很早以前，我简单介绍过 Julia 集和 Mandelbrot 集，文章在此。这可以说是数学中最神秘、最令人敬畏的研究对象之一。不过，那时我对这个话题了解还不太深。今天见到这个网页，让我对 Julia 集和 Mandelbrot 集有了更深的了解。我查阅了一些其他的资料，然后写下这篇长文，与大家一同分享。继续阅读以前，建议先看看我原来那篇文章（很短），那里面有很多漂亮的 Julia 集和 Mandelbrot 集的图片，这篇文章就不再展示了。
还是让我们先来简单复习一下复数吧。由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为复数（即一切形如 a + b i 的数）。正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分，则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这个平面直角坐标系叫做“复平面”。
今天看到一个有趣的证明，来源在这里。
Cantor 集是一个简单而又神奇的分形图形。把 [0, 1] 三等分，挖去中间那一段（即挖去 (1/3, 2/3) ），然后把剩下两段也都分别进行三等分，并挖去各自中间的一段。这样无限地进行下去，最后得到的极限点集就是 Cantor 集了（上面那张图不是分割线，是 Cantor 集的一个示意图）。我们通常把 Cantor 集记作 C 。Cantor 集具有很多神奇的性质：它的 Lebesgue 测度为 0，但它却包含有不可数个点；它里面的每个点都不是孤点，但它却又是无处稠密的。你可以在这里看到一些具体的分析。
Cantor 集还有很多其他的性质。若 A 、 B 是两个集合，定义 A + B = {a + b | a ∈ A 并且 b ∈ B} ，也就是 A 中的某个元素与 B 中的某个元素相加可能得到的所有结果。下面我们将证明，C + C = [0, 2]。
考虑复数域上的迭代公式 zn+1 = zn^2 + (- 0.123 + 0.745 i) 。取不同的初始值 z0 ，迭代后 zi 的发散速度是不一样的。对于复平面上的每个点，以它为初始值的数列发散速度越快，就染越深的颜色表示；如果以它为初始值数列发散缓慢甚至收敛，则用相对较浅的颜色来表示。那么，整个图形将会是什么样子呢？本人纯手工打造 Mathematica 代码两行，为大家送上这幅神奇的图形：
难以置信，简单的公式竟然生成了如此复杂的分形图形，看上去仿佛是大大小小的兔子竖着耳朵跳出来给大家拜年一样。这个图形叫做 Douady 兔子，是由法国数学家 Adrien Douady 发现的。它是一种 Julia 集。
用摄像机对准三个屏幕，每个屏幕都显示摄像机拍到的内容，于是整个图形就是由三个与整体自相似的图形构成的，分形便诞生了。
这毫无疑问是我见过的最简单、最聪明、最酷的分形图形制作方法！
来源：http://scientopia.org/blogs/goodmath/2010/11/02/fractals-without-a-computer/
原来一直在想，有没有什么物理手段可以得到分形图形，没想到还真有。
看上去确实很帅。
视频来源：http://www.youtube.com/watch?v=S5-U8bazU7E
查看更多：http://tesladownunder.com/LowVoltagePower.htm#Wood%20burn%20fractals
Matrix67 |
2011-08-31 12:48 | 
