在各种令人惊讶的数学事实当中，我最喜欢的类型之一便是，某个数学命题在二维空间、三维空间甚至四维空间当中都是成立的，但偏偏到了某个维度时，命题就不成立了。 Keller 猜想就是一个这样的例子。
同样大小的正方形平铺整个平面（比如像下图那样），则一定存在某些边与边完全贴合的相邻正方形。
类似地，同样大小的正方体平铺整个空间（比如像下图那样），则一定存在某些面与面完全贴合的相邻正方体。
1930 年， Ott-Heinrich Keller 猜测，或许这一点对于更高维度的空间都是成立的。也就是说， Ott-Heinrich Keller 猜测，对于任意正整数 n ≥ 2 都有，同样大小的 n 维立方体平铺整个 n 维空间，则一定有两个面与面完全贴合的相邻 n 维立方体。这就是著名的 Keller 猜想。
1940 年， Oskar Perron 证明了，当 n = 2, 3, 4, 5, 6 时， Keller 猜想确实是正确的。一切似乎都在正轨上。然而，到了 1992 年的时候，事情出现了转折： Jeffrey Lagarias 和 Peter Shor 构造了一个 n = 12 时的反例，从而推翻了 Keller 猜想。让我们来看一看 Lagarias 和 Shor 的神构造吧。为了方便起见，下面我们直接用“立方体”一词指代 n 维的广义立方体，“立方体的面”则代表 n 维立方体的 n – 1 维面。
