空间想象能力挑战：立方体相邻面两对角线的最近距离？
icon2 Brain Storm | icon4 2009-09-30 0:39| icon337 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    最近在reddit上看到了这么一个有趣的问题：下图是一个单位立方体，黑色实线分别是立方体相邻两个面的两条对角线。你觉得这两条对角线之间的最短距离是多少？

   

    可以提前告诉你，答案不是√2/2。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    把立方体投影到一个平面上，使得其中一条对角线被映射成一个点。如图，平面上ABCD是一个矩形，其中EF=1，AE=1/√2。由勾股定理，AF=√3/√2。显然，后面那条对角线上的每个点到前面那条竖直对角线的距离都是与后者垂直的线段的长，它投射到平面上便成为了从E到AF的某条等长的线段。显然，这个距离的最小值便是E到AF的垂线段长，它等于1/√3。

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37 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2009-09-30 1:04 | 严酷的魔王 说：

    沙发~~

  • 楼层: 板凳 | 2009-09-30 1:50 | Fox 说：

    我觉得这到题目，如果考虑两个分别包含两条支线的平行平面之间的距离比较方便，在正方体里面自然就有了这两个平面，分别连接由一个定点发出的三条对角线的另外三个端点即可，然后再连接正方体的体对角线就可以比较快地看出来了

  • 楼层: 地毯 | 2009-09-30 8:08 | est 说：

    瀑布汗，这个是高中立体几何基础题啊。。。没回答√3/3的都回去重修！

  • 楼层: 地板 | 2009-09-30 8:46 | ivan 说：

    体对角线两端点，分别在两个四面体上，而这两个四面体的底面平行且三等分体对角线，题中的两异面线又分别在这俩底面上……

  • 楼层: 地下室 | 2009-09-30 10:45 | longmagic 说：

    两条直线在对方所在平面的投影是两个平面的交界线，从两条直线上取点往这条交界线（也就是第一幅图中的最近的那条棱）作垂直线，交与同一点，两条直接的距离就是刚刚所作两条垂线所组成的直角三角形的斜边长，而两条直角边的长度相加等于1，一个一元二次方程求最小值

  • 楼层: 地基 | 2009-09-30 12:58 | hooghoog 说：

    建立空间直角坐标系，然后用直线距离公式算就可以了
    这个的确是高二学生必须会做的基本题之一啊，国外的学生是不是都不学立体几何的啊

  • 楼层: 地壳 | 2009-09-30 15:00 | sss正和 说：

    第一条对角线为向量A，第二条对角线为向量B，连接两条对角线起点的向量为C（在两对角线上各任取一点皆可）。距离d即为C在AB公垂线上的投影。由几何意义可得d=|(AxB).C|/|AxB|=|[ABC]|/|AxB|=1/√3

  • 楼层: 地幔 | 2009-09-30 17:42 | pp 说：

    地板说得好。。。

  • 楼层: 地核 | 2009-09-30 18:15 | Магсн 说：

    寻找公垂线中……

  • 楼层: 10楼 | 2009-09-30 18:26 | 破破乐 说：

    这个题用体积法可以容易得出啊。

    易知两个对角线长为√2，成角为60度
    体积V=1/6*√2*√2*d*sin60
    其中d就是公垂线段长度、

  • 楼层: 11楼 | 2009-09-30 19:55 | dreamtale 说：

    公垂线就是体对角线

  • 楼层: 12楼 | 2009-09-30 20:08 | dreamtale 说：

    地壳的d=|(AxB).C|/|AxB|=|[ABC]|/|AxB|这步没看懂，我觉得应该直接是
    d=|(AxB).C|

  • 楼层: 12a楼 | 2009-09-30 20:40 | 高考完了 说：

    毕竟是没参加过高考的文科生

  • 楼层: 14楼 | 2009-09-30 20:55 | 混沌的云 说：

    我建立坐标系，解出来的。。。我是几何白痴。。。

  • 楼层: 15楼 | 2009-09-30 21:02 | A13 说：

    我真想杀了你。。。。。。。

  • 楼层: 16楼 | 2009-09-30 23:01 | Voldemort 说：

    M牛这次糗啦，呵呵

  • 楼层: 17楼 | 2009-09-30 23:28 | 忘言 说：

    有提供了一种接立体几何的思路

  • 楼层: 18楼 | 2009-10-01 0:52 | Ray 说：

    10楼啊
    难道文科生不学数学？ 什么文啊理啊的，你先靠边

  • 楼层: 19楼 | 2009-10-01 11:54 | Tweets that mention Matrix67: My Blog » Blog Archive » 空间想象能力挑战：立方体相邻面两对角线的最近距离？ -- Topsy.com 说：

