怎样把一个立方体分成 54 个小立方体?

大家或许都听说过一个与正方形剖分相关的非常经典的问题:对于哪些正整数 n ,我们可以把一个正方形分割成 n 个小正方形(允许出现大小相同的小正方形)?答案是,除了 n = 2, 3, 5 以外,对于其他所有的 n ,把一个正方形分割成 n 个小正方形都是有可能的。对于 n = 1, 4, 6, 7, 8 的情况,分割方案如下图所示:

对于更大的 n 呢?注意到,每次用横竖两条线把一个小正方形分成四个更小的小正方形后,我们都会让这个图形里的正方形数目增加 3 个。因此,我们只需要在 n = 6 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 9 的方案;只需要在 n = 7 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 10 的方案;只需要在 n = 8 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 11 的方案;只需要在 n = 9 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 12 的方案……于是,其他所有的情况都被我们解决了。

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Keller 猜想与 12 维空间中的神构造

在各种令人惊讶的数学事实当中,我最喜欢的类型之一便是,某个数学命题在二维空间、三维空间甚至四维空间当中都是成立的,但偏偏到了某个维度时,命题就不成立了。 Keller 猜想就是一个这样的例子。

同样大小的正方形平铺整个平面(比如像下图那样),则一定存在某些边与边完全贴合的相邻正方形。

类似地,同样大小的正方体平铺整个空间(比如像下图那样),则一定存在某些面与面完全贴合的相邻正方体。

1930 年, Ott-Heinrich Keller 猜测,或许这一点对于更高维度的空间都是成立的。也就是说, Ott-Heinrich Keller 猜测,对于任意正整数 n ≥ 2 都有,同样大小的 n 维立方体平铺整个 n 维空间,则一定有两个面与面完全贴合的相邻 n 维立方体。这就是著名的 Keller 猜想。

1940 年, Oskar Perron 证明了,当 n = 2, 3, 4, 5, 6 时, Keller 猜想确实是正确的。一切似乎都在正轨上。然而,到了 1992 年的时候,事情出现了转折: Jeffrey Lagarias 和 Peter Shor 构造了一个 n = 12 时的反例,从而推翻了 Keller 猜想。让我们来看一看 Lagarias 和 Shor 的神构造吧。为了方便起见,下面我们直接用“立方体”一词指代 n 维的广义立方体,“立方体的面”则代表 n 维立方体的 n – 1 维面。

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IMO2015 趣题:平衡的但无中心的点集

2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ,我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ,我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ,我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ,我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。

  1. 证明:对于所有大于等于 3 的正整数 n ,都存在一个由 n 个点构成的平衡点集。
  2. 对于哪些大于等于 3 的正整数 n ,存在由 n 个点构成的平衡的但无中心的点集?

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趣题:正方形能被画成什么样?

房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后,立即拿出纸和笔,把这个金属框的样子画了下来。但是,由于五位画家观察这个金属框的角度不同,它们画出来的结果也互不相同。请问,这五位画家画出来的结果都是对的吗?换句话说,有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图?

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趣题:下一根枕木应该画在哪儿?

一位画家正在画画。画布上是一望无际的平原,一条笔直的铁路向无限远的地方延伸。画家画了铁路上的两根相邻的枕木,它们在画面上呈两条平行的线段,并且都与地平线平行。这时,画家突然犯难了:根据透视的原理,下一根枕木应该画在哪儿呢?你能帮他确定出下一根枕木的位置吗?

这里,我们假设陆地是一个无限大的平面,并且铁路上的相邻枕木之间的间距相等。

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