2008-07-13 19:35| 
9 Comments | 本文内容遵从 Proofs from THE BOOK的第六章相当精彩，这一章循序渐进地介绍了多个无理性证明。先证明e是无理数，证明方法和高数课本上的基本相同；试图用类似的办法证明e^2也是无理数时，这一章的内容开始牛B了起来，一些巧妙的变换就让原来的办法继续适用于e^2的证明；加上一些更有趣的技巧，我们还能继续证明e^4也是无理数；当证明对除0外的所有有理数r，e^r都是无理数时，全章达到了高潮。
这一章还提到了pi^2是无理数的证明方法。这个证明建立在Ivan Niven于1947年提出的“pi是无理数”的经典证明的基础上：仅仅是在原证明过程中加了一些微妙的变化就得到了pi^2也是无理数的结论。注意到，“pi^2是无理数”是一个比“pi是无理数”更强的结论。由于有理数的平方还是有理数，因此证到了pi^2是无理数也就说明了pi必然是无理数；但反过来却不行，因为无理数的平方不一定也是无理数，比如根号2的平方就不是无理数。
证明过程用到了一个函数
，其中n是一个任取的大于等于1的常数。可以想像，这个函数的分子部分展开后是一个关于x的整系数多项式，最低次数为n，最高次数为2n。我们将用到这个函数的两个性质：首先，当0<x<1时，显然有0 < f(x) < 1/n!；其次，函数f及其任意阶导数在x=0和x=1处都是整数。为了证明后一个结论，首先注意到当x=0时，不管是多少阶的导数，除了常数项以外其余项都是0；常数项只可能在n<=k<=2n时出现（k表示k阶导数），但此时它等于一个整系数乘以k!/n!，显然也是个整数。另外，由于f(x)=f(1-x)，根据复合函数的微分法我们立即得到
对任意x都成立，当然也就有
。
下面我们用反证法来证明，pi^2不是有理数。先假设pi^2=a/b，然后我们将推出一个荒谬的结论。定义函数
这个函数有一个有趣的性质：
由于
（最后一步依据我们的假设）
定义一个数N，于是有
而由前面的引理，F(0)和F(1)里的每一项都是整数（由于假设pi^2=a/b，所有的pi都和外面的b^n相乘化整了），因此N=F(0)+F(1)也是整数。
但是当x∈(0,1)时，被积函数是恒正的，并且根据前面的引理f(x)始终是小于1/n!的。于是有
我们的n是可以任取的，显然n可以足够大以使得(pi*a^n)/n!<1，此时0<N<1，这与N是整数矛盾。
搶了沙發再說話～
Matrix67 已经放假了
利用构造法的证明
都是最难以想象的精巧发明
你这里的公式是用什么写的？
觉得应该是用mathtype写的
然后转成gif格式丢上来
是吧？
Matrix67，你好：
偶然看到你的博客，觉得很多文章都相当有趣。还在继续看...
想向你提个小建议，就是你的很多文章中都有数学公式，这些数学公式除了非常复杂的需要使用图片之外，其实大部分都可以使用 HTML 的上下标元素(...，...)写得很漂亮。而如果用 pi^2 和 e^2 之类的写出来就很难看。举个例子，下面这段 HTML 代码在网页上显示出来就会很漂亮：
用牛顿迭代法计算平方根和除法类似。若：
Ui+1 = Ui (3 - VUi2) / 2
则 U∞二次收敛于 1/√V，
最后用 V 除就得到√V。
上面这段 HTML 代码的显示效果可以在以下网页的最后一部分查看：
http://www.cnblogs.com/skyivben/archive/2008/07/13/1241681.html
这本书相当经典啊……高考完了一定要看……
博主为什么不弄个LaTeX图片？http://tex.72pines.com/latex.php?latex=$%24%24%5CLaTeX%24%24$
pi^2 和 e^2 并不难看……