    [...] This post was mentioned on Twitter by redkei and Alan J. Arch. Alan J. Arch said: 空间想象能力挑战：立方体相邻面两对角线的最近距离？ http://j.mp/yYrk0 不用这么麻烦，直接建立一个直角坐标系，把两条直线的方程写出来。然后建立一个两直线之间点的距离关系方程，然后求极值就出来了。 [...]

  • 楼层: 20楼 | 2009-10-01 12:31 | gnaggnoyil 说：

    下意识地反应:sqrt(3)/3……

  • 楼层: 21楼 | 2009-10-01 16:13 | lqp18_31 说：

    现在高中不要求异面直线距离了。。。所以我想了好久。。囧囧，数学差

  • 楼层: 22楼 | 2009-10-01 18:47 | estelle 说：

    此法，比向量解法高级。

  • 楼层: 23楼 | 2009-10-01 19:27 | estelle 说：

    此法，比向量解法高级

  • 楼层: 24楼 | 2009-10-02 11:51 | Phil 说：

    ... 高中异面直线距离还是要求的, 一般可能用等体积法之类的

  • 楼层: 25楼 | 2009-10-02 14:42 | 笨笨 说：

    哇咧咧……
    没想到呃……
    可以以投像来求……
    Orz

  • 楼层: 26楼 | 2009-10-05 20:59 | C Gang 说：

    Orz

  • 楼层: 27楼 | 2009-10-05 23:42 | HicroKee 说：

    这题好像高考时做过，作来个平行的辅助面，然后用向量算。

  • 楼层: 28楼 | 2009-10-06 14:33 | vêtements femmes 说：

    我最大怕数学和物理了

  • 楼层: 29楼 | 2009-10-07 10:18 | 阿飞 说：

    确实是高中的基础题，异面直线间的距离，空间向量法，公垂线法，转化为线面距离，面面距离，。。。

  • 楼层: 30楼 | 2009-10-07 14:58 | 消逝の永恒 说：

    呵呵，这个问题的答案很简单，其实解决的方法也不难的，把两个对角的三角形单独划出来，可以证明两个三角形的高线和高线穿过中间那个多边形的部分长度是相同的，高线和体对角线重合，所以就是体对角线的三分之一啊

  • 楼层: 31楼 | 2009-10-07 16:35 | 白左 说：

    点？。。。好思路

  • 楼层: 32楼 | 2009-10-07 20:06 | fan 说：

    直接转换成点到面（两条线移到一起的面）的距离就可以了，不用这么复杂吧

  • 楼层: 33楼 | 2009-10-12 1:22 | walkingp 说：

    这个觉得是你题目没有描述清楚到底是哪两根线的问题。

  • 楼层: 34楼 | 2009-10-19 0:04 | kangzj 说：

    高中数学中的简单题，应该是sqrt(3)/3吧

  • 楼层: 35楼 | 2009-10-25 14:52 | Tough Guy 说：

    这个方法很巧妙, 公垂线的投影一定是 E 与 AF间某一点 的连线,也就是E到AF的垂线, (因为在这条对角线的投影是一个点的时候，也就是这条对角线竖直的时候,公垂线是正投影的 )

  • 楼层: 36楼 | 2009-11-22 15:11 | qyjubriskxp 说：

    一条对角线l1向三个相互垂直的方向移动1个单位可以到达同一个公共平面，所求的距离即为l1到该平面的距离，考虑l1上某个点，其三次移动的轨迹加上公共平面的一部分构成的几何体正是边长为1正方体的一个角，该点到公共面的距离即为正方体体对角线的1/3

  • 楼层: 37楼 | 2010-02-20 20:56 | Henry Lansure 说：

    其实把两条线扩展成由平面对角线形成的两个平行平面上的三角形，一切都明了了。。。

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