Arrow不可能性定理:独裁是唯一完美的选举制度

    由于某些原因,最近在整理以前的日志。偶然翻到这篇日志时,顺便在 Wikipedia 复习了一下 Arrow 不可能性定理的证明,惊奇地发现这个定理的证明过程非常困难但又非常初等,是一个门槛很低、老少咸宜的思维游戏。虽然不少人都翻译过 Wikipedia 上的这段证明,但我也想自己写一个自己的理解,一来做个笔记,二来也锻炼一下自己的表达能力。

    Arrow 不可能性定理是一个与选举制度有关的定理。选举制度,说穿了就是把所有选民的意见综合成一个全体意见的算法。选民的意见,无非是候选对象在心目中谁优谁劣,完整地反应在选票上,就是候选对象们从优到劣的一个顺序;形式最完整的全体意见,也就是候选对象的这么一个排列。因此,我们可以把整个选举制度想像成一个函数,输入 n 个排列(相当于 n 张选票),将会输出一个排列(相当于选举结果)。对输入数据的任何一处小改变,都有可能导致输出结果随之变化。作为一个合理的选举制度,它必须满足一些起码的要求。我们提出两个最基本的选举制度要求:

      1. 如果每张选票都认为 X 比 Y 好,那么投票结果中 X 的排名也必须比 Y 更靠前;
      2. 如果每张选票中 X 、 Y 的相对排名都不改变,那么投票结果中 X 和 Y 谁先谁后也不能变。

    我们将证明,同时满足上述两个条件的选举制度只有一种,就是选举结果唯一地由其中某个选民的选票决定。也就是说,独裁是唯一一种完美的选举制度。为了简便起见,让我们假设候选人只有 A 、 B 、 C 三个人。你会发现,下面的证明过程很容易扩展到多个人的情况。

Read more…

公用品悲剧:污染环境损人损己人尽皆知 为何危机依然存在?

    公用品悲剧是微观经济学中又一个非常有趣的话题。从一些简单的假设出发,通过一系列数学推导,我们能够得出一些乍看之下很不可思议的结论。利用这个结论,生活中的很多反常的现象都有了合理的解释。
    一个经典的公用品悲剧实例就是过度放牧的问题。同样一块牧场,如果为私人所有,牧场主将会非常合理地规划牧场,让放牧数量达到一个理论上的最优值;但是,如果这是一块公共牧场,则所有人都会争抢牧地,从而导致过度放牧,放牧数量远远大于最优值,最终每个人都得不到什么好处。可能有人会觉得这个现象并不难理解——既然是一块无人管制任人使用的公共牧场,人人都能在这里放牧,过度放牧自然就会不可避免地出现了。但是,仔细一想你会发现这个解释是有问题的:每一个来牧场放牧的人,自己心里也都知道,过度放牧对整个大局是不利的,自己的收益也会随之降低。既然人人都知道过度放牧不好,为什么最后来放牧的人还是越来越多呢?私有牧场和公共牧场的区别到底在哪儿?我们可以借助数学工具来帮助我们分析这个问题。

Read more…

微观经济学之定价策略(下):两部分定价与捆绑销售

    为了榨干消费者的每一分钱,除了价格歧视以外,商家还想出了各种招数。一种看上去似乎与此无关的定价策略叫做“两部分定价”。游乐园、酒吧之类的地方广泛存在两部分定价的现象,即在消费者消费之前必须先一次性支出一定数量的“入场费”,入场之后才可以按单价支付你所消费的商品。为什么商家要把费用分成这么两层呢?其实,根本目的还是在于从消费者手中赚到更多的钱。
    为了说明为什么两部分定价能赚到更多,我们不妨以游乐园来举例。为了简便起见,我们假设游乐园里只有一个游乐项目,比方说过山车。去游乐园的人只有一个目的,就是去玩儿过山车。不过,过山车老玩儿也没意思,随着玩儿的次数增加,游客获得的“爽感”将逐渐减小,具体地说坐第 n 次过山车只能给他带来相当于 100-10n 元的价值(这也就是他第 n 次乘坐过山车愿意支付的最高价格)。我们再假设,运营过山车的成本是平均每人次 60 元。那么,游乐园应该怎样定价才能从消费者手中赚到最多呢?

Read more…

微观经济学之定价策略(上):价格歧视

    上学期学校之外的事情特别多,因此开学时选的课比以前所选的都要少。开学两周后又退掉了不少的课,期中又补退掉了几门,最后整个学期惊人地只上了 16 学分的课。在这 16 学分里,又有 13 学分的专业课我基本上就没去过,其中古代文学史我就只去过两次,期末考试前只复习了一天,最后以近乎裸考的状态大摇大摆地走进了考场,异常平静地面对挂科的危险。因为我觉得,重要的是学到自己想学的知识,而不是用各种手段获取更高的绩点。那些几乎完全依赖于考前背诵的期末考试没有任何价值,我甚至愿意用挂科来表达自己的这一观点。
    上学期我真正去上过的课只有一个 3 学分的选修课,中级微观经济学。在这门课中,我大开眼界,学到了一种分析问题的全新思维,其价值远远超过了那 13 学分的专业课,可以说是我上学期的学习中唯一的收获。在微观经济学中,垄断定价是我认为最有趣的东西之一。我想把这些简单而深刻的经济学分析与大家分享,即使网上或许已经充斥着大量介绍有关内容的文章了。大家会在微观经济学中惊奇地发现,初中所学的那些数学知识竟然有如此美妙的应用。

Read more…

瓶魔悖论与不完全信息

    The Bottle Imp 是一则有意思的短篇小说。某日,小说里的主人公遇上了一个怪老头。怪老头拿出一个瓶子,说你可以买走这个瓶子,瓶子里的妖怪就能满足你的各种愿望;但同时,持有这个瓶子会让你死后入地狱永受炼狱之苦,唯一的解法就是把这个瓶子以一个更低的价格卖给别人。如果你是小说里的主人公,你会不会买下这个瓶子呢?你会以什么价格买下这个瓶子呢?
    以什么价格买入这个瓶子,这个问题貌似并不容易回答。你当然不愿意花太多的钱,在你的愿望被满足之前你至少还得给自己留一点钱花;但你也不能花太少的钱,否则你会承担着卖不出去的风险。但是,在做出一些理性的分析后,我们得出了一个惊人的结论:任何人都不应该以任何价格购买这个瓶子。
    和很多博弈问题一样,这一系列的分析首先从最简单的情形开始。首先,你是绝对不能只出 1 分钱就买下这个瓶子的,因为这样的话这个瓶子就永远也卖不出去了——没有比 1 分钱更低的金额了。那么,用 2 分钱买瓶子呢?这样理论上貌似是可行的,但仔细一推敲你会发现还是有问题——这样你只能以 1 分钱卖掉这个瓶子,但没有人会愿意用 1 分钱去买瓶子(否则他就卖不掉了)。因此,用 2 分钱买下瓶子后,你同样找不到下一个买家。和上面的推理一样,用 3 分钱买这个瓶子也不是什么好主意,因为没有人愿意以 1 分钱或 2 分钱购入瓶子,因此你的瓶子不可能卖得掉。依此类推,你不应该以任何价钱去购买这个瓶子,因为每个人都知道,他无法以任何价格卖掉这个瓶子。

Read more…