最近几天碰到的几个有趣的问题

最近几天见到了几道零散的、不成系统的趣题,在这里合成一篇文章,与大家分享。

1. 证明:对任意正整数n,n^2+n+1一定不是完全平方数。

2. 说一个实数是可表达的,当且仅当它能用有限长的语句明确地描述出来,如2147483648可以说成是“二的三十一次方”,√2即为“平方后等于二的正实数”,π即为“圆的周长和直径之比”。问题是,是否存在一个不可表达的实数?

3. 一个人有两个小孩儿,其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少?

4. 无需积分,计算

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. 证明:对任意正整数n,n^2+n+1一定不是完全平方数。
答案:n^2+n+1大于n^2而小于(n+1)^2,位于两个相邻平方数之间,显然不可能是一个完全平方数。

2. 说一个实数是可表达的,当且仅当它能用有限长的语句明确地描述出来,如2147483648可以说成是“二的三十一次方”,√2即为“平方后等于二的正实数”,π即为“圆的周长和直径之比”。问题是,是否存在一个不可表达的实数?
答案:存在。因为有限长的字符串是可数的(按字符串的长度排序,长度相同则按字典序排),但实数集是不可数的。有趣的是,这个问题的证明一定是非构造性的。

3. 一个人有两个小孩儿,其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少?
答案:13/27。这是“已知有一个男孩儿,问另一个是男孩儿的概率”的加强版,是一个非常精彩的条件概率问题。它非常直观地告诉我们,事先提供更准确的信息能给概率带来怎样的变化。另一个有趣的问题见这里

4. 无需积分,计算
答案:显然。但是,我们有

于是立即可知,

51 条评论

  • dongdong

    第4题好像高数的练习册上就有吧

  • Ernest Hemingway

    第二题出错了!明显的!

  • cgy4ever

    第四个在推导交流电电压有效值的时候会用到这种解法~
    当然,那时连积分号我们都不理解.

  • SixSheep

    第二题有些缺德,不可能通过描述这个数来实现。这问题是否涉及不完备性?

  • F.E.

    实数表达那个……
    我想到了那个【不能用二十个以内汉字表达的最小自然数】……

  • F.E.

    呃……还有……
    【字典序】这个概念……如果我们可以取【任意符号】(无限多种)作为一个【字母】进行表达的话……【字典】也是不可数的了……

  • bahcer

    第二题貌似是一个悖论

  • poulain

    13/27是为什么呢

  • fi0fa

    第三题看不懂,能解释下吗

  • Yann

    13/27=(7+6)/(7+7+7+6)

  • Exile_oi

    @FE
    说一个集合“可数”的意思是,它的元素可以和自然数一一对应。无限也可以可数。不管你的符号再怎么多(就算通过某种方法构造出无限个符号),它还是可以和自然数一一对应的……

  • Perry

    3,貌似看不出来第一个人生于星期几或是男是女对另一个有任何影响?为什么是条件概率?
    怀疑出处是英文的这里翻译时有问题

  • Phil

    … 呃, 第二题的那个”有限”的限定是不是本来就是无限的呢?

  • lvrixp

    为什么是13/27=(7+6)/(7+7+7+6)啊???

  • Yann

    已知有一个男孩儿,问另一个是男孩儿的概率
    如果知道这个问题的答案是1/3
    那就离13/27的结果不远了

    重点是,题目中的题干是“另一个”,而不是“第二个”

  • Sevenk

    全见过……

  • F.E.

    @Exile_oi
    如果符号可以无限构造的话,大概可以用对角线法证明单词个数不可数吧……

  • lvrixp

    有谁能解释一下为什么是13/27=(7+6)/(7+7+7+6)啊???

