趣闻:世界上最大的数是多少?

    你能想到的最大的数是多少?我电脑里A片的字节数?人体的细胞个数?整个地球的质量?宇宙间所有原子的个数?当然,在数学研究中,数学家们很可能会创造出一些比这些数都大的数。
    1938年,数学家Edward Kasner的外甥发明了一个表示10^100的单词googol,这个数已经超过了宇宙中所有原子的个数。Pólya曾经猜想,小于等于n的正整数中,质因子个数为奇数的数不少于质因子个数为偶的数;1958年数学家C. B. Haselgrove首先给出了一个长达361位的反例。上个月,人们找到了一个新的Mersenne素数2^43112609-1,它一共有12978189位。1955年,数学家Stanley Skewes证明在不超过10^(10^(10^963))的范围内存在x满足π(x) > li(x),其中π(x)表示不超过x的素数有多少个,而li(x)则是dt/ln(t)从0到x的定积分。


    根据一项吉尼斯世界纪录,目前人类所创造的具有实际意义的最大的数是Graham数。
    考虑这样一个问题:给定一个n维超立方体,连接这2^n个顶点所产生的所有点对,得到一个顶点数为2^n的完全图。对所有边进行红蓝二染色。是否可能找到某个n,使得在任意染色方案中总存在一个完全子图K_4,它的所有边都是一种颜色,并且四个顶点共面?我们通常把满足要求的最小的n记为N*。1971年,Graham和Rothschild证明了满足要求的n是存在的,并且给出N*的一个上界:N*<=g(64),其中g(1)=3↑↑↑↑3,并且g(n)=3↑↑...↑3(共g(n-1)个“↑”)。“↑”是Knuth发明的一种数学符号,简单地说,它的定义如下:     

    注意并列的“↑”要从右至左计算。因此,m↑n就表示m^n,而m↑↑3则表示m↑m↑m,即m^(m^m)。
    通常把这个g(64)叫做Graham数。Graham数有多大呢?这恐怕只能靠诸位想象了。上面这句话没有任何修辞手法,因为我们真的无法用任何现有的语言直观地说明这个数的大小。即使说它有多少位,或者它的位数有多少位,或者我们需要在前面那句话里嵌套进多少个“的位数”(相当于用n^n^n^…^n的形式来表示),也不能言出这个数的大小。

37 条评论

  • wxnfifth

    以前你好像一直没提新发现梅森素数的事,今天终于提了一下

  • hetong_007

    地毯

    我在一本很小很小的册子上面见到过 ↑ 符号

    没想到这还有记录

  • cgy

    取几次对数的话
    用↑↑表示的数貌似还是不大的了
    ↑↑↑还是无法想象的..

  • Anonymous

    en.wikipedia.org
    http://en.wikipedia.org/wiki/Big_numbers
    上有很多介绍

  • 凌晨海风

    我想还是办法基于N*再构建更大的具有一定意义的数的。
    如果将宇宙年龄类比成自然数的无穷大,这个N*貌似已经可以被认为是阿列夫1了。

  • 凌晨海风

    ↑这个符号,一个的话就是指数级,两个的话还能在纸上描绘出来,也就是指数的指数的指数上去一共n层楼。可是到三个↑的时候,纸上已经无法描绘了,不过心里面还是能想的清楚的。到四个↑的时候彻底晕倒了,大脑也已经无法想象到底怎么计算m↑n了。
    文中的N*竟然是用它的前面一个级数来表示↑有多少个!真佩服那些数学家,如何处理这种根本无法想象的数字的。

  • 凌晨海风

    有谁能想象g(N*)是怎么样子的么,嘿嘿

  • 不再犹豫

    googol

    想起了Google的由来~

  • thebusyone

    Rothschild
    让我想起了货币战争上的某人
    传说某家族又50万亿美元家产….

  • dandan02468

    经我证明,0可以做分母,而且1/0不等于无穷大,它大于一切正数,小于一切负数。正负两头加起来,一个常数周期为0/2。所以,我准备投稿,并申报吉尼斯世界纪录。向世界宣布:人类目前创造的最大的有意义的数字是2/0,而不是Graham数。

  • LenenTom

    Matrix67,你真该看看http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E6%96%87%E6%95%B8%E5%AD%97#.E5.A4.A7.E6.95.B8.E7.B3.BB.E7.B5.B1

  • kpjmdpmur

    LenenTom,3↑↑↑3取7625597484982次自然对数就差不多和“不可说不可说不可说”一样大了。

  • neo

    我猜只有N维的生物才可以理解到底有多大把,3g(64)就是一个64位空间的3边长的立方体容量咯?

  • hoho

    回复neo:too simple 那只有3^64

  • qirenrui

    我发明了一个定义在n维空间第一?限格点上的函数
    太复杂了。。。。
    但那个函数真的很大
    我只写四元的吧
    A(0,0,0,n)=n+1
    A(a,b,c,d)=A(a,b,c-1,A(a,b,c,d-1))
    A(a,b,0,d)=A(a,b-1,A(a,b,0,d-1),0)
    A(a,0,0,b)=A(a-1,A(a,0,0,b-1),0,0)
    A(a,b,c,0)=A(a,b,c-1,1)
    A(a,b,0,0)=A(a,b-1,0,1)
    A(a,0,0,0)=A(a-1,0,0,1)
    所有没出现“-1”的变量是非负整数
    否则是正整数
    可以证明A???的值唯一
    我打赌A(0,1,0,1000)>g(64)
    记B(4)=A(1,1,1,1)
    B(4)>……
    但是,B(4)无实际意义。。。

  • holys**t

    回复qirenrui:这个函数很强大。。膜拜之
    用knuth的箭头记号,A(0,0,m,n)=2↑↑…↑(n+3)-3 (共m-2个’↑’) (减3加3是一件很神奇的事情。。)
    那么如果设f(m)=2↑↑…↑3-3 (共m-2个’↑’)(-1个’↑’就是加法,0个’↑’就是乘法,这个’↑’定义的不是很好啊。。),
    A(0,1,0,1000)就是用f函数对1进行1000次迭代的结果!!
    我也认为A(0,1,0,1000)>g(64),因为他们都是对’↑’的个数进行迭代,虽然基数不一样,但在迭代次数面前连浮云都不算!

  • austin

    回复qirenrui:这是Ackermann函数的扩展吧,http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function

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