趣题:不等式背后的直观意义

有时,为了说明某个式子始终成立,我们会为它构造一个情境。例如,为了说明

C(m, 0) · C(w, r) + C(m, 1) · C(w, r – 1) + … + C(m, r) · C(w, 0) = C(m + w, r)

始终成立,只需要注意到,等号的左边和右边计算的都是同一个东西:假如一个班上有 m 个男生 w 个女生,从中选出 r 个人有多少种方案。等号左边的计算方式是,分别计算 0 男 r 女、 1 男 r – 1 女、 2 男 r – 2 女等 r + 1 种情况的方案数,然后把它们加起来。等号右边则是直接算出了从这 m + w 个人中选出 r 个人的方案数。两种算法所得的答案应该是相等的。

现在,请你构造一个情境,来说明不等式

(1 – pm)n + (1 – qn)m ≥ 1

总成立,其中 m 、 n 是任意正整数, p 、 q 是任意正实数,并且满足 p + q ≤ 1 。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

假设有一个三角形 ABC ,其中从 B 顶点引出 n 条射线,与 AC 边交于 n 个点,又从 C 顶点引出 m 条射线,与 AB 边交于 m 个点。所有这些线条在三角形内一共产生了 mn 个交点。现在,在每一个交点处都画一个小圆,于是每个小圆内都会有两条小线段。对于每一个小圆,我们都随机从下述三个操作中选择一个来执行。

  • 擦去 C 点所引射线上的小线段,仅保留 B 点所引射线上的小线段
  • 擦去 B 点所引射线上的小线段,仅保留 C 点所引射线上的小线段
  • 擦去圆内的全部两条小线段

三种操作各自被选中的概率分别为 p 、 q 和 1 – p – q 。于是,每一个小圆里都最多只留下了一条小线段。

每条从 B 点出发的线上都有 m 个小圆,这条线在 m 个小圆内都被保留下来了的概率是 pm ,因而整条线有断掉之处的概率就是 1 – pm 。从 B 点出发的线一共有 n 条,每条线都有断掉之处的概率就是 (1 – pm)n 。因此,至少有一条线完好无缺的概率就是 1 – (1 – pm)n 。类似地,从 C 点出发的 m 条线当中,至少有一条线完好无缺的概率就是 1 – (1 – qn)m

但是,从 B 点出发的线条只要有一条是完全连通的,都会使得从 C 点出发的所有线条都断掉;从 C 点出发的线条只要有一条是完全连通的,都会使得从 B 点出发的所有线条都断掉。因此,存在某条从 B 点出发的完好的线,与存在某条从 C 点出发的完好的线,这两个事件是互斥的。这说明

(1 – (1 – pm)n) + (1 – (1 – qn)m) ≤ 1

整理可得

(1 – pm)n + (1 – qn)m ≥ 1

这个问题来自 Ross Honsberger 的 More Mathematical Morsels 一书。

27 条评论

  • s.s.s

    秀恩爱的好快

  • incrp

    证法太漂亮,但感觉虽然看起来直观但是说明起来麻烦,尤其是两个小线段随机擦掉一条这一点,不如p×q矩阵随机填±1还易于理解,还有M67最近更新好勤啊

  • Pegasus

    阅..
    用到盖桶的构造组合模型都很神奇….

  • Dr. What

    感觉不像是构造出的解法,倒像是构造出的题目……应该是有人随手算了这么个概率,然后发现,嘿,好像能得出个不等式。于是就构造出了这么个题目,反着出……

    • Pegasus

      其实从这问题得到这模型是很自然的,并没有想象中的神奇..
      我不知道你觉得不自然的地方是源于”构造这个模型”还是”构造中使用概率”..但是..
      也许ls我发的内容能对几个乍看略显突兀的细节稍作解释..

      ps.说实话..我觉得m67贴的三角形的说法..纯粹是为了给趣味读物增添阅读趣味性….

    • dr what

      不是,是这题目本身看起来不太自然。人在研究什么问题时会遇到需要证明这么个不等式的情况呢?……好像只有概率。所以我觉得是有个人在算各种乱七八糟的概率的时候凑出来的。

  • Pegasus

    嘛..其实..用到盖桶的模型..说实话就是不常见而已..所以才会让人不明觉厉..
    来换个正常的做法..还是构造模型..一般的简单模型是离散的..所以这里就对有理数..
    (不要问我怎么构造出来的..我只能说..肯定有很多人知道从要证的这东西构造出这么个模型当真是理所当然的..)

    先考虑p+q=1且p,q均为有理数顺便齐次化一下..
    只要证((p+q)^m-p^m)^n+((p+q)^n-q^n)^m>=(p+q)^(mn).
    记(p+q)元集S={P1,P2,…,Pp,Q1,Q2,…,Qq},m行n列表格A={A[i,j]|1<=i<=m,1<=j<=n}.
    显然rhs为在A中填S元素的方案数.
    (p+q)^m-p^m为某列不全为P的方案数,((p+q)^m-p^m)^n为整个A中每列都不全为P的方案数.
    同理((p+q)^n-q^n)^m为整个A中每行都不全为Q的方案数.
    显然这两种情况也是覆盖了rhs所有的,故结论立得.

    (此时原命题已经可以得到了:无理数用有理数逼近,<1的本来就比=1的弱.)
    下面来考虑下p+q=(p+q+r)^(mn).
    显然增加的R并不影响之后的讨论,所以结论同样成立.(从此也能看出原题每行都有P==>每行都不全为Q
    或者,更简单地说:
    每列都不全为P \/ 每行都不全为P

    我要说的快说完了,剩下的一句是:
    看m67贴的三角形的模型,其实就是换了个说法而已;所以,其实我的方法和m67贴的是一模一样的(或者说等价的,”同构”的).

  • Pegasus

    又被吞字了?再次求修复..
    顺便求m67告诉我吞字的理由以便避免….

  • q68257962

    m x n个格子,每个格子里有p概率出现P,有q概率出现Q,且规定P、Q不能同时出现在一个格子里,那么:
    左项即任一行不全是P,右项即任一列不全是Q。
    显然,以上两个命题的逆命题是互斥的,因此这俩的概率和就不小于1。
    感觉比m67的解释简单点。

  • EYED

    大神,你是用什么VPN的,参考一下

  • 简杺

    您好,我是北京卫视《我是演说家》编导,我叫王鑫,冒昧打扰,非常抱歉,我们看见了您的一些演讲视频,并了解到您在做的一些事情很有意思,所以想跟您沟通一下,是否能见面采访一下?如果您方便,麻烦我们可以先邮箱沟通。邮箱:492502051@qq.com

  • Kingium

    使用概率真是奇招啊。可我还只是个站在高等数学边缘的高三学生。

  • 空古悠岚

    确实很厉害啊

  • 方程

    第一眼也是想到了概率呢。毕竟用p、q命名变量,和“(1-p³)”这种表达式在概率论课本里经常出现。

  • 李煌老师

    多做,请多关照,嘿嘿, 谢宾斯基是 一种分型图形的发明人,用于分形天线的构造,为人类手机的天线做出了巨大的数学贡献,你能用他的作品,我感到很惊讶,因为我根本就无法接触到这些人的书籍,更何况还是波兰文字,他是数学界的肖邦。

  • 鑫公子

    真的脑洞大开,感谢分享

  • www.500w88.com

    感恩生命,感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题,生命的意义;赞颂真善美,批判假恶丑。记住精彩的瞬间,激动的时刻,温馨的情景,甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。

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