  • Exile_oi

    @FE M67说符号都是“有限长”的 如果有无限长的符号 那和直接把无限长的实数写出来有什么区别呢

  • morrowind

    第二题有点小小的补充:
    “因为有限长的字符串是可数的(按字符串的长度排序,长度相同则按字典序排)”这句话,应该基于一个假设,那就是字符的个数是有限个的。
    因为任意的字符串所组成的集合的势,要大于字符表的势。如果字符表是有限的,那么任意字符串组成的集合的势,是可数的,等于阿列夫零。但如果字符表本身就包含了无穷多个字符,也就是字符表本身的势就是阿列夫零,那么字符串的集合的势就是阿里夫1了,就是不可数的了。从而会正好与实数的势相等。那样的话,答案就是否定的了。

  • Exile_oi

    @ morrowind

    但是怎么搞一个阿列夫0的势的字符表呢?

    还有,ms实数集的势是阿列夫1只是“连续统假设”?……我不清楚不知道不晓得

  • Exile_oi

    话说第一题不是小学题么……

  • Sevenk

    23L大谬,数学没学好

  • Exile_oi

    @Sevenk
    成吧……大一新生的我退散了

  • 箫岳

    既感且佩呀

  • foo

    回答二是错的吧,不管你所谓“表达”的定义是什么

    假设选择公理成立,则实数集是良序集

    于是“所有不可表达的实数所构成的集合中的最小元”表达了一个不可表达的实数,矛盾(类似Berry悖论)。

  • foo

    其实问题二的解答没问题。。。关键是问题本身~

  • ivan

    这个条件概率的题目,小弟不才,实在是解不出来呀!哪位大牛说两句呗?

  • Bi9v

    问题3有两个地方有疑点
    1、关于“一个,另一个”的表述。不管是在正式行文还是口头交流中,说到两个中的一个,而又提到另一个是已经排除了前面提到的那一个了。
    这里另一个就是第二个的意思。
    按照答案去推题目,应当是两个孩子中的一个是星期二出生的男孩。求两个孩子中任意一个孩子是男孩的概率。

    2。孩子出生在星期几的概率是否是平均分布?
    看这个13/27的答案似乎是直接按照组合方式数来计算得到的, 则暗含使用了每个孩子出生在在任意星期几的概率是一样的。这个平均分布是否成立?

  • 白左

    请问大大,关于那个男孩问题(p=1/3)的解答给个链接吧,我实在不懂。我有完全不同于你的理解,我想先看看你的证明,再来反驳你或者认同你

  • 白左

    我的分析如下。。

    1.一家人有两个小孩 = 事件X
    其中有一个男孩儿 = 事件a
    另一个是男孩儿 = 事件b

    P(a)=3/4(除开两个女孩的情况)
    P(b|a)= P(ab)/P(a)= P(两个男孩)/P(a)=(1/4)/(3/4)=1/3

    2.一家人有两个小孩 = 事件X
    其中有一个男孩儿 = 事件a
    另一个是男孩儿 = 事件b

    a,b独立

    P(b|a)=P(b)=1/2;

    显然,问题的关键是a,b是否独立?
    注意到,a∈X,b∈X
    所以,a,b实际上应该写为(a|X)(b|X)
    这样来看,a,b不独立,解法1正确。但是从常识来看,让我们假设一个情节:

    【你隔壁那家人家人有两个小孩,你曾经看见过其中一个,是个男孩。另一个是男孩的概率是多少?】
    1/2。因为孩子的性别是独立事件。你会想,这个是男孩,另一个孩子的性别显然与他无关(不考虑同卵双胞胎等特殊情况),所以另一个也是男孩的概率是1/2。

    再来:
    【你隔壁那家人家人有两个小孩,你曾听邻居说起过他的其中一个男孩Blob。另一个是男孩的概率是多少?】
    1/3。因为你会想,既然Blob是男孩,那么他们家的孩子就只有两个男孩,一男一女和一女一男三种概率情况;其中只有两个男孩的情况,Blob才会有一个兄弟,所以是1/3的概率。

    两种想法好像都无懈可击,我实在搞不清楚为什么。。。

  • nick

    第3题概率难以理解,楼主详细解释一下,我是出生于星期一的男生,我妈妈生了2个,我年龄大,那你说我有个弟弟的概率是多少?

