Koch雪花不可能图形版

 
 
Sierpinski三角形不可能图形版

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这是Takeshi Miyakawa工作室设计的一款抽屉式储物柜，有一种分形的感觉，颇具Geek的味道。
图片来源：http://ffffound.com/image/36beab19234c8db955a7843f2712e8e2b3996f40

只要有足够的想象力，你也能亲手制作一个生活中的分形小玩意儿。之前本Blog曾经介绍过分形小饰物和分形饼干。

    Stetson大学的一个非常可爱的MM（以后本Blog将简称她为Stetson MM）和我分享了一个很神奇的东西。她们正在做一个线性代数的课题研究，题目的大致意思是“用矩阵来构造分形图形”。Stetson MM叫我试着做下面这个实验：对于一个坐标点(x,y)，定义下面4个矩阵变换：
    
    然后，初始时令(x,y)等于(0,0)，按照 T1 - 85%, T2 - 6%, T3 - 8%, T4 - 1% 的概率，随机选择一个变换对该点进行操作，生成的点就是新的(x,y)；把它画在图上后，再重复刚才的操作，并一直这样做下去。我心里觉得奇怪，这为什么会得到分形图形呢？于是我写了一个简单的Mathematica程序：
list = {{0, 0}};
last = {{0}, {0}};
For[i = 0, i < 50000, i++, r = Random[];
   If[r < 0.85, last = {{0.83, 0.03}, {-0.03, 0.86}}.last + {{0}, {1.5}},
     If[r < 0.91, last = {{0.2, -0.25}, {0.21, 0.23}}.last + {{0}, {1.5}},
       If[r < 0.99, last = {{-0.15, 0.27}, {0.25, 0.26}}.last + {{0}, {0.45}},
         last = {{0, 0}, {0, 0.17}}.last + {{0}, {0}}
       ]
     ]
   ];
   list = Append[list, First[Transpose[last]]];
]
ListPlot[list, PlotStyle -> PointSize[0.002]]

    程序运行的结果真的是令我大吃一惊：竟然真的是一个分形图形！！我不禁再次对数学产生了一种崇敬和畏惧感！！

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    今天真够郁闷的。上午考高数有三道大题没做，一道题10分。有一道题错的那才叫冤。题目最后解出来应该是a和b的差值，其中a^2 = 16, b^2 = 256。大家能不能猜到我写上去的答案为什么是4？因为我写下a=4后，紧接着毫不犹豫地写下了b=8……我居然还非常仔细地验证了一下，10方是1024，256是8错不了了。高数考完后太郁闷了，以致于古汉课我一句话也没听进去。星期五下午本来没课的，现文史的老师过段时间要出差，于是今天下午集中时间补课。凭借着非凡的意志和勇气，我连续上了三个小时的现文史！自己都佩服自己了。
    最近事情很多。这周末的现汉作业很难，下星期一考线代，下星期五交古汉期中作业，然后就到了现文史第二次论文的最后期限。本来不打算更新的，网上随便逛逛又看到牛B东西了。不知道大家是否还记得那个Geek的DIY饰物？同一个网站上又更新了一个很可爱的东西：Sierpinski饼干。它完全仿照经典分形图形Sierpinski地毯。和其它很多分形图形一样，Sierpinski地毯也是递归地构造出来的。把单位正方形分成九宫格，挖掉中间那一块，然后对剩下的八块重复进行这样的操作，无限次操作后得到的图形就是传说中的Sierpinski地毯。

    如果哪位MM的男友是一个数学Geek，不妨学着给他做一个。其实，骗数学Geek很简单，不需要花钱买贵重的礼物，很多原创的小玩意儿就能打动他。要是我过生日时有MM送我这个东西，那我高兴死了。

    今年一月份，California的一个数学艺术展览会上出现了这样一种神奇的三维图形。放出图片之前，你能根据下面的文字描述想象出这个图形的样子吗？
    给定一个单位大小的立方体，在其中5个面的中心放置一个边长为1/2的小立方体；这5个小立方体中的每一个都有5个面露在外面，在这25个面中的每一个面中心再向外拼接一个边长为1/4的小立方体；然后每个1/4小立方体的5个暴露在外的面上再放置1/8大小的立方体……不断迭代下去后，最终会形成一个什么样的三维图形？






      

    上图就是按照要求迭代11次的样子，里面那个斜着放的红色立方体是最初的那个单位立方体，外面拼接了5个橙色立方体，每个橙色立方体外面又拼接了5个黄绿黄绿的小立方体……最终的形状大致是一个四棱锥，上面有很多三角形的洞，这些被挖去的部分恰好组成了最经典的分形图形——Sierpinski三角形。这是由艺术家Robert Fathauer发现的，在展览上的名字叫做Fractal Crystal No.1。

查看更多：http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/jmm08/

  
    Menger海绵(Menger Sponge)是三维空间中的经典分形图形，是Sierpinski地毯的三维扩展，最先由数学家Karl Menger提出。它的构造完全仿照Sierpinski地毯的构造方法，只是把平面上的地毯改成了空间中的海绵：把立方体分成27个小立方体，挖掉每一面中心和整个立方体中心共7个小立方体，对剩下的20个立方体递归地进行操作。它的Hausdorff维度为(ln20)/(ln3)，约等于2.726833。你能想象出它的截面是什么样子的吗？偶然发现这样一个奇图，发上来与大家分享：

  

图片来源：http://flickr.com/photos/sbprzd/1432723128/

从2007年分形艺术大赛(Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest)中选了几个自己感觉不错的图与大家分享。

图片按以下三个原则来选取：
1. 严格符合分形图形的定义
2. 与以往的分形图形风格很不一样
3. 很好看:)



















查看全部获奖作品：http://www.fractalartcontests.com/2007/winners.php
查看全部参赛作品：http://www.fractalartcontests.com/2007/entries.php