今天听说了 Conway's Soldiers ，这是 Conway 大牛在 1961 年提出的一个数学谜题（似乎 Conway 的出镜率也太高了），我觉得非常有意思，在这里跟大家介绍一下。内容基本上来自于 Wikipedia 的相关页面。

    假设有一个无限大的棋盘。棋盘上可以放置一些象征着士兵的棋子。一个棋子可以跳过并吃掉和它相邻的一枚棋子（就像孔明棋一样）。这是棋子的唯一一种移动方式。现在，在某个位置画一条无限长的水平线，你需要在水平线下面放置足够多的棋子，使得它们前仆后继地往水平线上方跳，最终能够跳到水平线以上 n 个单位的位置。

    如图所示，当 n = 1 时，两个棋子就够了。当 n = 2 时，我们需要 4 个棋子。当 n = 3 时，最少需要 8 个棋子。

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考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

 
答案：记 P_i 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P₁ + 2 * P₂ + 3 * P₃ + 4 * P₄ + … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

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    我一直觉得，数学中的各种常数是最令人敬畏的东西，它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的，偏偏就是这个样呢。除了那些众所周知的基本常数之外，还有很多非主流的数学常数，它们的存在性和无理性同样给它们赋予了浓重的神秘色彩。今天，就让我们一起来看一看，数学当中到底有哪些神秘的无理常数。

 
√2 ≈ 1.4142135623730950488

    古希腊的大哲学家 Pythagoras 很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一—— Pythagoras 学派。 Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。
    第一个无理数 √2 的发现者就是一位 Pythagoras 学派的学者，他叫做 Hippasus 。据说，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题：边长为 1 的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗？ Pythagoras 自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条，因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。
    利用勾股定理可知，这个数是方程 x^2 = 2 的唯一正数解，我们通常就记作 √2 。 √2 可能是最具代表性的无理数了，我们之前曾经介绍过很多 √2 的无理性的证明。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些轰然倒塌。
    无理数虽说无理，在生产生活中的用途却是相当广泛。例如，量一量你手边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的比值就约为 1.414 。这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来一样。因此，如果原来的长宽比为 x : 1 ，新的长宽比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。

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    刚才看到这个很漂亮的无理数 e 的近似表达，它恰好用到了 1 到 9 这 9 个数字。
    猜猜看它能精确到 e 的小数点后多少位？ 10 位？ 100 位？ 1000 位？ 10000 位？

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    由于勾股数组有无穷多个，因此以原点为圆心的单位圆上有无穷多个有理点。例如，(3,4,5)是一组勾股数，因此(3/5, 4/5)就是单位圆上的一个有理点。将这个圆的半径放大有理数倍，则原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点；将这个圆的圆心平移至一个有理点，则同样地，原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点。于是我们得到这样一个结论：在平面直角坐标系内，任意一个以有理点为圆心，有理数为半径的圆周上总存在无穷多个有理点。我们不由得想到这样一个有趣的问题：如果一个圆的圆心是无理点（两个坐标中至少有一个不是有理数），那么圆周上的有理点个数还可能是无穷多个吗？若不是的话，最多能有多少个？

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    对于数轴上的一个点集，如果说在集合中任意两点之间都能够找到该集合中的另一个点，我们就说该点集处处稠密。例如，全体有理数集合就是稠密的，任意接近的两个有理数之间都存在其它的有理数（比如它们的算术平均值）。这样看来，两个处处稠密的点集似乎是不能共存的，但实际情况并非如此。我们将会看到越来越牛B的例子，它们将让我们对稠密性有一个全新的认识。

    1. 在数轴上找出两个处处稠密的点集，它们互不相交。
    很简单。全体有理数和全体无理数就是满足条件的两个集合。

 
    2. 在数轴上找出两个处处稠密的不可数点集，它们互不相交。
    很狡猾。集合A取全体正有理数和全体负无理数的并集，集合B取全体正无理数和全体负有理数的并集，这两个集合即可满足条件。

 
    3. 在数轴上找出无穷多个处处稠密的点集，它们两两不相交。
    令P_i表示第i个素数。则集合S_i := { √P_i + r| r为有理数 }满足条件。为了证明它们两两不相交，假设r_1 + √P_m = r_2 + √P_n，于是(r_1 - r_2)^2 = (√P_n - √P_m)^2，可得√P_m * P_n = ( P_m + P_n - ((r_1 - r_2)^2) )/2。两个素数的乘积的平方根是一个有理数，这显然是荒谬的（很多证明根号2是无理数的方法都可以证实这一点，例如这里的证法http://www.matrix67.com/blog/archives/206）。

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The American Mathematical Monthly新年第一期中有一段精彩的根号2无理性证明。

假设√2等于p/q，那么对于任意自然数n都有：

(√2)ⁿ q = 2^n/2 q    当n是偶数时
               2^(n-1)/2 p 当n是奇数时

无论哪种情况，(√2)ⁿ q都是一个自然数。由二项式定理，对任意大的n都有：

但这显然是不可能的，因为序列(√2 - 1)ⁿ q是收敛到0的。

参考资料：http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml#proof16
相关文章：五种方法证明根号2是无理数，又一种证明根号2是无理数的方法

    Proofs from THE BOOK的第六章相当精彩，这一章循序渐进地介绍了多个无理性证明。先证明e是无理数，证明方法和高数课本上的基本相同；试图用类似的办法证明e^2也是无理数时，这一章的内容开始牛B了起来，一些巧妙的变换就让原来的办法继续适用于e^2的证明；加上一些更有趣的技巧，我们还能继续证明e^4也是无理数；当证明对除0外的所有有理数r，e^r都是无理数时，全章达到了高潮。
    这一章还提到了pi^2是无理数的证明方法。这个证明建立在Ivan Niven于1947年提出的“pi是无理数”的经典证明的基础上：仅仅是在原证明过程中加了一些微妙的变化就得到了pi^2也是无理数的结论。注意到，“pi^2是无理数”是一个比“pi是无理数”更强的结论。由于有理数的平方还是有理数，因此证到了pi^2是无理数也就说明了pi必然是无理数；但反过来却不行，因为无理数的平方不一定也是无理数，比如根号2的平方就不是无理数。

    证明过程用到了一个函数，其中n是一个任取的大于等于1的常数。可以想像，这个函数的分子部分展开后是一个关于x的整系数多项式，最低次数为n，最高次数为2n。我们将用到这个函数的两个性质：首先，当0<x<1时，显然有0 < f(x) < 1/n!；其次，函数f及其任意阶导数在x=0和x=1处都是整数。为了证明后一个结论，首先注意到当x=0时，不管是多少阶的导数，除了常数项以外其余项都是0；常数项只可能在n<=k<=2n时出现（k表示k阶导数），但此时它等于一个整系数乘以k!/n!，显然也是个整数。另外，由于f(x)=f(1-x)，根据复合函数的微分法我们立即得到对任意x都成立，当然也就有。

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