上一篇日志出自我偶然发现的一本非常精彩的数学书叫做Proofs Without Words，可惜网上只有书里的一部分预览。我苦苦寻找这本书的电子版，但一直没能找到。强大的网友primenumber在那篇日志中留下评论，与大家分享了这本书的完整电子版的下载链接。这果然是一本牛书，全书大概150页，书里面基本上没有文字，一页一页翻起来就如图看漫画书一样，很快就能翻完。每一页都用一张图配几个式子给出了一个经典定理的证明，能带给人很多惊喜和思考。为了全面贯彻“书是人类进步的阶梯，电子书是人类进步的电梯”的精神，我把这本书放到我自己的空间里，希望大家能够喜欢。

    点击此处下载。看djvu的软件可以在这里找到。我用的这个。

    小时候我就很喜欢思考一些科学之外的东西。数学家发现新定理，物理学家提出新理论，发明家创造新事物，自以为无所不能的科学似乎已经统领了整个人类历史的发展。但是，谁又来思考科学本身呢？于是我常常幻想，如果当初科学没有战胜宗教，世界又将怎样？人类依旧停留在穷困的黑暗社会？还是与大自然和睦相处过着无忧无虑的幸福生活？甚至是凭借直觉和信仰建立了一套能够自圆其说的物理体系，虽然这套体系和我们现有理论大相径庭？无论怎样，如果我们当真生活在宗教胜出的那个平行世界中，我们不但不会质疑这个问题，相反还会问自己如果科学战胜了宗教的话生活会变得多么不可思议。因为“科学”的定义变了。
    我们到底应该如何获取知识，如何探索世界，在这个根本问题上的分歧形成了不同的“科学范式”。一个科学范式下理所当然的东西在另一个科学范式下可能变得无比荒谬，因为它们在科学发展的最底层就已经有了矛盾。当宗教统治人类历史时，宗教便是“科学”；外人看来再不合理的事情，只要是在自己圈子里发展出来的，怎么看都再正常不过。宗教与科学之争其实是两个科学范式之间的战争，它们的争端永远没有办法解决，因为各自的理论在各自的研究方法之下都是正确的，它们本身并无对错之分，谁也说服不了谁。我们或许期待着有那么一套“算法”作为法官来评判哪个科学范式更好，不幸的是这个法官本身所代表的就是第三种科学范式，争端不但没有任何缓和，反而扩大了。
    前几天刚看完《科学哲学》这本书。科学哲学很有意思。这里我举一个有趣例子来说明，科学哲学问题相当值得思考。

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    这个月月初就开始看《从一到无穷大》，花了接近两个星期才看完。这确实是一本让人放不下手的好书。考虑到我的阅读速度，一个多星期一本书已经近乎神速了。在这本书里我经常会看到一些有趣的数学知识，前段时间我还写过书里提到的一个有趣的东西——环面上的染色问题反而比平面上的“四色问题”更加简单。这种例子并不罕见，很多时候一些扩展版的问题反而比原问题更加简单。在第八章，我看到了另一个好玩的东西：随机游走(random walk)问题。
    随机游走问题是说，假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度，那么n次行动之后你离原点平均有多远（即离原点距离的期望值）。有趣的是，这个问题的二维情况反而比一维情况更加简单，关键就是一维情况下的绝对值符号无法打开来。先拿一维情况来说，多数人第一反应肯定是，平均距离应该是0，因为向左走和向右走的几率是一样的。确实，原点两边的情况是对称的，最终坐标的平均值应该是0才对；但我们这里考虑的是距离，它需要加上一个绝对值的符号，期望显然是一个比0大的数。如果我们做p次实验，那么我们要求的平均距离D就应该是

    其中d的值随机取1或者-1。这里的绝对值符号是一个打不破的坚冰，它让处于不同绝对值符号内的d值无法互相抵消。但是，当同样的问题扩展到二维时，情况有了很大的改变。我们把每一步的路径投射到X轴和Y轴上，利用勾股定理我们可以求出离原点的距离的平方R^2的值：

