经典证明:素数无穷多的拓扑学证明

    去年就看过Proofs from THE BOOK第一章中的素数无穷多的拓扑学证明,不过当时似乎并没有看懂。今天看到cut-the-knot的一篇新文章,又把Proofs from THE BOOK拿出来翻了一下,终于看明白了,果然是一个令人拍案叫绝的经典证明,可谓又一神来之笔。

    定义N(a,b) = {a + nb| n∈Z},例如N(1,3)就等于{…, -5, -2, 1, 4, 7, …}。每一个N(a,b)实质上都是一个以b为公差的“双向无限等差数列”。我们说整数集Z上的一个子集S是开的,如果集合S为空,或者对于任意一个a∈S,总能找到一个b>0使得N(a,b)⊆S。形象地说,开集的意思就是,集合中的每一个元素都能在集合内扩展出一个无限长的双向等差数列。我们又称一个集合S是闭的,如果它是某个开集的补集。
    显然,有限个开集的并集仍然是开集。
    假设S_1和S_2都是开集,如果a∈S_1∩S_2,并且N(a,b1)⊆S_1,N(a,b2)⊆S_2,那么S_1∩S_2中有一个公差为b1*b2的含a的双向无限等差数列,也即a∈N(a, b1*b2)⊆S_1∩S_2。这说明,有限个开集的交集仍然是开集。
    再假设C_1和C_2都是闭集。由De Morgan定律,C_1和C_2的并集就相等于它们各自的补集相交后再取补集,由定义可知它们的补集都是开集,而由上面的结论可知开集的交集仍是开集。于是,C_1和C_2的并集是某个开集的补集,这说明闭集的并仍然是闭集。类似地,闭集的交集相当于补集的并集的补集,它也仍然是闭的。

    还有两点值得引起我们注意:
    1. 任意非空开集都是无穷的。这由定义可以直接看出来。
    2. 任一双向无限等差数列N(a,b)既是开集又是闭集。由定义可知N(a,b)是开集,而同时N(a,b)又可以看作是N(a+1,b)∪N(a+2,b)∪N(a+3,b)∪…∪N(a+b-1,b)的补集,这是有限个开集的并集的补集,说明N(a,b)也是闭集。


    好了,准备工作完成,下面我们开始证明素数是无穷多的。除了1和-1以外,每一个整数都有至少一个素因子,因此它们都包含在∪N(0,p)中(其中p取遍所有的素数)。把全体素数的集合记为P,于是我们有:

    Z {1, -1} = ∪N(0,p), p∈P

    现在,假如素数集合P是有限的,那么等式右边就是有限个闭集的并,它仍然是闭集;这样的话,它的补集{1, -1}就应该一个开集。然而,一个开集要么是空的,要么就是无穷的,这与{1, -1}是开集矛盾。

    除去最经典的Euclid证明,我们还讲了至少四种证明素数无穷多的办法(见282539)。但是,本文介绍的证明感觉非常奇怪,和其它几个证明方法都不太一样。我也说不出是哪点不太一样。估计是因为这个证明给人这样一种感觉:素数的定义和性质还没被挖掘充分,结论就已经被证到了。大家有这样的感觉吗?

24 条评论

  • 小精灵

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  • Phil

    好像有个把所有”已知”质数乘起来加1的方法.

  • NULL

    LS所述就是最经典的欧几里得提出的证明方法

  • 严酷的魔王

    这个证明我喜欢~!

  • KC

    又见Matrix67大牛

  • ynifbs215

    我觉得这个证明还是用到了素数最本质的定义了
    它利用素数生成了整数Z/{1,-1}
    而且它还默认了1不是素数
    如果1是素数的话….
    而且我觉得这里面“有限”这个概念重要啊~

  • Fox

    除了1和-1以外,每一个整数都有至少一个素因子
    个人认为:
    这句话是由素数的定义出发才能的到的结论,因此一经用到了素数的定义和性质

  • 陈豪俊

    Z {1, -1} = ∪N(0,p), p∈P
    同意楼上的观点,这一句已经把素数的定义体现得淋漓尽致了

  • 笨笨

    请教一个问题。

    N(a,b) = {a+nb| n∈Z}
    当a=0, b=1 的时候,
    N(0,1) = {0+n*1| n∈Z} = {n| n∈Z}
    N(0,1)是开集。
    N(0,1)的补集,是空集Φ。
    另, 开集的补集是闭集。则空集Φ为闭集。
    这与之前的定义,空集Φ为开集矛盾。

    这个思路里面哪里出错了吗?

    • 苏通

      没有错,在一般拓扑空间X中,有两个集合,它总是既开又闭的子集,这两个集合分别是全集X和空集∅

  • 笨笨

    看到了后面的第二条。
    {{{
    2. 任一双向无限等差数列N(a,b)既是开集又是闭集。由定义可知N(a,b)是开集,而同时N(a,b)又可以看作是 N(a+1,b)∪N(a+2,b)∪N(a+3,b)∪…∪N(a+b-1,b)的补集,这是有限个开集的并集的补集,说明N(a,b)也是闭集。
    }}}

    这么说N(a,b)既是开集也是闭集。就没有刚才说的问题了。

    另外,能给举一个例子说明,一个开集,它的补集不是开集吗?

  • 静夜听雨

    所有素数加上1和-1,就是一个闭集,并且不是开集。

    不过我的问题是:为什么无限个闭集的并就不是闭集了呢?

  • 静夜听雨

    所有素数加上1和-1,就是一个闭集,并且不是开集。

    不过我的问题是:为什么无限个闭集的并就不是闭集了呢?

  • 静夜听雨

    不好意思,发重了

  • WJMZBMR

    这个很NB阿。。
    但跟拓扑学有关系么。。
    就是集合论阿。。。

  • 万毒狂魔

    在证明有限个开集的交集仍然是开集时用到了Z是主理想整环这一点。构造出这么一个拓扑空间却只用来证明这么一条简单的定理我总觉得有点大材小用。

  • cervelo

    所有素数加上1和-1,就是一个闭集,并且不是开集。

  • qirenrui

    奇葩的东西,本质是什么

  • Welkin1990

    我理解这是依据筛法,认定素数集能生成整数集,然后就转而研究整数集的性质,证明它不能被有限素数集生成。证明过程中,整数集是主角,素数的戏份被压到最小,这和其他证法有显著差别。所以给人感觉好像没怎么用到它。

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