每个面都是凹多边形的多面体

昨晚做梦,梦见了一个有趣的数学问题:有没有什么多面体,它的每个面都是凹多边形?有趣的是,接下来我梦见自己醒了过来,然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文,论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展,于是踏上了拜访作者本人的路……

然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子。下图是我很喜欢的一个例子。整个多面体由12个全等的凹多边形组成。

趣题:切完大饼和蛋糕,让我们切一切甜甜圈

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼,有一个方形的蛋糕,还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗?

  • 3 刀切一张圆形的大饼,最多能把它分成多少块?或者说,3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域?
  • 4 刀切一个方形的蛋糕,最多能把它分成多少块?或者说,4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域?
  • 3 刀切一个甜甜圈,最多能把它分成多少块?或者说,3 个平面最多能把一个(实心的)环面分成多少个区域?

提示:上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。

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怎样把一个立方体分成 54 个小立方体?

大家或许都听说过一个与正方形剖分相关的非常经典的问题:对于哪些正整数 n ,我们可以把一个正方形分割成 n 个小正方形(允许出现大小相同的小正方形)?答案是,除了 n = 2, 3, 5 以外,对于其他所有的 n ,把一个正方形分割成 n 个小正方形都是有可能的。对于 n = 1, 4, 6, 7, 8 的情况,分割方案如下图所示:

对于更大的 n 呢?注意到,每次用横竖两条线把一个小正方形分成四个更小的小正方形后,我们都会让这个图形里的正方形数目增加 3 个。因此,我们只需要在 n = 6 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 9 的方案;只需要在 n = 7 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 10 的方案;只需要在 n = 8 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 11 的方案;只需要在 n = 9 的方案上增加两笔,就能得到一个 n = 12 的方案……于是,其他所有的情况都被我们解决了。

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