拥有多个A的概率:又一个条件概率悖论

    概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果,条件概率尤其如此。网络上每一次有人发帖提出与条件概率有关的悖论时,总会引来无数人的围观和争论,哪怕这些问题的实质都是相同的。
    来看两道简单的组合数学问题:

       1. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?
       2. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个黑桃A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?

    这两个问题看起来很像,实际算法大不相同。在第一题问题中,

       手上一个A也没有 有 C(48,13) 种情况
       手上有至少一个A 有 C(52,13) – C(48,13) 种情况
       手上恰好有一个A 有 C(48,12) * 4 种情况
       手上有至少两个A 有 C(52,13) – C(48,13) – C(48,12) * 4 种情况

    根据条件概率公式,手上有超过一个A的概率为(C(52,13) – C(48,13) – C(48,12) * 4) / (C(52,13) – C(48,13)) = 5359/14498 ≈ 37%


    在第二个问题中,

       手上有黑桃A  有 C(51,12) 种情况
       手上没有其它花色的A 有 C(48,12) 种情况
       手上还有其它花色的A 有 C(51,12) – C(48,12) 种情况

    根据条件概率公式,手上有超过一个A的概率为(C(51,12) – C(48,12)) / C(51,12) = 11686/20825 ≈ 56%

 
    有趣的事情出来了:如果这个人宣布了手中A的花色,他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。
    这怎么可能呢?难道我们上面的计算结果是错误的?事实上,上面的计算并没有错:

   

40 条评论

  • Superwyh

    沙发……
    回复再看……

  • Superwyh

    看了……
    茫然了……

  • 破破乐

    去年夏天去杭州数学夏令营的时候,讲组合数学的教授上来就拿这个问题做引子来着~

  • prob.

    很容易理解……

  • prob.

    因为有至少2个A的时候,就更可能其中一个是黑桃A……

  • 地砖

    令我想起了三门问题

  • 严酷的魔王

    回地毯:我们的教授怎么没有说……

  • 小精灵

    借地方问道做不出的题

    乒乓球单打比赛,选手A对选手B。
    已知如果选手A发球,得分概率是a (0<a<1),如果接对方发球,得分概率是b (0<b<1)。

    有两种规则可供选择:
    第一种规则两人每小分轮流发球。
    第二种规则胜利者可以继续发球,失球后对手发球。

    先得到n分的选手胜利。例如n = 11,任何选手的得分先达到11就赢了。

    一开始A选手发球。(所以如果两人轮流得1分,最后A赢)
    求证:对于任何的a, b, n,两种规则下A选手的胜率一样。

  • welco

    拿到任意花色A的概率比单一花色的A的概率高 所以分母大了显得所求概率低了

  • 卷心菜

    虽然我知道算出的结果肯定没错,但如何来理解这个结论?想不通啊。

  • prob.

    因为有至少2个A的时候,就更可能其中一个是黑桃A……
    所以反过来,有一个黑桃A的条件下至少2个A的概率也比有任意A时大。

  • prob.

    就比如说,A代表去研究某个问题的4个人,黑桃A代表最先解决的一个,
    那么最先解决某问题的研究所很可能人手比较足。

  • GlacJAY

    这个其实很好理解嘛,只有手上确实是黑桃A的时候,才可能宣布自己手上有黑桃A嘛。

  • sqybi

    看了两天突然发现原来这个人说的一定是真话…

  • prob.

    如果一副牌升级时无条件抢亮主3,那么有黑桃3的人和有主3的人手上有不止一个3的概率哪个大?

  • prob.

    不妨设c=1-a,d=1-b。

    假设按照第一种规则打的时候把2*n-1局打满,那么每一个最终小结果概率的形式都会是一串a和c(共n个)的连乘积乘以一串b和d(共n-1个)的连乘积,而且A胜当且仅当a和b的个数加起来>=n。

    现在,按照第二种规则打时,树形图不是满的,接下来我们不继续用第二种规则,而用另外的规则把它补满:在某个终端结点处,如果A胜剩下的都让B发球,B胜都让A发球。

    这样,小结果就可以一一对应了。我们把第一种规则下的一个小结果写成两行,一行n个a和c(A发球),一行n-1个b和d(B发球),将其对应于第二种规则补满后的小结果:

    从第一行开始读。每次读到a或d(发球胜)就接着读,读到c或b(接球胜)就转到另一行,开始读第一个没读过的。

    读到一方胜利后,剩下的一列的结果依次当作最后“补满”比赛的结果。

    这样必然恰好有一列读完,因为如果最后A胜,那么A开始发了一次球,最后赢了一个球,中间的发球/赢球对应,恰把n个发球对应n分;B开始不发球,易知只发球n-1次。

    接下来的证明就十分简单了。

  • 凌晨海风

    理解起来还行吧
    如果这个人宣布手里有黑桃A,那么剩下不多于三个A在另外三家的,肯定不会包括黑桃A了。
    如果这个人宣布手里有A,那么剩下不多于三个A在另外三家的,却要在四个A里面随机。

  • 卷心菜

    稍微改一下:
    四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个A,并且说出来这个A的花色,请问他手上有不止一个A的概率是多少?
    这是不是就跟第一个问题一样了?

