拥有多个A的概率:又一个条件概率悖论

    概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果,条件概率尤其如此。网络上每一次有人发帖提出与条件概率有关的悖论时,总会引来无数人的围观和争论,哪怕这些问题的实质都是相同的。
    来看两道简单的组合数学问题:

       1. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?
       2. 四个人打桥牌。其中一个人说,我手上有一个黑桃A。请问他手上有不止一个A的概率是多少?

    这两个问题看起来很像,实际算法大不相同。在第一题问题中,

       手上一个A也没有 有 C(48,13) 种情况
       手上有至少一个A 有 C(52,13) – C(48,13) 种情况
       手上恰好有一个A 有 C(48,12) * 4 种情况
       手上有至少两个A 有 C(52,13) – C(48,13) – C(48,12) * 4 种情况

    根据条件概率公式,手上有超过一个A的概率为(C(52,13) – C(48,13) – C(48,12) * 4) / (C(52,13) – C(48,13)) = 5359/14498 ≈ 37%


    在第二个问题中,

       手上有黑桃A  有 C(51,12) 种情况
       手上没有其它花色的A 有 C(48,12) 种情况
       手上还有其它花色的A 有 C(51,12) – C(48,12) 种情况

    根据条件概率公式,手上有超过一个A的概率为(C(51,12) – C(48,12)) / C(51,12) = 11686/20825 ≈ 56%

 
    有趣的事情出来了:如果这个人宣布了手中A的花色,他手中有一个以上A的概率竟然会大大增加。
    这怎么可能呢?难道我们上面的计算结果是错误的?事实上,上面的计算并没有错:

   

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