今天见到一种看上去很帅的质数筛选法。在平面直角坐标系上画出抛物线 y = x2 的图像，然后标出抛物线上的所有格点（两坐标均为整数的点）。其中，只有点 (0, 0) 正好在 y 轴上，其余的点要么在 y 轴左侧，要么在 y 轴右侧。把 y 轴左侧除了 (-1, 1) 以外的所有格点与 y 轴右侧除了 (1, 1) 以外的所有格点相连，这些连线将自动避开 y 轴上纵坐标为质数的点。连接足够多的线条之后，质数就逐渐露了出来。
这是因为， (-a, a2) 和 (b, b2) 的连线将经过 (0, a · b) ，这可以通过计算斜率的方法得到验证。这个颇具创意的质数筛选法叫做 visual sieve ，它是由 Yuri Matiyasevich 和 Boris Stechkin 提出的。
查看更多：
http://plus.maths.org/content/catching-primes
http://www.mathteacherctk.com/blog/2011/10/the-parabolic-sieve-of-prime-numbers/
一个小学奥数老师给我讲了一道小学奥数题，这是他在上课时遇到的：从 1 到 4000 中，各位数字之和能被 4 整除的有多少个？
注意，问题可能没有你想的那么简单，满足要求的数分布得并没有那么规则。 1 、 2 、 3 、 4 里有一个满足要求的数， 5 、 6 、 7 、 8 里也有一个满足要求的数，但是 9 、 10 、 11 、 12 里就没有了。
尽管如此，这个问题仍然有一个秒杀解。你能多快想到？
今天又学到一种证明素数无穷多的方法。它是由 Filip Saidak 发现的，论文曾发表在 2006 年的 The American Mathematical Monthly 上。
首先注意到，两个相邻自然数一定是互质的（否则，假设它们有大于 1 的公因数 k ，则它们的差也能被 k 整除，这显然是不可能的）。现在，取一个自然数 n > 1 。由于 n 和 n + 1 是相邻自然数，因此 n 和 n + 1 是互质的。也就是说，n 的质因数和 n + 1 的质因数完全没有重合，因而 n(n + 1) 至少有两个不同的质因数。类似地，由于 n(n + 1) 和 n(n + 1) +1 是相邻自然数，因此它们是互质的，这说明 n(n + 1) 和 n(n + 1) +1 没有相同的质因数，也就是说 (n(n + 1))(n(n + 1) +1) 至少有三个不同的质因数。我们可以无限地这样推下去，从而得出，素数必然是无穷多的。
数学猜想并不总是对的，错误的数学猜想不占少数。关键在于，有时反例太大，找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多“大反例”的例子，里面提到的规律看上去非常诱人，要试到相当大的数时才会出现第一个反例。
千万不要迷信规律
圆上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？
上图显示的就是 n 分别为 2 、 3 、 4 的情况。可以看到，圆分别被划分成了 2 块、 4 块、 8 块。规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。
14. 有意思的是，在数学历史上，一些很简单的结论竟然几百年来都未曾发现。直到 1977 年， Paul Erdős 和 George Szekeres 才发现，除了两头的 1 以外，杨辉三角同一行内的任意两个数都有公因数。证明这个结论。
答案：只需要注意到， a 乘以一个比 b 小的数之后还能成为 b 的倍数，这说明 a 和 b 一定有公因数。不妨设 0 < i < j < n ，则 C(j, i) < C(n, i) 。我们的命题可以由下述关系直接推出。
C(n, j) · C(j, i)
= n! / (j! (n - j)!) · j! / (i! (j - i)!)
= n! / (i! (n - j)! (j - i)!)
= n! / (i! (n - i)!) · (n - i)! / ((j - i)! (n - j)!)
= C(n, i) · C(n-i, j-i)
心电图数列 (EKG Sequence) 的定义简单而有趣：第一项为 1 ，第二项为 2 ，以后的每一项都是最小的和前一项不互质并且不曾出现过的数。换句话说，数列 a(1)=1 ， a(2)=2 ，且当 n>2 时取 a(n) 为所有满足以下两个条件的数中最小的那一个：该数与 a(n-1) 有大于 1 的公约数，并且该数与前面 n-1 项都不相等。心电图数列的前面 20 项为
1, 2, 4, 6, 3, 9, 12, 8, 10, 5, 15, 18, 14, 7, 21, 24, 16, 20, 22, 11 ...
为什么它叫做心电图数列呢？原因很简单——因为把它描绘在图象上时，看上去像一张心电图。
Matrix67 |
2011-11-05 22:49 | 
