在一篇老日志中，我提到了一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续两个正面？它的答案是 6 次。它的计算方法大致如下。

    首先，让我们来考虑这样一个问题： k 枚硬币摆成一排，其中每一枚硬币都可正可反；如果里面没有相邻的正面，则一共有多少种可能的情况？这可以用递推的思想来解决。不妨用 f(k) 来表示摆放 k 枚硬币的方案数。我们可以把这些方案分成两类：最后一枚硬币是反面，或者最后一枚硬币是正面。如果是前一种情形，则我们只需要看前 k - 1 枚硬币有多少摆法就可以了；如果是后一种情形，那么倒数第二枚硬币必须是反面，因而这种情形下的方案数就取决于前 k - 2 枚硬币的摆放方案数。因此我们得到， f(k) = f(k - 1) + f(k - 2) 。由于摆放一枚硬币有两种方案，摆放两枚硬币有三种方案，因而事实上 f(k) 就等于 F_k+2 ，其中 F_i 表示 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, …的第 i 项。

    而“抛掷第 k 次才出现连续两个正面”的意思就是，最后三枚硬币是反、正、正，并且前面 k - 3 枚硬币中正面都不相邻。因此，在所有 2^k 种可能的硬币正反序列中，只有 F_k-1 个是满足要求的。也就是说，我们有 F₁ / 4 的概率在第二次抛币就得到了连续两个正面，有 F₂ / 8 的概率在第三次得到连续两个正面，有 F₃ / 16 的概率在第四次得到连续两个正面⋯⋯因此，我们要求的期望值就等于：

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    某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？
    假设一年有 365 天，每个员工的生日都概率均等地分布在这 365 天里。

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    最近忙于写学年论文，一直没时间更新 Blog 。不过，我却并没有停止在网上闲逛的习惯。这几天会慢慢把最近看到的有意思的东西写下来。今天学到的一个比较有趣的东西就是：平均等待时间往往大于平均间隔时间的一半。

    比方说，有这么一趟公交车，平均每 10 分钟发一班车，但具体的发车时间是很不固定的。如果你在某个时刻来到车站，等到下一班车平均要花多久呢？很多人或许都觉得，平均等待时间应该是 5 分钟，毕竟平均间隔时间是 10 分钟嘛。然而事实上，平均等待时间是大于 5 分钟的。这是因为，10 分钟的发车间隔只是一个平均值，实际间隔有时是几分钟，有时是十几分钟。如果你出现在车站的时刻，正好位于几分钟的间隔中，你的平均等待时间显然就会小于 5 分钟；但如果你出现在车站的时刻，正好位于较长的间隔中，那么你的平均等待时间就会大于 5 分钟。关键就在这里：你出现在车站的时刻，更有可能落在了较长的发车间隔中。因而，平均等待时间会偏向于大于 5 分钟的情况。

    那么，如果公交车发车的时间足够随机，概率均等地分布在时间轴上（假设平均间隔仍是 10 分钟），那么当你来到车站时，平均需要多久才能等到公交车呢？答案或许很出人意料——平均等待时间就是 10 分钟。下面我们就来证明这一点。

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  依次考虑下面三个问题。

    1. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截木棒平均有多长？

    2. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，长的那一截木棒平均有多长？

    3. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截与长的那一截的长度之比平均是多少？

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    对原题的误读，有时竟会产生一些更有意思的问题。果壳问答上，网友 qxx 提问说：

一个房间里面有很多人，我想让房间里面任意两个人的生日相同的概率是 50% 的话那房间里面应该最少有多少人？

    当然，几乎可以肯定，提问人原本是想说“至少两个人”的，而问题的答案就是 23 ——生日悖论带来的惊人的答案。不过，如果把“至少两个人”误说成“任意两个人”，题目意思就完全变了，并且变得明显更有意思了。

    大家很快便会想到，如果任取两个人，他们的生日相同的概率恰好是 50% ，那么房间里最少有四个人，其中三个人的生日是同一天，另外一个人的生日跟他们都不同 。从四个人里选出两个人有 6 种方案，选出生日相同的两人则有 3 种方案，恰好是 6 的一半。

    继续看下去之前，大家不妨来猜猜看，这个问题还有其它的解吗？下一个解有多大？

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考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

 
答案：记 P_i 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是 P₁ + 2 * P₂ + 3 * P₃ + 4 * P₄ + … 。妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

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目前，我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。

推理
1. 高三 (17) 班有 50 个同学，他们的学号分别是 1, 2, 3, …, 50 。一次数学考试结束后，同学们都交完试卷离开了考场。数学老师小 A 清点试卷时发现，他手中只有 49 张卷子。究竟是谁没有交卷呢？正巧小 A 手边没有笔，他也不想把所有卷子按照学号重新排序。他希望不借助任何工具，仅仅通过依次查看每张卷子上写的学号，便能找出缺失的那个学号。和常人一样，小 A 的记忆力很有限，他没法记住之前到底看到过哪些学号；不过，作为一个数学老师，小 A 拥有无人匹敌的计算能力。他有办法找出没交卷的那位同学的学号吗？

2. 小 A 和小 B 玩游戏。从小 A 开始，两个人轮流从 1 到 9 当中选一个数（已经选过的数不能再选），约定谁先选到三个和为 15 的数，谁就获胜了。比方说，小 A 先选了 4 ，然后小 B 选 5 ，小 A 选 6 ，小 B 选 2 。为了阻止小 B 获胜，下一步小 A 就必须得选 8 （否则小 B 将靠 5 、 2 、 8 三个数获胜）。为了阻止小 A 获胜，小 B 选择了 1 （否则小 A 将靠 6 、 8 、 1 三个数获胜）。但是，这已经阻止不了小 A 的胜利了——小 A 可以选择 3 ，从而得到 4 、 8 、 3 三个加起来等于 15 的数。
在这个游戏中，小 A 有必胜策略吗？

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推理
1. 在每一个小题中，我们都按照某种属性把 26 个字母分成了两组。请你找出每个小题中的分组依据。

  (1) CEFGHIJKLMNSTUVWXYZ ABDOPQR
  (2) AEFHIKLMNTVWXYZ BCDGJOPQRSU
  (3) COPSUVWXZ ABDEFGHIJKLMNQRTY
  (4) ABCDEFGQRSTVWXZ HIJKLMNOPUY
  (5) CDILMVX ABEFGHJKNOPQRSTUWYZ

 
2. 在面临二选一的情形犹豫不决时，很多人喜欢用抛硬币来解决问题。但是，由于硬币的两侧轻重不一，因此正反两面出现的几率并不是绝对均等的。这样的话，我们还能让硬币来帮助我们做决定吗？于是就有了下面这个有趣的问题：
假如你手中有一枚不公平的硬币，其中一面朝上的概率更大一些（但是你不知道具体大了多少）。你能想办法用这枚硬币“模拟”出一枚公平的硬币吗？

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