昨晚做梦，梦见了一个有趣的数学问题：有没有什么多面体，它的每个面都是凹多边形？有趣的是，接下来我梦见自己醒了过来，然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文，论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展，于是踏上了拜访作者本人的路……
然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子。下图是我很喜欢的一个例子。整个多面体由12个全等的凹多边形组成。
环面多面体，即亏格为 1 的多面体，直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近，我在研究一些和环面多面体相关的话题，在这里和大家分享一些我的发现。
随着常数 m 和 n 的变化，参数方程 x = sin(m · t), y = sin(n · t) 将会画出一系列漂亮的曲线。法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 曾在 1857 年研究过这类曲线，因此人们把它叫做 Lissajous 曲线。我在 reddit 上看到了一个 Lissajous 曲线的动画演示，觉得看起来确实非常爽；但那个动画里没有解释曲线的生成方法，很多细节也有让人不太满意的地方，于是决定自己制作一个。这个动画展示的是 m = 13, n = 18 时的 Lissajous 曲线。
2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日，第 39 届欧洲杂耍大会（European Juggling Convention）在荷兰的阿尔梅勒举行， 8 月 3 日凌晨的搏击之夜（Fight Night）自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗（combat juggling）这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里，有两个响当当的大名你必须要知道：德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二，之前拿过 6 次搏击之夜的冠军；英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一，之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中，两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强，并在淘汰赛阶段过关斩将，最终成功在决赛场上相遇。最终，世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke ，夺得了又一个搏击之夜的冠军。
杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时，两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方（但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒，不能针对对方的手臂和身体）。谁站到最后，谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。
典型的一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛。
无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一：
初始时，某个格子里有 1 个原子。现在，你需要在若干次操作之后，让它右移 6 格。也就是说，你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。