  • 滚动数组

    不过如果他有2个A的话,“我有A”这句话只能说一遍
    但是“我有黑桃A,我有红桃A”可以说两遍

  • jack

    18楼和问题1是一样的。问题2的主要不同就在于只能声明黑桃 而不能是其它花色 所以文章末段“ 有趣的事情出来了:如果这个人宣布了手中A的花色,他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。”是模糊的表达

  • llxy7

    其实这个问题让人混淆的原因在于概率被约分了,掩盖了本来庞大的情况总数。

  • yh

    ……………………………
    不能说:如果这个人宣布了手中A的花色,他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。
    参考那个门后边有羊的问题,概率不能简单的根据情况数算
    ……………………………
    如果你问他,是否有黑桃A,他说有,那结果应该按照第二种方法算
    但是如果他宣布有至少一个A,之后再宣布有黑桃A,那概率不会变
    因为他是从他有A之中选出一个宣布的,如果没有黑桃A,他不会宣布自己没有黑桃A,而是随便再宣布一个别的
    ……………………………

  • menie

    请问,概率论有什么经典的教材吗?

  • 叫兽

    典型的信息博弈,打牌双方的信息时不对称的,的确可以作为欺骗手段的!

  • Voldemort

    20楼Jack点出了问题关键

  • Voldemort

    就是说,如果游戏一开始大家规定好,四人中任何一人拿到黑桃A,就喊:“我拿到了黑桃A”,那么当某人喊出来时,他有两张以上的概率为56%

    但是如果游戏一开始只是规定,四人中任何一人只要拿到A,就喊:“我拿到了A”并宣布花色,这样当某人喊出来时,他有两张以上的概率就只有37%

  • xkolyytfm

    如果有人不懂,可以把命题简化一下,就用两张A,两张K来计算就可以了,组合分别为A1A2,A1K1,A1K2,A2K1,A2K2,K1K2,
    如果只说有A,那么就是1/5,如果说有A1,那么就是1/3。

  • paramecium

    这个不能算是一个悖论吧,清楚的很。

    下面的分析是基于*“概率”等价于“不确定事件发生可能性大小的量度”*这一假设展开的。

    “概率”在这个问题里面只对解题的我们有意义,那是因为我们并不确定每个人手上A的分布如何。而这个问题符合古典概型的条件,因此我们(仅仅是我们解题者,而不是那个人)在这里讨论概率是有意义的。那个人的声明其实是对(对于我们来说的)概率事件{他手上有不止一个A}的一种有用信息的补充。我们掌握的有用信息程度不同,自然会得出事件发生(或不发生)的可能性大小的不同。条件概率中“条件”的含义也在于此。“有黑桃A”明显就跟“有A”相比所包含的信息量不一样,因此而得出可能性大小计算不一样也应该是可以理解的。

    举个极端点的例子,假如那个人的声明分别改为“我手上有2个A”和“我手上有没有A”,那么我们依然可以根据条件概率的定义(而不是常识)计算出其概率值分别为1和0。而其实这些声明在条件概率计算中的地位是一样的,都不过是一些对问题有用信息的补充。如果这个例子可以接受,那就没有理由不能接受上面的例子。

  • talent_wrn

    这一题题设有误:
    1. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?
    2. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个黑桃A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?
    1中那个人说他有一个A时,如果他说的是真的,那么他手上有不止一个A的概率是0;而解答中对其所说的有一个A这一条件根本没有作考虑,应该把题1改成:“ 1. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?”
    这时问题就没有谬误了,2中多给出了黑桃A这一信息,将A的范围缩小(在考虑发言人说真话的情况下)。

  • 陆平

    我用湮灭来胡言乱语一下下
    第二种情况成立的时候的确概率大。
    但是这两种情况成立的本身就是一个概率。
    即你手上有一个A的概率,要远远大于你手上有一个黑桃A的概率。
    貌似这个又成为一个条件概率了。

  • 陆平

    楼下的元芳,你怎么看

  • hwzxaww

    子空间”手中至少有n个A”包含在在子空间”手中有A”中,但是不包含于子空间”手中有黑桃A”中,因此第二种求条件概率的公式有误。

  • hwzxaww

    我们把第一问中”手中有不止一张A”记作事件X,把第二问中”手中有不止一张A”记作事件Y。如果我们认为这两个事件是同一个事件,就会引起悖论。而事实上这是两个不同的事件。比如只有一张红桃A,一张方块A是事件X的一种情况,却不是事件Y的一种情况。从而两个事件的样本空间就不一样了。所以第二问的提法应该是还有至少一张其它花色A的概率。

  • fps40

    同意20楼说的。这导致此题不是一个纯的数学问题,而是自己设置了一个模糊的概念把自己给弄蒙了

  • cervelo

    数学还能用在打牌上,这什么理论啊

  • zy498420

    ”。。。如果这个人宣布了手中A的花色,他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。’这个话说的不对,应该解释为;如果这个人告诉了我们更精确的信息,那么我们可以对他手里的牌进行更精确的估计。从信息论的角度讲,获取了更多信息意味着互信息量更大,也就是说概率变化量会更大(信息的表达带来的就是概率的变化量,条件概率不变则意味着没有任何信息得到表述,一个说真话和假话概率分别是1/2的人所说的话没有任何信息)。如果什么都不知道,那么某某有2个A的概率约2/9,很明显宣布了手中A的花色后算出来的概率变化量更大(绝对值)!同样的楼主可以试试某某说了自己有3A之后,有4A的概率?

  • zcc

    两者样本空间不一样,没有可比性的。

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