2008-10-17 18:05| 
20 Comments | 本文内容遵从 你能想到的最大的数是多少？我电脑里A片的字节数？人体的细胞个数？整个地球的质量？宇宙间所有原子的个数？当然，在数学研究中，数学家们很可能会创造出一些比这些数都大的数。
1938年，数学家Edward Kasner的外甥发明了一个表示10^100的单词googol，这个数已经超过了宇宙中所有原子的个数。Pólya曾经猜想，小于等于n的正整数中，质因子个数为奇数的数不少于质因子个数为偶的数；1958年数学家C. B. Haselgrove首先给出了一个长达361位的反例。上个月，人们找到了一个新的Mersenne素数2^43112609-1，它一共有12978189位。1955年，数学家Stanley Skewes证明在不超过10^(10^(10^963))的范围内存在x满足π(x) > li(x)，其中π(x)表示不超过x的素数有多少个，而li(x)则是dt/ln(t)从0到x的定积分。
根据一项吉尼斯世界纪录，目前人类所创造的具有实际意义的最大的数是Graham数。
考虑这样一个问题：给定一个n维超立方体，连接这2^n个顶点所产生的所有点对，得到一个顶点数为2^n的完全图。对所有边进行红蓝二染色。是否可能找到某个n，使得在任意染色方案中总存在一个完全子图K_4，它的所有边都是一种颜色，并且四个顶点共面？我们通常把满足要求的最小的n记为N*。1971年，Graham和Rothschild证明了满足要求的n是存在的，并且给出N*的一个上界：N*<=g(64)，其中g(1)=3↑↑↑↑3，并且g(n)=3↑↑...↑3（共g(n-1)个“↑”）。“↑”是Knuth发明的一种数学符号，简单地说，它的定义如下：
注意并列的“↑”要从右至左计算。因此，m↑n就表示m^n，而m↑↑3则表示m↑m↑m，即m^(m^m)。
通常把这个g(64)叫做Graham数。Graham数有多大呢？这恐怕只能靠诸位想象了。上面这句话没有任何修辞手法，因为我们真的无法用任何现有的语言直观地说明这个数的大小。即使说它有多少位，或者它的位数有多少位，或者我们需要在前面那句话里嵌套进多少个“的位数”（相当于用n^n^n^...^n的形式来表示），也不能言出这个数的大小。
以前你好像一直没提新发现梅森素数的事，今天终于提了一下
板凳
地毯
我在一本很小很小的册子上面见到过 ↑ 符号
没想到这还有记录
取几次对数的话
用↑↑表示的数貌似还是不大的了
↑↑↑还是无法想象的..
en.wikipedia.org
http://en.wikipedia.org/wiki/Big_numbers
上有很多介绍
我想还是办法基于N*再构建更大的具有一定意义的数的。
如果将宇宙年龄类比成自然数的无穷大，这个N*貌似已经可以被认为是阿列夫1了。
↑这个符号，一个的话就是指数级，两个的话还能在纸上描绘出来，也就是指数的指数的指数上去一共n层楼。可是到三个↑的时候，纸上已经无法描绘了，不过心里面还是能想的清楚的。到四个↑的时候彻底晕倒了，大脑也已经无法想象到底怎么计算m↑n了。
文中的N*竟然是用它的前面一个级数来表示↑有多少个！真佩服那些数学家，如何处理这种根本无法想象的数字的。
有谁能想象g(N*)是怎么样子的么，嘿嘿
googol
想起了Google的由来~
Rothschild
让我想起了货币战争上的某人
传说某家族又50万亿美元家产....
[...] 真正牛B的是对k的归纳证明。我们下面尝试证明k=4、c=2的情况。由于当k=3时每325个数里面必然有一个等差数列，因此我们按每487个数一组进行分组。这样可以保证每一组里面的前325个数中总存在长为3的单色等差数列，并且该数列的第4个数也在该组内。注意，一个487元组共有2^487种染色方案，如果我们把它们看作2^487种不同的“广义颜色”，由k=3、c=2^487的情况知，必然存在3个组，这3个组的编号形成等差数列，并且它们的染色方案完全相同。于是我们考虑每一组中前325个数所形成的长为3的等差数列，并考虑该数列中第4个数的颜色：如果颜色相同，问题解决，否则便考察顺推下去的第4个组的相应位置上的数的颜色，它将别无选择。 类似地情况，我们可以归纳出任意大的k和任意大的c的情形。可想而知（或者说难以想象），用这种做法得出的N是何等的巨大，它将很快超出整个宇宙中任何具有实际意义的数字，其大小已经不能用通常的方式来记录了。不过，再大的N也是有限的。这个证明牛就牛在他的气势之宏大，以至于很多人都不敢想……当我读到2^487种颜色时，视野一瞬间广大得难以描述；并且当我向着k更大的方向看去时，不禁对数字表示深深的膜拜。 Posted in Brain Storm Tags: 组合数学, 证明, 惊奇数学事实Trackback: http://www.matrix67.com/blog/archives/1738/trackback 我猜您可能还喜欢： 趣题：用奇数个相同的多联骨牌组成轴对称图形 [...]
[...] 类似的东西不止一次地被提出过。两年前给大家介绍过世界上最大的数，当时就用到了 Knuth 箭头记号。这也是一种表示大数的方法，其思想与 Goodstein 记号几乎完全一样。 Ackermann 函数也是一个神速增长的函数，它的定义也有异曲同工之处。很多外文数学论坛则用 a [n] b 来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算，是我比较喜欢的一种符号。 [...]
[...] Graham 数 [...]
[...] 那么，在 3 之后最接近 3 的可测时间是 3 加上 2 的负多少次方呢？答案是 2 的 负 1 541 023 937 次方，可见烧绳子测量时间理论上有多精确。序列 1, 3, 10, 1 541 023 937 的增长速度之惊人，甚至可以说已经超过了指数级增长。那么，序列的下一项有多大呢？这个下一项真的可以说是大到难以想象了。即使说它有多少位，或者它的位数有多少位，也不能描述出它的大小。这个数必须用一些特殊的数学记号来表示，它大到甚至可以和 Graham 数 相提并论。 [...]
经我证明，0可以做分母，而且1/0不等于无穷大，它大于一切正数，小于一切负数。正负两头加起来，一个常数周期为0/2。所以，我准备投稿，并申报吉尼斯世界纪录。向世界宣布：人类目前创造的最大的有意义的数字是2/0，而不是Graham数。
Matrix67，你真该看看http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E6%96%87%E6%95%B8%E5%AD%97#.E5.A4.A7.E6.95.B8.E7.B3.BB.E7.B5.B1
LenenTom，3↑↑↑3取7625597484982次自然对数就差不多和“不可说不可说不可说”一样大了。
我猜只有N维的生物才可以理解到底有多大把，3g(64)就是一个64位空间的3边长的立方体容量咯？
到底是神魔
回复neo：too simple 那只有3^64