如果说数学家是魔术师的话，无穷就是一根最强大的魔杖。在Manfred Schröder的一篇题为Fractals in Music的论文里，作者提到，把每个正整数对应的二进制数中“1”的个数依次写下来，得到的数列有一个很神奇的性质：划掉所有的奇数项，得到的序列仍然是整个序列本身。

十进制数  1   2   3    4    5    6    7     8     9    10    11    12    13    14
二进制数  1  10  11   100  101  110  111  1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110
1的个数   1   1   2    1    2    2    3     1     2     2     3     2     3     3
取偶数项      1        1         2          1           2           2           3

    最初我是在《算法艺术与信息学竞赛》里见到这个东西的，当时硬是被震撼住了。这样的序列叫做“自相似序列”，意思是说自己的一部分等于本身。注意到，这个“自相似”可以无限制地进行下去。再次取出所得的序列中的偶数项，结果还是与最初的序列一样；再这样做下去做无数次，每一次的结果都会与原始序列相同。也就是说，无穷里面包含了无穷多个规模不同的无穷，并且所有这些无穷都和原来完全相同。不过呢，仔细一想你会发现这个一点也不奇怪，奥妙就在于，n和2n的二进制表达中唯一的差别就是末尾的那个“0”。

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    作为一个UyHiP的忠实粉丝，我决定把上个月的题目和解答翻译过来，即使类似的把戏我们之前已经见到过了。
    题目就一句话：根号2和根号3的和的1948次方的小数点后第48位是多少？如果你立即就想到了正确算法的话，我敢保证在别人还没打开Mathematica的时候你就已经得到答案了。

    这道题背后隐藏的把戏就是，(√2 +√3)^1948 + (√2 -√3)^1948永远是一个整数，因为展开之后偶数次幂本来就是整数，而奇数次幂的项恰好又正负互相抵消了。注意到√3 -√2只比0.3多一点，因此(√2 -√3)^1948是一个很小很小的数，粗略估算一下的话它小数点后面紧跟着好几百个“0”；而前面说了(√2 +√3)^1948和(√2 -√3)^1948加起来是个整数，那么前者的小数点后必然有相当长的一段数字9。保守估计的话，不但(√2 +√3)^1948小数点后的第48位是“9”，就是480位也是“9”。事实上，这个数的小数点后面900多位都是“9”。

    你能想到的最大的数是多少？我电脑里A片的字节数？人体的细胞个数？整个地球的质量？宇宙间所有原子的个数？当然，在数学研究中，数学家们很可能会创造出一些比这些数都大的数。
    1938年，数学家Edward Kasner的外甥发明了一个表示10^100的单词googol，这个数已经超过了宇宙中所有原子的个数。Pólya曾经猜想，小于等于n的正整数中，质因子个数为奇数的数不少于质因子个数为偶的数；1958年数学家C. B. Haselgrove首先给出了一个长达361位的反例。上个月，人们找到了一个新的Mersenne素数2^43112609-1，它一共有12978189位。1955年，数学家Stanley Skewes证明在不超过10^(10^(10^963))的范围内存在x满足π(x) > li(x)，其中π(x)表示不超过x的素数有多少个，而li(x)则是dt/ln(t)从0到x的定积分。

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    似乎大多数人都喜欢整十整百的数，或者偶数，或者一些因子很多的合数。但我却不一样。我反而讨厌那种整十整百的数。总的说来，我喜欢以下三类数字。
    最喜欢的是质数，特别是以3和7结尾的。我的网名是matrix67。我的幸运数字是23。在家时我喜欢吃13个饺子。看电视时，喜欢把电视机音量调节到11、17、23（原来的老电视）或者47、53（新的那台电视）。选手机号时喜欢选奇数结尾的，最好末两位是质数。
    第二喜欢的是36, 48, 96, 192一类的数，就是可以表示成两个2的幂之和的数，特别是2^(n-1) + 2^n一类的数（即质因子为n-1个2和一个3）。有时候，对这种数的喜爱甚至要多于2的幂，我也想不通是为什么。出OI题时我很喜欢拿这些数当数据。
    第三喜欢的是奇数的幂，比如25、27、81、169、361、729等等。偶尔也把电视机的音量调到25或49。觉得361°的那个数字让人感觉很是亲切。
    一直以为这是我独有的癖好，直到刚才看到了这位同志的日志后才猛然想到：难道所有Geek都有类似的癖好？故召集大家说一说自己对数字的一些偏好。

    P.S. 另一个很有意思的癖好：别人问我时间时，我把手机翻出来看看，但很多时候并不会照着上面显示的时间念，而是有意在它周围取一个很“特别”的近似告诉对方。比如，8:47我会告诉他8点三刻，14:20我会告诉他2:22，16:18我会告诉他16:16，12:35我会告诉他12:34。
    不行了，我要睡了。大家下午见。