    一旦把平方展开后，有趣的事情出现了：这些X值和Y值都是有正有负均匀分布的，因此当实验次数p充分大时，除了那几个平方项以外，其它的都抵消了。最后呢，式子就变成了

    于是呢，就有平均距离R=sqrt(n) （准确的说是均方根距离）。我们得出，在二维平面内随机选择方向走一个单位的长度，则n步之后离出发点的平均距离为根号n。这是一个很美妙的结论。

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    想当年搞竞赛那会儿，我真是读了不少书，收获相当大。进大学后渐渐地淡出了竞赛的世界，于是开始看各种类型的数学书。Pólya的几本牛书陪伴我熬过了无聊的古代汉语课和现代文学史课，每个星期消化一点《什么是数学》已经成了一种习惯。最近笔记本的电池越来越不能扛了，熄灯后最多挺一个半小时。那要是笔记本没电了我该干啥呢？于是在网上买了个平板阅读灯，等寝室的人都睡了之后安安静静地伏在床上看书、思考。想看的书真是多啊……偏偏我看书又慢。正在看《苏菲的世界》，《三体II》还没看，昨天又买了一大堆书……真希望我能有更多的时间来看书。

Sofies verden / Sophie's World / 苏菲的世界
    这是一本异常奇特的小说，也是一本绝佳的哲学史入门读物。最早我是在Wikipedia的self reference词条下知道这本书的，因为这本小说中的主人公最终发现自己是一本小说中的主人公。现在正在看这本书，马上要看完了。我看书是出了名的慢，断断续续地看了一个假期都还没看完。

Kabalmysteriet / The Solitaire Mystery / 纸牌的秘密
    和Stetson MM聊得最火热的那段时间里，我曾经提到过我要看《苏菲的世界》。Stetson MM告诉我说，《苏菲的世界》她没看过，但是同一作者的另一本书《纸牌的秘密》她看过的，并且她非常强烈地向我推荐这本书。前几天看到她校内上的日志还引用了《纸牌的秘密》里面的话。

The Cat Who Walks Through Walls / 穿墙猫
    科幻大师Robert A. Heinlein的一部科幻小说。我是相当喜欢Heinlein的了，《你们这些还魂尸》是我见过的最牛B的时间悖论题材的科幻小说。The Cat Who Walks Through Walls也是我在Wikipedia的self reference词条下看到的，它上面介绍说，这本书considers the universe as an author-manipulated object including the plot in the book itself，想必应该会相当有趣吧。目前这本书好像没有中译。

One Two Three... Infinity / 从一到无穷大
The Emperor's New Mind / 皇帝新脑
    这两本书是相当经典的了，我居然还没读过-_-b
    刚刚把这两本书买了，看完苏菲就看它们俩。

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    Proofs from THE BOOK的第六章相当精彩，这一章循序渐进地介绍了多个无理性证明。先证明e是无理数，证明方法和高数课本上的基本相同；试图用类似的办法证明e^2也是无理数时，这一章的内容开始牛B了起来，一些巧妙的变换就让原来的办法继续适用于e^2的证明；加上一些更有趣的技巧，我们还能继续证明e^4也是无理数；当证明对除0外的所有有理数r，e^r都是无理数时，全章达到了高潮。
    这一章还提到了pi^2是无理数的证明方法。这个证明建立在Ivan Niven于1947年提出的“pi是无理数”的经典证明的基础上：仅仅是在原证明过程中加了一些微妙的变化就得到了pi^2也是无理数的结论。注意到，“pi^2是无理数”是一个比“pi是无理数”更强的结论。由于有理数的平方还是有理数，因此证到了pi^2是无理数也就说明了pi必然是无理数；但反过来却不行，因为无理数的平方不一定也是无理数，比如根号2的平方就不是无理数。

