2007-05-03 23:16| 
20 Comments | 本文内容遵从 不知道大家见过没有，我今天偶然看到，在这里写一下。
箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率；“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率；“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有10^(n-1)元钱，另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。
举个例子，假如我们拿到了100元钱的信封，那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半。也就是说，如果我们拿到了x元钱，换一个信封的话有1/3的概率多得9x元，有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元，这告诉了我们换一个信封显然更好。
现在的问题是，既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？
大家可以在下面讨论
我就不参与讨论了，虽然我也不知道是怎么回事
这个问题让我想到了Newcomb悖论，说有个妖精可以预言你将拿一个箱子还是两个箱子，大家一定见过。
A highly superior being from another part of the galaxy presents you with two boxes, one open and one closed. In the open box there is a thousand-dollar bill. In the closed box there is either one million dollars or there is nothing. You are to choose between taking both boxes or taking the closed box only. But there's a catch.
The being claims that he is able to predict what any human being will decide to do. If he predicted you would take only the closed box, then he placed a million dollars in it. But if he predicted you would take both boxes, he left the closed box empty. Furthermore, he has run this experiment with 999 people before, and has been right every time.
What do you do?
On the one hand, the evidence is fairly obvious that if you choose to take only the closed box you will get one million dollars, whereas if you take both boxes you get only a measly thousand. You'd be stupid to take both boxes.
On the other hand, at the time you make your decision, the closed box already is empty or else contains a million dollars. Either way, if you take both boxes you get a thousand dollars more than if you take the closed box only.
Newcomb悖论是很荒唐的，很不具有数学的科学性。但这篇日志介绍的悖论在科学性上是可以承认的。
很光荣地看不懂数学期望...[cry]
回复：期望值，说穿了就是平均值的意思
你都不知道
那还讨论什么
回复：我这么菜，当然不知道咯
那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？
你怎么知道刚开始哪个是另个信封呢?即使确定一个信封但另一个信封又是"另一个信封",而这个信封又是另一个信封的"另一个信封",到最后还是不知道选哪个...觉得最后好像还是看个运气...
PS:我在说什么啊...
如果说，世界上存在4种命题：1。对 2。错 3。既对又错 4。既不对又不错 ，那么悖论就可以被完美地解决了。
这年头，人们的思维都定势了。。。
回复：这个想法有创意，不错不错
算概率的那边有点问题吧。。。。。。
怎么可以直接等成1/3和2/3呢
回复：我可以肯定+2.4的期望值结果是正确的
老大，剩下的那个信封除了那1/2^n的概率之外的概率是什么，没有钱或有更多钱，你的题目好象有点问题哦，还有就是那个什么什么同学说的蛮对的，再没有特定一个信封为第一个信封时就没有所谓的另一个信封吧，所以老大的问题很有问题哦．老大，老爸说，要学好数学，一定先要把语文学好，英语不算，因为你那一大堆英语看得我发慌，虽然我英语很一般，语文也很一般，数学也蛮一般，但是老大啊，你的问题还是有问题啊，希望不是出在我的问题上，恩，就这样
从题目条件开始就是错的
你会发现在取第一个信之前，你获得钱的期望值是+infinity！！
如果强加一个上限(比如n<=10)，就没有悖论了
这个问题有个简单的版本，有两个信封中装有钱，一个是另一个的两倍，你选中一个后看到其中装有100元，问是否要换？
学数学的好处，如果让你用二十个字说，你说什么。麻烦您发到我邮箱
这应该是条件概率的问题。。。
这个问题的根源在于，第一次拿信封时(假设你的手还在黑箱里可以随便挑)你有无限次选任何一个信封的权利，但是打开了一个之后你就丧失了无数次任选的权利，此时你只有两种选择，换和不换，两种决策的前提并不等同，所以其决策也没有可比性，不能拿这种事前不可能获知的事后经验来反推之前的决定正确性。简单地说，这个问题没有悖论，其真实的结果就是，任何贪婪的人都一定会打开看两个信封，至于事实上拿到多的还是少的就看运气了。
首先指出楼主的一个错误：
对于这样一个箱子来说，你去取一个信封出来，那么你的期望收益是正无穷。在这样的前提下，2.4x其实没什么意义，还是正无穷。
如果这点可以达成一致，那么问题也就解决了。
在后面计算换与不换的概率的时候其实不是1/3和2/3，而是有一个先验概率，也就是说你拿到的那个信封，是小中大（【10，100】中的100）的概率是2/3，是大中小（【100，1000】中的100）的概率是1/3。然后再计算的结果就都是1/2了。
BTW，楼主确实是个牛人，我也对数学和计算机很有兴趣，可惜忙于生计荒废了。。。希望交个朋友
怎么回事？我不能回复
呵呵，总共就两个信封，来回选择不过是个周期函数，把它想成单增函数不过是你自己的心理预期！
这个题目好像美剧“Number”里面有过讲，类似的，忘记了。可以介绍楼主看看。
我的看法
1、在没有开启任何一个信封之前，显然有E（A）=E（B），这时选A选B随意
2、在开启（确定）某一个信封A之后，E（A）=A，E（B）=5.05A，有E（B）>E（A），故最优策略选B（即选后者）
3、如果开启的是信封B，E（B）=B，E（A）=5.05B，有E（A）>E（B），故最优策略选A（也选后者）
注意到上述E（A）>E（B）和E（B）>E（A）成立的前提条件是不能同时满足的，故实际上不存在循环的悖论，而有唯一最优策略，即选后者
开箱子以前无A,B
第二个箱子有钱的概率我可以设置成0.000000000001但是里面装100000000000000000000元，这样期望虽然很高，但是我不会选它。
这和用第一个箱子的钱买第二个箱子的彩票差不多
这个悖论还是由无穷引起的。如果“有1/2^n的概率发生这样的事情”的n只取1到N，则悖论不存在（N任意大），因为你如果发现信封里有10^N元钱，你就不换了，如果小于这个数，那你就换一个。而n取遍所有自然数，就没有这么个上界，这个取到最多钱数的“终极情况”就在无穷处“消失”了。
这种无穷导致的概率悖论是很常见的。比如可以举出下面的例子，比LZ的例子要简单，但是悖论产生的原理是一样的，因而更容易看到问题出现的原因。
假设你做一个游戏，游戏的结果是你会随机得到报酬，你有(1/2)^n的可能得到10^n元。现在你做了一次游戏，假设得到了10^N元。你有一个机会，把游戏重玩一次（但要把已经得到的10^N元交回去），你愿意重玩么？
按照数学期望的话，重玩总是有利的。但是，既然已经重玩必然有利，为什么不直接玩“第二次”呢？
事实上，因为期望其实是无穷大的，因此你不管得到多大的一个（有穷的）结果，都小于期望。