Which Way Did the Bicycle Go 趣题选(上)

    我找到了这道经典智力题的出处。它似乎来源于一本叫做 Which Way Did the Bicycle Go 的书。这本书又是一本超赞的趣题集,里面有很多我没有见过的趣题妙解。我找到了这本书的电子版,并且传到了自己网站上,与大家分享一下。大家可以点击这里下载。阅读器可以在这里找到。

    我整理出了个人认为比较精彩的题目。如果你没有时间翻遍整本书的话,看看我精选出的这些题目也是一个不错的选择。

 

1. 给定 △ABC ,对于平面上的任意一点 X ,它属于点集 S 当且仅当线段 BC 上存在一点 D 使得 △ADX 是等边三角形。点集 S 是什么样子的?

 

答案:两条线段,它由线段 BC 绕 A 点顺时针或逆时针旋转 60 度而得。这是因为,给定 A 点和 X 点,则 D 点的位置可以由 X 点绕 A 旋转 60 度得到的。既然 D 点在 BC 上,那么显然 X 点就应该在 BC 绕 A 旋转 60 度得到的线段上。

  


 
 

2. 能否把一个正方形分割成 7 个等腰直角三角形,其中任意两个三角形都不全等?

 

答案:能。如图。

  

 
 

3. 能否把一个等边三角形分成五个等腰三角形,使得
    (1) 五个三角形都不是等边三角形?
    (2) 恰有一个三角形是等边三角形?
    (3) 恰有两个三角形是等边三角形?

 

答案:都可以。如图。

  

 
 

4. △ABC 中, AB=AC , ∠A=20° 。 P 在 AB 上,满足 AP=BC 。求 ∠ACP 。

  

 

答案:把 △ABC 翻折两次,得到 △ACD 、 △ADE 。在 AE 边上截取 AQ 使得 AQ=AP 。显然 △APQ 为等边三角形,因此 AP = PQ = CD 。另外,由 SAS 可得 △APC 与 △AQD 全等,因此 PC=QD ,四边形 PQDC 是平行四边形。由全等还可得 ∠APC=∠AQD ,由此可知 ∠1=∠2 。也就是说,四边形 PQDC 事实上是一个矩形。因此, ∠ACP = ∠ADQ = 90° – ∠ADC = 10°。

  

 
 

5. △ABC 中, M 为 AB 边的中点。以 AC 为边向外作正六边形, P 为其中心;以 BC 为边向外作正三角形, Q 为其中心。证明: ∠PMQ 为直角。

  

 

答案:把整个图形绕 M 点旋转 180 度,则四边形 PQP’Q’ 是平行四边形。下面我们证明两个阴影三角形全等。显然 CP=BP’ ,且 CQ=BQ 。另外,记 △ABC 的三个角分别为 α 、 β 、 γ ,则 ∠PCQ = 360° – 60° – 30° – γ = 270° – (180° – α – β) = 90° + α + β = 60° + α + β + 30° = ∠P’BQ ,于是 △PCQ≌△P’BQ 。因此, PQ=QP’ ,四边形 PQP’Q’ 是菱形,它的两条对角线互相垂直。

  

 
 

6. △ABC 中, AD 是角平分线, M 是 BC 的中点。过 M 作 AD 的平行线,与 AB 交于点 N 。求证 MN 平分 △ABC 的周长。

  

 

答案:过 C 作 MN 的平行线,与 BA 的延长线交于 E 。易证 AC=AE ,所以 △ABC 的周长就等于 BC+BE 。只需注意到 MN 是 △BCE 的中位线,问题即得证。

  

 
 

7. 五个圆依次相切,它们又都相切于两条不平行的直线。如果最左边那个圆的半径为 4 ,最右边那个圆的半径为 9 ,求中间那个圆的半径。

  

 