    证明过程用到了一个函数，其中n是一个任取的大于等于1的常数。可以想像，这个函数的分子部分展开后是一个关于x的整系数多项式，最低次数为n，最高次数为2n。我们将用到这个函数的两个性质：首先，当0<x<1时，显然有0 < f(x) < 1/n!；其次，函数f及其任意阶导数在x=0和x=1处都是整数。为了证明后一个结论，首先注意到当x=0时，不管是多少阶的导数，除了常数项以外其余项都是0；常数项只可能在n<=k<=2n时出现（k表示k阶导数），但此时它等于一个整系数乘以k!/n!，显然也是个整数。另外，由于f(x)=f(1-x)，根据复合函数的微分法我们立即得到对任意x都成立，当然也就有。

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    又回来更新啦！虽然还有两门课没考，但今天已经轻松了不少。梦魇般的现代文学史总算是结束了。抱了两天两夜的佛脚，结果考试时一看卷子，仍然没一道会的题目。不定项选择多选少选均不得分，都是些文学常识题，给四篇我从没见过的小说名字问哪些是第一人称叙事，或者给四个人名字问哪些是笔名之类的。天哪……以后的古代文学史咋办啊。
    先强烈推荐一本好书。前几天在TopLanguage看到有牛人推荐Proofs from THE BOOK这本书，当即决定买了下来。这几天复习累了我都在看这本书，真的是很好很强大，里面汇集了很多著名问题的经典证明，包括很多我一直想找但没找到的证明。好了不多废话了，下面进入正题。

    很早以前，我们曾经研究过质数，证明了质数有无穷多个。后来，我们又学到了另外两种证明质数无穷多的方法。这两种方法的基本思路相同：寻找一个无穷大的集合，里面的数两两互质。只用有限个质数明显不能得到无穷多个两两互质的数，于是我们立即可知质数必然有无穷多个。今天，我们将证明两个比质数无穷多更强的定理。这两个证明都出自Proofs from THE BOOK的第一章。

    定义函数π(x)为“小于等于x的质数有多少个”。无妨规定x为一个正整数。我们将用初等微积分方法证明当x趋于无穷时π(x)也趋于无穷并给出π(x)的一个下界。我们将说明，对于所有x，π(x)>=log(x)-1，即x以内的质数至少有log(x)-1个。
    为了说明这一点，让我们考虑所有不超过x的质数的倒数的等比级数(1 + 1/p + 1/p^2 + ..)的乘积，即。
    回忆等比级数的公式，则我们有：

    第二行的一些变换非常巧妙。第二行中间的不等号是一个关键，用到了一个基本事实：第k个质数显然比k大。最后的连乘中前一项的分子和后一项的分母正好抵消，最后消完了就只剩了一个π(x)+1。
    另一方面，想像一下把(1+1/2+1/4+...)(1+1/3+1/9+...)(1+1/5+1/25+...)...展开的样子，很显然展开后的每一项都是一个所有质因子都不大于x的数的倒数，即Σ(1/m)，其中m取所有仅含1..x范围内的质因子的数。显然，原本就比x小的数，其质因子当然不可能超过x，这就是说从1到x的所有正整数都是属于m的。利用一些微积分的基本知识，我们可以立即得出Σ(1/m) >= 1+1/2+1/3+...+1/x >= log(x)。地球人都知道，log(x)是没有上界的，于是质数的个数也没有上界。
    这里还有一个类似的问题，大家可以对照着看看。

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    今天，我们将从一系列公理开始，从自然数的产生一直说到实数理论的完善。你或许会对数学的“科学性”有一个新的认识。注意，本文的很大一部分内容并非直接来源《什么是数学》，这篇文章可以看作是《什么是数学》中有关章节的一个扩展。

    自然数是数学界中最自然的数，它用来描述物体的个数，再抽象一些就是集合的元素个数。在人类文明的最早期，人们就已经很自然地用到了自然数。可以说，自然数是天然产生的，其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。数学家Kronecker曾说过，上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)
    随着一些数学理论的发展，我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。从逻辑上看，到底什么是自然数呢？历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。数学家Giuseppe Peano提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理，称为Peano公理。Peano公理认为，自然数是一堆满足以下五个条件的符号：
   1. 0是一个自然数；
   2. 每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；
   3. 不存在后继为0的自然数；
   4. 不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b)；
   5. 如果一个自然数集合S包含0，并且集合中每一个数的后继仍在集合S中，则所有自然数都在集合S中。（这保证了数学归纳法的正确性）

