A Midsummer Knot’s Dream 简直可以说是去年学术界的一篇奇文，大家点进去看看就知道了。论文里讲了一个基于纽结理论的双人对弈游戏，名字也非常有艺术感： To Knot or Not to Knot 。这个游戏可能是最难的组合游戏了，它的数学性极强，思考难度非常大，甚至比 ERGO 更不容易上手。一场游戏下来，究竟谁赢谁输可能都不好判断。

    To Knot or Not to Knot 的游戏规则非常简单。用铅笔在纸上画一个封闭的、可以自相交的回路，然后 A 、 B 两人轮流在图形中选取一个尚未被处理过的交叉点，并用橡皮擦对图形进行“细化”，明确两根线条的位置关系（可以抛掷硬币决定谁先行动）。A 的目的是要让最终的图形变成一个结，而 B 的目的则是避免图形打结。下面是其中一种可能的游戏过程，双方约定 B 先走。两人轮流对交叉点进行细化，七步之后，整个图形并未打结（你能看出来吗）， B 获得胜利。

    注意，这是一个决策透明、信息公开的游戏，并且游戏不可能有平局产生。因此，即使双方都使出最佳策略，也必然有一个人会赢有一个人会输。也就是说，任意给定一个初始状态，总有一方有必胜的策略。不过，难就难在，究竟谁有必胜策略，必胜策略是什么，这并不容易判断。让我们来做一个练习题吧：下面的图形中，如果 A 先走，B 后走，谁有必胜策略？如果 B 先走，A 后走呢？记住，A 的任务是要让最终的图形打成结，而 B 的任务则是避免图形打结。

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    把画框悬挂在钉子上，总是给人一种很不安全的感觉，如果钉子掉了的话，画框也会重重地砸在地上。像上图那样，把画框挂在两颗钉子上，看上去可就安全得多了——如果有一颗钉子掉了的话，画框仍然能够悬挂在另一颗钉子上，就好像上了双保险一样。
    今天，我们要考大家一个完全相反的蛋疼问题——如何把画框挂在两颗钉子上，使得去掉任意一颗钉子，画框都会掉下去？

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    在继续探索多边形内接图形问题之前，我们先来看一个看似无关的趣题。从水平线上的一点起笔，在这条水平线上方随意画一条折线段，最后回到水平线上（如下图）。把这个折线段想象成一座座山峰。我们以最高峰所在位置为界把整座山分成左右两部分。现在，假设有一对相恋的登山者，一个站在最左侧的山脚出（即点 0 处），一个站在最右侧山脚处（即点 0' 处）。这两个人将同时从山脚出发，同时到达山顶，并且保证在此过程中他们俩总处于同一海拔高度。不管这座山是什么形状，这种浪漫的想法总可以实现吗？

    注意，在登山的过程中，登山者可以为了照顾对方而走回头路。例如，对于图中所示的小山，两个人可以按照下列方法实现同步登山。左右两个人的路线分别为：

0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 5 → 4 → 3 → 2 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7
0'→ 1'→ 2'→ 3'→ 2'→ 3'→ 4'→ 5'→ 6'→ 5'→ 6'→ 7'→ 8'→ 9'→ 8'→ 9'→ 10'→ 11'

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    当我们进一步考虑内接菱形时，情况有了一些变化——证明任意多边形内均存在内接菱形没有前几个问题那么容易了。但我们可以轻易证明一个弱化版的命题：任意凸多边形内均存在内接菱形。下面将给出这个命题的两种不同的证明，它们都相当经典。

    证明 1 ：考虑凸多边形内的一条水平线段由上至下扫过，这条线段的中点所形成的轨迹就是一条连接凸多边形最顶端与最底端的折线段。类似地，考虑一条从左至右移动的竖直线段，它的中点就构成了从凸多边形最左端到最右端的连线。显然，这两条连线会有一个交点，也就是说我们找到了两条互相垂直且中点重合的线段，它们对应的四个端点显然就是一个菱形的四个顶点。

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    紧接着，我们想问：是否任意一个多边形内都能找到内接矩形呢？有意思的是，答案也是肯定的。但此时，前一节我们用到的两种证明方法现在都派不上用场了，我们需要用到一些全新的手段。下面这个证明真可谓是巧妙到了诡异的地步，真不知是谁想出来的。

    对于多边形边界上的任意两点 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) ，作出它们在三维空间中所对应的点 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, √(x1-x2)^2+(y1-y2)^2) 。换句话说，把多边形放在水平面 z=0 上，对于多边形上的每一组无序点对 A 、 B ，在线段 AB 中点的正上方 |AB| 处作一个点。再把这个多边形本身加进去，我们就得到了一个三维空间中的封闭曲面。

    可以看到，图中所示的例子中，这个曲面与自身相交了。这就表明，存在多边形边界上的两组点对 A 、 B 和 C 、 D ，它们满足线段 AB 和 CD 的中点重合，并且两线段一样长。这样，四边形 ABCD 就是多边形的一个内接矩形了。下面我们将说明，这个曲面一定会与自身相交。

