又一种证明素数无穷多的方法

    今天又学到一种证明素数无穷多的方法。它是由 Filip Saidak 发现的,论文曾发表在 2006 年的 The American Mathematical Monthly 上。

    首先注意到,两个相邻自然数一定是互质的(否则,假设它们有大于 1 的公因数 k ,则它们的差也能被 k 整除,这显然是不可能的)。现在,取一个自然数 n > 1 。由于 n 和 n + 1 是相邻自然数,因此 n 和 n + 1 是互质的。也就是说,n 的质因数和 n + 1 的质因数完全没有重合,因而 n(n + 1) 至少有两个不同的质因数。类似地,由于 n(n + 1) 和 n(n + 1) +1 是相邻自然数,因此它们是互质的,这说明 n(n + 1) 和 n(n + 1) +1 没有相同的质因数,也就是说 (n(n + 1))(n(n + 1) +1) 至少有三个不同的质因数。我们可以无限地这样推下去,从而得出,素数必然是无穷多的。


来源:http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/Saidak.html

素数无穷多的证明方法:
用 Fermat 数和 * – 集合证明素数无穷多
素数无穷多的拓扑学证明
用信息熵证明素数无穷多
利用阶乘因子数公式证明素数无穷多
素数无穷多与两个更强的命题

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