答案: 6 。下面我们说明,五个圆的半径成等比数列。把五个圆从小到大依次记作 C1 、 C2 、 C3 、 C4 、 C5 ,把两条直线的交点记为 P 。把 C1 、 C2 的圆心到 P 的距离分别记作 P1 、 P2 。现在,把整个图以 P 为中心缩小到原来的 P1/P2 ,则两条直线还在原来的位置,但是 C2 现在占据了 C1 的位置。另外,由于所有相切关系都不变,因此新的 C3 就是原来的 C2 ,新的 C4 就是原来的 C3 ,新的 C5 就是原来的 C4 。这就说明,每个 Ci 缩小到原来的 P1/P2 就和 Ci-1 重合,也就是说每两个相邻圆的半径之比为 P1/P2

 
 

8. 给定一条直线和直线外一点 P ,再给出直线上一点 O ,以及一个以 O 为圆心的圆。如何只用一个没有刻度的直尺作出已知直线过 P 点的垂线?

  

 

答案:连接 AP ,与圆交于 Q ;延长 PB ,与圆交于 R 。则 AR 、 QB 的延长线的交点 X 就满足 PX⊥l 。这是因为在 △APX 中, QX 和 PR 都是三角形的高,说明点 B 是三角形的垂心,自然就有 PX⊥l 了。

  

 
 

9. 证明:把一个正 400 边形剖分为平行四边形,则其中至少有 100 个矩形。

 

答案:假设这个正 400 边形的底边是一条水平线段。显然,我们可以从最上面的边出发,穿过一个个平行四边形,一路走到最下面的边,使得路上经过的线段都是水平线段;类似地,正 400 边形的最左端到最右端也有这么一条通路,路上经过的每条边都是竖直线段。但这两条路径显然有一个交点,这个交点所在的四边形显然就是矩形。这个操作可以在该正 400 边形的不同方向上进行 100 次,因此我们能找出 100 个朝向不同的矩形。

 
 

10. 图中所示的是一种用不相交线段覆盖四边形中每一个点(包括边界上的点)的方法,其中每条线段的长度都不为 0 。是否有可能
    (1) 用长度都不为 0 的不相交线段覆盖一个三角形中的每一个点?
    (2) 用长度都不为 0 的不相交线段覆盖一个圆里的每一个点?

  

 

答案:都是可以的。如图。

  

 
 

11. 给定任意四边形 ABCD 和四边形外一点 O 。把 AB 平移到 OA’ ,把 BC 平移到 OB’ ,把 CD 平移到 OC’ ,把 DA 平移到 OD’ 。求两个四边形的面积之比。

  

 

答案:倍长 BC 到 E ,于是三角形 (1) 和 (2) 面积相同。而显然三角形 (2) 和 (3) 全等,因此 (1) 和 (3) 面积相同。同理可知,右边这个四边形中的四个三角形事实上分别与 △ABC 、 △BCD 、 △CDA 、 △DAB 等积,因此右边这个四边形的面积是左边的两倍。

  

 
 

12. 图中的四个点之间一共有 6 条线段,它们满足:有一种长度恰好出现 1 次,有一种长度恰好出现 2 次,有一种长度恰好出现 3 次。是否存在平面上的五个点,它们之间的 10 条线段满足有一种长度恰好出现 1 次,有一种长度恰好出现 2 次,有一种长度恰好出现 3 次,有一种长度恰好出现 4 次?

  

 

答案:是的。下图是一个简单的构造: △ABC 为等边三角形, O 为其中心。以 A 为圆心, AB 为半径作弧, OB 的中垂线与这段弧相交于点 D 。则这五个点满足要求。

  

受很多与维度有关的几何命题的影响,或许很多人认为五个点已经是最多了吧。其实不是。现在已经发现了一些 n=6 、 n=7 甚至 n=8 的构造。下图显示的就是一个 n=8 的构造,构造出这玩意儿的人简直是太牛 B 了。

  

 
 

13. 如图,四边形房间内有一光源,它照亮了大部分区域,只有其中两面墙有阴影部分。是否存在这样的多边形房间,把光源放在房间里的某个位置后,能够让每一面墙都有阴影部分?

  

 

答案:有。如图。

  

 

22 条评论

发表评论