    H.W.Richmond在1921年的第10期The Mathematical Gazette里提出了这样一个问题：
    任意写下一个数，再在它下面写下它的2倍、3倍、4倍、……、9倍。把这些数按位对齐，每一列里恰好有9个数字（前面几行中的首位为空时该位置视作0）。证明，每一列中至少有一个数字0或者数字9。
  



































    设我们最初写下的数为S，则这9个数分别为S, 2S, 3S, ..., 9S。假如某一列里任一个数字都不等于0或者9，这也就是说该列的所有9个数字都只能取1到8里的数，于是由鸽笼原理，必定存在两个数aS和bS，该位上的数字是相同的。不妨设a>b，于是，在aS-bS中，该位置上的数字必然只能是0或者9（这取决于它前面是否有借位），而aS-bS=(a-b)S显然也在这9行数里面。

题目来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/ZerosAndNines.shtml

    Benjamin Franklin是一个与Leonardo da Vinci同样神秘的人，他是一个伟大的物理学家、发明家、文学家、实业家、政治家、思想家、社会活动家。他一生中留下了许多的迷，电影National Treasure里提到的绝大多数关于Benjamin Franklin的事情都是真的。刚出版的一本名为Benjamin Franklin's Numbers: An Unsung Mathematical Odyssey的书中提到，人们还长期忽视了Benjamin Franklin的一些数学成就。Franklin曾计算过战争的经济开销，曾做过人口数预计，这都是没有先例的。其中，最有趣的数学创造还是要数Franklin的“另类幻方”。
    一个3x3的幻方是这样的一个九宫格，格子里写有1到9这9个数字，每一行、每一列和两条对角线上的三个数加起来都是一个相同的数。当然，更大一些的幻方也是存在的，例如你可以用前16个正整数排列成4x4的幻方。Franklin发明了一些另类的幻方，它的要求更加严格，但看上去似乎更有意思一些。Franklin在一封信中写道：“我不满足于这些普通的幻方，这都是很普遍、很简单的东西了。我给我自己强加了一些任务，然后成功地创造出了一些具有其它各种性质的幻方，它们看上去更加神奇。”Franklin创造了下面这个8x8的幻方，每种颜色的数字加起来都等于260，不同寻常的是，你有至少六种方法去解读它。
  

    更牛B的是Franklin的16x16幻方，他称它为“史上最神奇的幻方”。在这个幻方中，每一行、每一列和每一个“/\”形区域内的数字和都是2056。更不可思议的是，每一个4x4的子正方形内的数字之和也是2056 ！
  

    Franklin仍不感到满足。Franklin想，既然有“幻方”，为什么没有“幻圆”？于是Franklin构造出了下面这个图形。这个图形里，每一条半径、每一个同心圆和图中画出的每一个偏心圆内的数字加起来都是360。
  

    你可以从下面这个图中看出上图的偏心圆是怎么画出来的。
  

阅读更多：http://blog.sciencenews.org/mathtrek/2008/01/benjamin_franklin_plays_sudoku.html

    将123456789翻一倍，你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列：

123456789 x 2 = 246913578

    我们再次将246913578翻倍，发现：

246913578 x 2 = 493827156

    结果依旧使用了每个数字各一次。操，没完了吗？我们继续翻倍：

493827156 x 2 = 987654312

    牛B了，一个很有特点的数987654312，显然每个数字又只用了一次。
    你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成10位数了。不过，请看：

987654312 x 2 = 1975308624

    又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字0。再来？

1975308624 x 2 = 3950617248

    恐怖了，又是每个数字各出现一次。
    出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。
    但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后，虽然仍然是10位数，但偏偏就在这时发生了一次例外：

3950617248 x 2 = 7901234496 <-- 第一次出现例外

    于是，我们不得不相信，前面这一切很可能只是一个巧合，它背后并没有什么简单的原理。
    即使有办法解释这种巧合，解释方法可能也很麻烦。寻找一个漂亮的解释是一个有趣的课题。

10. 2008是所有元素均为非负整数，每一行每一列的数字和都等于3的4x4矩阵个数；
9. 2008是使2^n+3恰为素数的第一个大于2000的n；
8. 2008是广义Fibonacci数列1, 8, 9, 17, ... 的第14项；
7. 2008是质数251与它的各位数字之和的乘积；
6. 2008可以用两种方式表示成3个正整数的立方和。其中一种是10^3+10^3+2^3。你能找到另一种吗？
5. 2008是所有三位Lucas数的和；
4. 2008在三进制中是一个Kaprekar常数（就像十进制的6174一样）；
3. 2008表示了一个把时针和分针位置互换后仍然有意义的（精确到秒的）时刻（即00:20:08）；
2. 2008是在计算器上最小的需要24根数码管表示的数；
1. 2008将是你我最开心、最难忘、最有意义的一年！