  • AlexNeko

    其实就是小学概率题……列下表就知道
    13/27=(7+6)/(7+7+7+6)

    至少有1个男孩在星期2出生,则
    第一个男孩,不在星期2出生, 6种可能
    第一个男孩,在星期2出生,第二个在任意一天出生 7种可能
    至于全部情况就加上
    第一个是女孩,任意天,7种
    第一个是男孩,星期2, 第二个是女孩,任意天 7种

  • lvrixp

    和白左同学有相同的疑惑,请懂的人解释一下第三题吧

  • Accepted

    第三题是这样的
    我举个例子:
    一个球是什么颜色并不影响另一个球的颜色,对吧。
    假如我手上有两个球,一红一白。我给你一个红球,你说我剩下的那个球是白球的概率是多少?难道是50%吗?显然应是100%
    造成这样的原因是我加了前提条件:两球一红一白
    这题之所以猥琐就是它暗含了一个你不容易发现的前提条件:有两个小孩
    你如果觉得没什么不同你就错了,实际上他就加上了一个前提条件:
    两个小孩是两个男孩或一男一女或一女一男或两个女孩
    所以白左的题答案应是1/3.
    不注意少了这个前提条件就会得出1/2的答案.

  • Dove

    (3) 似乎是:

    1 - 7/(7*2+7*2-1) = 20/27

  • 六翼

    第一题:
    ■□□□□□□
    ■□□□□□□
    ■□□□□□□
    ■□□□□□□
    ■□□□□□□
    ■□□□□□□n*n
    □1

  • Devymex

    第4个题不是可以用0到pi/2的积分做吗?显然等于4个0到pi/2的值,而0到pi/2的sin方的积分有个公式,直接等于pi/4

  • Devymex

    按出生先后顺序分就这27种情况,两个都是周二男的情况不能重复计算,因为这以下所有的情况是等概率发生的!这一点非常重要!

    周二男 周一男
    周二男 周一女
    周二男 周二男
    周二男 周二女
    周二男 周三男
    周二男 周三女
    周二男 周四男
    周二男 周四女
    周二男 周五男
    周二男 周五女
    周二男 周六男
    周二男 周日女
    周二男 周日男
    周一男 周二男
    周一女 周二男
    周二男 周二男
    周二女 周二男
    周三男 周二男
    周三女 周二男
    周四男 周二男
    周四女 周二男
    周五男 周二男
    周五女 周二男
    周六男 周二男
    周日女 周二男
    周日男 周二男

  • jun

    第三题不对吧。。如果一周有8天 难道概率就变了?!
    如果我们说 有个家庭有两个孩子,其中一个男孩是1966年7月星期2出生的。另外一个是男生的概率是多少?

  • jun

    第三题不对吧。。如果一周有8天 难道概率就变了?!
    如果我们说 有个家庭有两个孩子,其中一个男孩是1966年7月6日星期2出生的。另外一个是男生的概率是多少?

  • jun

    那如果说有两个球 都可以是红或者蓝,50 50 概率, 上面都可以写的是1,2,3,4,5,6,7.然后你知道其中一个是红色 写的是2,另外一个是红色的概率也是13/27咯
    那这么说 其实我看到邻居家有个孩子,那我看到他单眼皮,大嘴巴,长得胖有点矮,这些各种特征加起来的话 估计另外一个孩子的性别是男是女的概率就变成了50%了? 没道理的吧。

  • hcz

    第四题方法用过

    另出一题,用力学/运动学方法求SinX的积分(不能循环论证)

  • trek jerseys

    呵呵 我验证过了!

  • wyjiavril

    第一题我还有一种方法:若n^2+n+1=x^2,则n(n+1)=(x-1)(x+1),但在所有正整数中,每两个相邻数的积是不可能等于两个隔了一个数的数之积的,所以n^2+n+1不是完全平方数

  • aocer

    “楼层: 28楼 | 2009-09-20 16:38 | foo 说:
    回答二是错的吧,不管你所谓“表达”的定义是什么
    假设选择公理成立,则实数集是良序集
    于是“所有不可表达的实数所构成的集合中的最小元”表达了一个不可表达的实数,矛盾(类似Berry悖论)。”
    Not really. Assume that all real numbers greater than 3 are un-expressible. Then there is no “最小元” in the set, except for the lower boundary, 3, which is an expressible by definition (We assume only those GREATER than 3 are un-expressible).

