正数；但当x=1/2时，这个值变成了一个负数。这表明，在x从0增长到1/2的过程中，一定有某一刻使得f(x+1/2)-f(x)恰好为0。
我们接下来的问题是，除了长为1/2的横线段始终存在以外，还有哪些长度值具有相同的性质？下面我们证明，对任意一个正整数n，长为1/n的横线段也总是存在的。
Oct
15
假设你有两份工作供你选择：工作一，有1/2的概率获得1000块钱，有1/2的概率获得2000块钱；工作二，百分之百地能稳拿1500块钱。虽然看上去两种选择的平均收入都一样，但是人们往往更愿意选择后一份工作，尽可能避免前一种工作所带来的风险。为什么面对期望收入相同的事件，人们往往愿意选择风险更小的那一个呢？前几天我去听微观经济学的课时，学到了解释该现象的一个非常有趣的科学模型（经济学大牛请直接无视掉）。
这里，我们有一个重要的假设：收入的边际效用是递减的。换句话说，增加同样多的收入，低收入者主观上会感觉自己收益了很多，本来就是高收入的人则觉得这点儿收入算不了什么。人们往往会觉得，收入从1000块钱增加到2000块钱所带来的幸福感，要远远大于收入从8000块增加到9000块所带来的幸福感。因此，如果把个人收入和它给人带来的效益画成一条曲线的话，大致就如图中的那条蓝色曲线。
假如你获得了1000元钱，你主观上获得的收益就用A点来表示；假如你获得了2000元，你主观上的收益就在B点。因此，工作一带给你的平均效用就用A和B的中点C来表示。但是，如果我直接就给你1500块钱，你将会得到一个大于C的效用D。这表明，直接选择工作二所带来的效用要高于工作一带给你的平均效用，自然人们都会选择工作二了。因此经济学中有这样一个定理，如果一个人认为自己收入的边际效用是递减的，那么这个人就是一个风险规避者。对于期望收入相同的两件事来说，他愿意去做风险更小的那一件。
Aug
1
Image Functions是最近web 2.0上谈论很多的一个在线小程序。你可以在输入框里输入一个关于x、y、r、g、b的函数，系统将给出对应的图像并储存在画册里。你可以试着输入0.2*(x+y)或者sin(x)*cos(y)试试。没事可以点随机查看，偶尔你将会看到一些牛人绘制的牛图：
floor(3/(x*x*50+(y+6)**2+1))+floor(1/((x-2)**2+(y+9)**2*80+1))+floor(1.4/((y+2.8)**2*0.1+x*x*0.04+0.01))-3/(x*x+(y+1.0)**2*180)+floor(2/((y-3)**2*0.2+0.5*(abs(x)-3.5)**2*2+0.1))+floor(2.8/((y+5)**2*1.5+0.5*(abs(x)-5)**2*2.5+0.1))+floor(1.6/((y-4)**2*0.03+x*x*0.1+0.1))+floor(1.5/((y-10)**2+0.5*(abs(x)-3)**2))-floor(9/((y+3)**2*2.4+(abs(x)-1.9)**2*2.4))+floor(2.8/((y+9)**2*1.5+0.5*(x-4)**2*2.5+0.1))
