UyHiP趣题:(√2 +√3)^1948小数点后第48位是多少?

    作为一个UyHiP的忠实粉丝,我决定把上个月的题目和解答翻译过来,即使类似的把戏我们之前已经见到过了。
    题目就一句话:根号2和根号3的和的1948次方的小数点后第48位是多少?如果你立即就想到了正确算法的话,我敢保证在别人还没打开Mathematica的时候你就已经得到答案了。

    这道题背后隐藏的把戏就是,(√2 +√3)^1948 + (√2 -√3)^1948永远是一个整数,因为展开之后偶数次幂本来就是整数,而奇数次幂的项恰好又正负互相抵消了。注意到√3 -√2只比0.3多一点,因此(√2 -√3)^1948是一个很小很小的数,粗略估算一下的话它小数点后面紧跟着好几百个“0”;而前面说了(√2 +√3)^1948和(√2 -√3)^1948加起来是个整数,那么前者的小数点后必然有相当长的一段数字9。保守估计的话,不但(√2 +√3)^1948小数点后的第48位是“9”,就是480位也是“9”。事实上,这个数的小数点后面900多位都是“9”。

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