这些序列都是自相似序列……

    如果说数学家是魔术师的话,无穷就是一根最强大的魔杖。在Manfred Schröder的一篇题为Fractals in Music的论文里,作者提到,把每个正整数对应的二进制数中“1”的个数依次写下来,得到的数列有一个很神奇的性质:划掉所有的奇数项,得到的序列仍然是整个序列本身。

十进制数  1   2   3    4    5    6    7     8     9    10    11    12    13    14
二进制数  1  10  11   100  101  110  111  1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110
1的个数   1   1   2    1    2    2    3     1     2     2     3     2     3     3
取偶数项      1        1         2          1           2           2           3

    最初我是在《算法艺术与信息学竞赛》里见到这个东西的,当时硬是被震撼住了。这样的序列叫做“自相似序列”,意思是说自己的一部分等于本身。注意到,这个“自相似”可以无限制地进行下去。再次取出所得的序列中的偶数项,结果还是与最初的序列一样;再这样做下去做无数次,每一次的结果都会与原始序列相同。也就是说,无穷里面包含了无穷多个规模不同的无穷,并且所有这些无穷都和原来完全相同。不过呢,仔细一想你会发现这个一点也不奇怪,奥妙就在于,n和2n的二进制表达中唯一的差别就是末尾的那个“0”。


    类似的序列还有很多。今天偶然踩进了这个网页,发现能叫出名字的自相似序列起码还有几十个。仅在二进制上面做文章的就有好几个,有趣的如:

A030101 1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15, 1, 17, 9, 25 … n的二进制表达逆序之后的值
A038189 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0 … n的二进制表达中,最右边的数字“1”左边的数字
A020987 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0 … Golay-Rudin-Shapiro序列,n的二进制中“11”出现次数的奇偶性

    另一些比较神奇的还有:

A000161 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1 … 将n表示为两个数的平方和的方案数
A001316 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4 … Gould序列,杨辉三角第n行的奇数项个数
A016725 6, 6, 30, 6, 30, 30, 54, 6, 102, 30, 78, 30, 78, 54, 150 … x^2+y^2+z^2 = n^2的非负整数解的个数
A046109 4, 4, 4, 4, 12, 4, 4, 4, 4, 12, 4, 4, 12, 4, 12, 4, 12, 4 … 以原点为圆心半径为n的圆所经过的整数格点的个数
A053866 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0 … n的约数和的奇偶性

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