Alphametic 是指这样一种有趣的文字游戏。在一个用字母组成的加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。如果算式成立，那么这个数字谜有唯一解。而 Alphametic 的精髓就在于，整个算式本身也必须“有意义”。最经典的 Alphametic 可能是这个：

        SEND + MORE = MONEY

    它的唯一解是 9567 + 1085 = 10652 。

    就像灯谜、对联一样，作为一种文字游戏， Alphametic 也有很多异常牛 B 的，比如：

        EARTH + AIR + FIRE + WATER = NATURE

    1969 年，有人发现了这样一个有趣的 Alphametic：

        THREE + THREE + TWO + TWO + ONE = ELEVEN

    这样的 Alphametic 叫做 Doubly-True Alphametic 。可以证明上面这个 Doubly-True Alphametic 是合法的 Alphametic 中“最小的”一个。一个稍微大一点的 Doubly-True Alphametic 为：

        SEVEN + SEVEN + SIX = TWENTY

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    IBM Ponder This 上个月的题目很有意思：利用各种数学函数和数学符号，用两个数字 2 得到一个 5 。不过，有一些限制条件：
    1. 只能够使用两次数字 2 。因此，像 2 + 2 + 2/2 这样的算式是不行的。
    2. 不允许使用变量，因此 (2x + 2x + x)/x 也是不合法的。
    3. 不允许使用其它常量，因此 2 + 2 + ln(e) 是不合法的，因为用到了常量 e 。诸如 (2+i)(2-i) 的妙解也因此被禁止了。
    4. 不允许使用取整类的函数，否则问题就太简单了，例如⌈√(2*2)!⌉。

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电子公告板上的式子原本是正确的，只是因为有一个像素点坏了，才显示出如此荒谬的结果。
你能看出是哪一个像素点坏了吗？

题目来源：http://www.braingames.ru/?path=comments&puzzle=393
答案很简单，这里就不公布了……

    小学时经常在计算器上面按12345679这个神秘的8位数。这个数牛就牛在，它乘以9的结果正好等于111111111。你可以在计算器上输好12345679，然后问MM“你的幸运数字是多少”；如果她说“7”，你就在计算器上按“乘以63”，计算器上将会显示出清一色的7字，看上去无比壮观。
    假如123456789×9=1111111111的话，我倒不会觉得奇怪。网上流行过一个火星帖子，写了一大堆诸如111111111 * 111111111 = 12345678987654321的式子来展示数学之美，以至于大家会认为123456789×9的结果也一定是一串很有规律的数字。因此，如果我不在这里说一句123456789×9其实并不等于1111111111的话，估计很多人都发现不了问题。事实上，123456789×9=1111111101，偏偏就差一个“1”。而怪就怪在，去掉被除数中的数字“8”，偏偏又有了12345679×9=111111111，一个极其别扭的算式反而得到了完美的结果。不要让你的直觉被数学之美所蒙蔽，数学上有大量出人意料的、看上去很不对称的结论。
    为什么偏偏要少一个“8”呢？难道这真的是算术中的一个不可抹去的疤痕？我们急需要寻求一个解释，填补上算术中的这个不和谐的“漏洞”。一种解释是，我们看到了123456789×9=1111111101并不美观，想要对其进行改造，进而得到(123456789+1)*9 = 1111111101+9 = 1111111110，于是(123456789+1)*9/10 = 12345679*9 = 111111111。用这种办法的确可以解释“迷失的8”，不过这个解释并不漂亮。为了寻求一个更好的解释，我们来看一看111111111和9的关系。

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    将123456789翻一倍，你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列：

123456789 x 2 = 246913578

    我们再次将246913578翻倍，发现：

246913578 x 2 = 493827156

    结果依旧使用了每个数字各一次。操，没完了吗？我们继续翻倍：

493827156 x 2 = 987654312

    牛B了，一个很有特点的数987654312，显然每个数字又只用了一次。
    你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成10位数了。不过，请看：

987654312 x 2 = 1975308624

    又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字0。再来？

1975308624 x 2 = 3950617248

    恐怖了，又是每个数字各出现一次。
    出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。
    但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后，虽然仍然是10位数，但偏偏就在这时发生了一次例外：

3950617248 x 2 = 7901234496 <-- 第一次出现例外

    于是，我们不得不相信，前面这一切很可能只是一个巧合，它背后并没有什么简单的原理。
    即使有办法解释这种巧合，解释方法可能也很麻烦。寻找一个漂亮的解释是一个有趣的课题。

    在没有Mathematica这种牛B东西的年代，我们用电脑做数学题时，电脑只能返回一长串的小数。但你那小数精确到多少位都没用，我们做作业总是要求最终结果是一个表达式的形式。于是，当时我就在想，计算器可以计算出一长串表达式的值，但有没有计算器可以根据足够精确的数值反过来推出表达式呢？
    今天果然发现了这样一个牛B东西：在线反符号计算器(Inverse Symbolic Calculator, ISC)。输入足够多位的小数，它可以告诉你这个数是由什么表达式得到的。比如，你输入10.5916630466254391，系统会告诉你它是两倍根号23加1；输入1.8994432200976623351，系统会告诉你它是cos(1)的值加上e的一半；输入0.3732821739073952，系统会告诉你它是Γ(1/3)的倒数。它到底有多牛B呢？我试过一些比较复杂的式子。它竟然能准确地算出，11.1457467760047553180356168160是(2√2 + 1)/3 + π^2。

链接：http://ddrive.cs.dal.ca/~isc/standard.html

    下面这道题来自今年的Virginia Tech Rigeonal数学比赛（不知道该咋翻好）。比赛时间为两个半小时，一共有7道题，这是第5题：
    找出下面这个数小数点后第三位上的数字：(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))

    这个问题有趣的地方就是，你真的可以用一个简单的办法估算出答案来。为什么不先试试看？











































    我们需要求出(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))小数点后第三位上的数。首先，(1+√2)^(-1)就等于(√2-1)，而二项式展开后你会发现(√2 + 1)^(2n) + (√2 - 1)^(2n)总是一个整数（根号2的奇数次幂总是一正一负抵消）。同样地，((√5 + 2)^(2n) + (√5 - 2)^(2n)) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 - 1)^(2n))也是一个整数，于是(√5 + 2)^(2n) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 - 1)^(2n))和(√5 - 2)^(2n) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 - 1)^(2n))的小数部分是互补的（相加为1），我们可以依据后面这个数的小数部分来确定前面这个数（也即题目要求的数）的小数部分。而当n较大时，后面这个数很可能会变得非常小。事实上，当n=50时，

  (√5 - 2)^100 * ((√2 + 1)^100 + (√2 - 1)^100)
< (√5 - 2)^100 * 2((√2 + 1)^100)
< (1/4)^100 * 2((5/2)^100)
= 2(5/8)^100

    可以断定，这是一个非常非常小的数，小数点后面紧跟着的0至少有10个。这足以说明，题目里那个数的小数点后面十几位全部是9。事实上，
(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))
= 94158733601034420664808450657998303298219601745567527892456021922994
  873597395955752869490271254871747.9999999999999999999999996186915243
  507242961564029332966750212181162222265977213142686546252118999....
    小数点后一共有24个9。

本文来源：http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/PowersOf10.shtml