    形象地说，这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。
    自然数的加法和乘法可以简单地使用递归的方法来定义，即对任意一个自然数a，有：
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
a · 0 = 0
a · S(b) = a + (a·b)

    其它运算可以借助加法和乘法来定义。例如，减法就是加法的逆运算，除法就是乘法的逆运算，“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。交换律、结合率和分配率这几个基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。
    Peano公理提出后，多数人认为这足以定义出自然数的运算，但Poincaré等人却开始质疑Peano算术体系的相容性：是否有可能从这些定义出发，经过一系列严格的数学推导，最后得出0=1之类的荒谬结论？如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题，我们就说这个公理体系是不相容的。Hilbert的23个问题中的第二个问题就是问，能否证明Peano算术体系是相容的。这个问题至今仍有争议。

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    期中告一段落。除了下下星期要交的现文史论文以外，最近似乎又清闲了不少，又有功夫在这里写点东西了。当然，我宝贵的时间也没有荒废在论文、作业和考试上。几乎每一堂古汉课和现文史课我都在读《什么是数学》，进度算是相当快了。这可能是我近几年读的所有书中给我带来的收获最大的一本。最近好几个人问我，有什么牛B一点的数学书没。我毫不犹豫地脱口而出，《什么是数学》。如果我要去一个荒岛上，只能带三本书，我会选择《算法导论》、《组合数学》和《什么是数学》。如果叫我舍弃一样，我估计会扔掉《组合数学》。如果还得再丢弃一本，我只好忍痛丢下《算法导论》了。
    读《什么是数学》的收获太多了。在这里，我只更新一些我原来不知道，又很有趣的东西。如果你希望迅速对此书有一个全面的了解，千万不要错过dd牛的《什么是数学》笔记。

    阅读《什么是数学》的前面几章时，你经常会跟随着书中的文字重新看待一个显而易见的结论，然后对这个结论有了一个全新的认识。比如，书中曾提到，为什么数学归纳法是合理的？我已经知道n=1时结论成立，也知道若n=k成立则n=k+1结论也成立，那么对于任意一个给定的正整数t，n=t时的结论是成立的，因为经过有限次迭代后最终我们总可以到达n=t的情况。但是，为什么我们敢断言对所有这无穷多个n，结论都是成立的？显然，你不能说“我们可以迭代无穷多次”，一个有限的证明过程当然不允许有无限多个步骤。因此，为了说明对于所有正整数n结论都成立，我们不得不使用反证法把“无穷”变成“有穷”。我们假设对于某些n，这个结论是不成立的。那么，这里面一定存在一个最小的数p，它使得结论不成立。由于我们已知n=1时结论成立，因此p一定是大于1的。但n=p是“最早”使结论不成立的情形，因此n=p-1时结论一定为真。这就与我们已知的第二个条件“若n=k成立则n=k+1结论也成立”矛盾了。因此我们说，对于所有正整数n，结论都是成立的。
    这个推理过程中用到了另一个显而易见的结论：对于一个非空的正整数集C，C中一定存在一个最小的元素。这又是为什么呢？你可能会说，废话，把所有元素拿出来两个两个的比，一定能比出一个最小的数来。这种说法是错误的。注意到集合C有可能有无穷多个元素，你是比不完的。为了更清晰地认识这个结论，我们只需要注意到，如果把条件换成“有理数集C”或者“实数集C”，结论就不再成立了，因为集合{1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}显然不存在一个最小的数。可以看到，上述结论是否成立是和数的稠密性紧紧相关的。事实上，为了说明正整数集C中存在最小元素，我们任意从集合中取出一个元素n，那么1, 2, ..., n这有限多个数当中一定存在一个最小的数，它在这个集合C中。它就是整个集合的最小数。对于稠密的有理数点和实数点，这个证明显然不再适用。
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