  • 普罗奈尔

    “有一个男孩”,可以指一个特定的孩子这个孩子是男孩,也可以理解成至少有一个男孩,还可以理解成有一个男孩有一个女孩。既然“问另一个孩子是男孩的概率”,那么首先排除最后一种理解(英语one和a的区别)。但其实“至少有一个男孩”也是可以被排除的。原因是,语言逻辑上,可以说“一棵是枣树,另一棵也是枣树”,因为两棵枣树是不同的客体,这一棵的物种是枣树,另一棵的物种也可以是枣树,彼此独立。但不能说“两棵树里至少有一棵枣树,另一棵也是枣树”。因为“至少有一棵是枣树”描述的是这两棵树整体的性质,整体的性质不是由特定的某一棵决定的,而是由两棵树一起决定的,包含了有一棵不是枣树和两棵都是枣树这两种情况。当提及“至少有一棵是枣树”的时候不存在“另一棵”这个概念。

    所以,“已知有一个男孩,问另一个是男孩的概率”这个题干只能有一种理解,那就是已知一对父母已经有一个儿子了,且他们除了这个儿子之外还有一个孩子,那么这另一个孩子是男孩是女孩概率各1/2。

    若要答案是1/3,题干应该是“已知至少有一个男孩,求任取一个孩子必然是男孩的概率”或“已知至少有一个男孩,求两个都是男孩的概率”。假设一个村子共有4n户人,每家都有两个孩子,正好男男、男女、女男、女女各n户。有一年村子里突然来了个吃小孩的妖怪灵感大王,他要求每家交一个男孩,不交死全家。于是女女的家庭就死光了,现在村子里只剩3n户人。其他人家乖乖交出一个男孩。注意,这时男女、女男的家庭是没得选的,只有把儿子交出去,但是男男的家庭交出哪个孩子都可以。灵感大王消停了一年,第二年他又来了,说还要每家上交一个男孩,不交死全家。这时候只剩一个女儿的家庭也死光了。现在村子里只剩下n户人。剩下的家庭占至少有一个男孩的家庭的1/3。

    Bi9v提到“求两个孩子中任意一个孩子是男孩的概率”,这个表达又是另一个答案。换一个例子,你去一个男生家玩,你只知道他家一共有两个孩子且这两个孩子开门的概率是一样的,求给你开门的是男生的概率。这里答案是3/4,这才是“任取一个孩子是男生的概率”。

    白左提到的例子【你隔壁那家人家人有两个小孩,你曾听邻居说起过他的其中一个男孩Blob。另一个是男孩的概率是多少?】必然是1/2,得不出1/3。重点在于Blob要么是老大,要么是老二,不可能既是老大又是老二。两个孩子一共有四种情况,Blob有个哥哥,有个弟弟,有个姐姐,有个妹妹,概率各1/4。所以另一个是男孩的概率是2/4=1/2。

    同理,“其中有一个生于星期二的男孩”可以理解成重音在“男孩”,有一个指定的孩子,他是星期二生的且是男孩,另一个性别生日不明。或者重音在“星期二”,两个都是男孩,其中一个是星期二生的,另一个不是星期二生的。或者重音在“一个”,两个都是男孩,其中至少有一个是星期二生的。但因为后面“问另一个是男孩儿的概率是多少?”所以排除后两种理解。(6+7+1)/(6+7+1+7+7)=14/28=1/2。

    如果要答案是13/27,题干应该是什么呢?“已知至少有一个是星期二生的男孩,求任取一个星期二出生的孩子,其必然是男孩的概率。”这样才是13/27。

  • 废话多

    第3题还是是有问题的,因为缺乏精确定义的样本空间。
    以简单的‘已知有一个是男孩,另一个也是男孩的概率’为例,基本样本空间有两种方式:
    a.{(男女),(女男),(男男)},这样得到的是1/3
    b.对{(男男),(男女),(女男),(女女)}分别做性别检查,得到8个样本,其中有4个满足是男,从而样本空间为{(男男),(男男),(男女),(女男)},这样得到的是1/2
    因此,题目是不严谨的。

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