有这么两个八面体，它们是由一组相同的三角形面组成的，不过一个是凸多面体，一个是凹多面体。这两个多面体的体积哪个更大？
不可思议的是，真的就有这么两个八面体，凹的那个比凸的那个更大一些。 2002 年， S. N. Mikhalev 首次发现了这样一对八面体，其中凸多面体的六个顶点分别为
N(0, 0, 1)，A(10, 1, 0)，B(0, 6, 0)，C(-10, 1, 0)，D(0, -10, 0)，S(0, 0, -1)
凹多面体的六个顶点则为
N(0, 0, √61/3)，A(√71, 4√2/3, 0)，B(0, -5√2/3, 0)，C(-√71, 4√2/3, 0)，D(0, -11√2/3, 0)，S(0, 0, -√61/3)
突然想到在网上查查三体问题进展究竟如何，于是摸到了这么一个地方：
http://www.maia.ub.es/dsg/nbody
上面这个地方提供了多体问题中颇具代表性的 47 个解的数据，用的 gnuplot 格式。我选择了其中 30 个，用 Mathematica 读出数据，生成了 30 个直观的 gif 动画。大家将会看到，在引力的作用下，多颗星体可能会形成的一些极其诡异的轨道。后面的解越来越不平凡，可见多体问题之难。图片总共 7 M，服务器表示压力很大，转载勿盗链图片。
经典 Geek 动画 Futurama 上周播出了第 6 季的第 10 集 The Prisoner of Benda 。在这一集中，教授 Farnsworth 发明了一种“心灵对换机”，它可以把两个人的思想互相对换，使得 A 的大脑跑进 B 的身体里，而 B 的大脑则跑到 A 的身体里。 Farnsworth 和 Amy 都想得到对方的身体，便成为了这台机器的第一对实验者。等到他们爽够了想换回来后， Farnsworth 却发现了一个严重的问题：已经互换过大脑的两个身体不能再次进行大脑对换操作。但这并不表示两个人完全没有希望回到自己的身体里—— Farnsworth 突然想到，或许可以用第三者作为一个临时的大脑储存空间，从而实现间接对换。正巧机器人 Bender 进了实验室，于是（身为 Amy 的） Farnsworth 和 Bender 又坐上了机器，这下 Farnsworth 的大脑便跑到 Bender 身体里了，而 Bender 的大脑则进了 Amy 的身体里。此时 Farnsworth 才意识到，引入一个第三者是不够的——再让（身为 Bender 的） Farnsworth 和（身为 Farnsworth 的） Amy 互换大脑，可以让 Farnsworth 恢复原状，但同时 Amy 的大脑会跑到 Bender 的身体里去；这样 Bender 和 Amy 的身体正好颠倒了，而他们却已不能再次使用机器。换句话说，要想恢复两个换位了的大脑，需要引入不止一个新的人。
但现在，问题已经变得更加复杂了——这下已经产生了三个大脑位置错乱的人。大家很容易联想到一个更一般的问题：给定 n 个人以及他们之前使用“心灵对换机”的记录，至少得引入多少个新的人，才能让所有人的大脑都“物归原主”呢？
刚MSN聊天时，小猫给我发了个异常牛B的ppt，作品出自Eyeful Presentations。Eyeful Presentations是英国的一家设计公司，专门帮助客户完成ppt设计。这是它们用来宣传的一个ppt，一句话，简直是太强大了。
我的左眼有相当严重的散光，因此无缘各种类型的3D立体图，包括看对眼、立体眼镜、左右两幅图（一只眼睛看一个）等等。后来，网上出现了一种只需要一只眼睛就能体验的3D图，原理非常简单，效果也比较震撼。只需要在两个眼睛的位置分别拍照，然后做成gif循环显示两个图片，大脑也可以从中迅速获取信息分辨出第三维来。闲逛ffffound时偶然发现这个图，突然想到：同样的方法为何不用于展示三维数据呢？于是试着用Mathematica做了一个。Mathematica输出gif动画相当简单，只需要一句Export["file.gif",{g1, g2, ...}]就行了。在这里，我们将用三维空间的点来展示组合数的各位数字之和的分布情况。可以看到，使用3D动画的效果非常明显。
img = ListPointPlot3D[
Table[Total[IntegerDigits[Binomial[i, j]]], {i, 0, 50}, {j, 0, 50}],
ViewVertical -> {0, 0, 1}, ImageSize -> 600];
Export["F:\\file.gif", {Show[img, ViewVector -> {-32, -20, 60}],
Show[img, ViewVector -> {-31, -21, 60}]}];
类似地，我们还可以做出环视一周的gif动画来，虽然这样将很难观察出细节，但对总体的把握效果将更好。
Matrix67 |
2011-02-18 23:00 | 