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（拜托转载时请用红色加粗字体标明，这是我古今数学思想课的期中论文，免得老师以为我是反过来抄的网上的文章。这门通选课的期中论文要求写数学与自己所在专业之间的联系。）

    我们每天都在说话，每天都在用语言进行交流。语言文字对我们是如此的平常，以至于绝大多数人都不会注意到语言中一些非常难以解释的现象。昨天的汉语虚词研究课上，我们就谈到了这样一个有趣的问题：在表示“仅仅”的含义时，什么时候能够用“只”，什么时候能够用“光”？若不细想的话，大家或许会认为两者的用法完全一样。“我只吃苹果”可以说成“我光吃苹果”，“光有知识还不行”也可以说成是“只有知识还不行”。我们还可以举出更多的例子来，如“别光坐着”/“别只坐着”，“光说不做”/“只说不做”等等。凭借天生的归纳性思维，一个正常人有充分的理由猜想，在表示“仅仅”的含义时，“只”和“光”是通用的。而事实上，现代汉语词典中正是把“光”字解释为“只”。有趣的是，在我们质疑只找了四个例子是否足以说明二者等价时，殊不知这句质疑本身就成了一个反例：“只找了四个例子”不能换成“光找了四个例子”。类似地，“大会只来了748个人”也不能说“大会光来了748个人”。我们继续猜想，是不是“光”不能用在数量词前面呢？也不见得。当数量词不是实指而是虚指时，我们有时也能用“光”来修饰带有数量词的名词。例如，在表示“只吃几个苹果”、“只吃一些苹果”的意义时，“光吃两个苹果”的说法是很顺口的。另一些例子则表明，“光”的用法似乎与它所修饰的名词无关。“我只当到团长”不能说成是“我光当到团长”，但怪就怪在“我只认识团长”却又偏偏可以说成是“我光认识团长”。“当到团长”和“认识团长”有什么不同呢？仔细揣摩两者的意思，我们似乎体会到了一些微妙的差别：“当到团长”是一个阶段性的、进度性的、里程碑性的概念，它必须事先经过“当到连长”、“当到营长”等事件；但“认识团长”就不一样了，没有任何规定限制我们在“认识团长”之前必须“认识连长”。同样的，“找出四个例子”是以“找了三个例子”为前提的，“来了748个人”也不是一下子就能实现的。

    问题算是想通了，但怎么来阐述它呢？在这个问题上，语言学陷入了一个困境。此时，引入数理逻辑语言对于解释这种语言现象出乎意料的方便。我们说，在副词“只”修饰的事件所处的“域”中如果存在蕴含关系，则这里的“只”不能用“光”来替代。例如，提起“吃两个苹果”，我们脑海中形成的事件集合一定是“吃一个苹果”、“吃两个苹果”、“吃三个苹果”等等，而后者必然蕴含前者，因此“只吃两个苹果”不能说成“光吃两个苹果”。类似的，“当到团长”必然推出“当到连长”，但有“认识团长”不见得有“认识连长”，因此两者与“只”和“光”的搭配情况是不同的。

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    去年就看过Proofs from THE BOOK第一章中的素数无穷多的拓扑学证明，不过当时似乎并没有看懂。今天看到cut-the-knot的一篇新文章，又把Proofs from THE BOOK拿出来翻了一下，终于看明白了，果然是一个令人拍案叫绝的经典证明，可谓又一神来之笔。

    定义N(a,b) = {a + nb| n∈Z}，例如N(1,3)就等于{..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}。每一个N(a,b)实质上都是一个以b为公差的“双向无限等差数列”。我们说整数集Z上的一个子集S是开的，如果集合S为空，或者对于任意一个a∈S，总能找到一个b>0使得N(a,b)⊆S。形象地说，开集的意思就是，集合中的每一个元素都能在集合内扩展出一个无限长的双向等差数列。我们又称一个集合S是闭的，如果它是某个开集的补集。
    显然，有限个开集的并集仍然是开集。
    假设S_1和S_2都是开集，如果a∈S_1∩S_2，并且N(a,b1)⊆S_1，N(a,b2)⊆S_2，那么S_1∩S_2中有一个公差为b1*b2的含a的双向无限等差数列，也即a∈N(a, b1*b2)⊆S_1∩S_2。这说明，有限个开集的交集仍然是开集。
    再假设C_1和C_2都是闭集。由De Morgan定律，C_1和C_2的并集就相等于它们各自的补集相交后再取补集，由定义可知它们的补集都是开集，而由上面的结论可知开集的交集仍是开集。于是，C_1和C_2的并集是某个开集的补集，这说明闭集的并仍然是闭集。类似地，闭集的交集相当于补集的并集的补集，它也仍然是闭的。

    还有两点值得引起我们注意：
    1. 任意非空开集都是无穷的。这由定义可以直接看出来。
    2. 任一双向无限等差数列N(a,b)既是开集又是闭集。由定义可知N(a,b)是开集，而同时N(a,b)又可以看作是N(a+1,b)∪N(a+2,b)∪N(a+3,b)∪...∪N(a+b-1,b)的补集，这是有限个开集的并集的补集，说明N(a,b)也是闭集。

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