或许你从小就一直在思考的两个算术问题

你是否很小就注意到了下面这两个有趣的算术现象?这两个简单的算术谜题是否一直都困扰着你?今天,大家终于有机会解开谜团了。

问题一: 2 加 2 等于 4 , 2 乘 2 也等于 4 。还有其他的整数对,它们的和与积也相等吗?

我们要求的就是 m + n = mn 的整数解。方程可以变为 mn – m – n + 1 = 1 ,也就是 (m – 1)(n – 1) = 1 。由于 m 、 n 都是整数,因此 m – 1 和 n – 1 也都是整数。两个整数之积为 1 ,只有两种情况——这两个数都是 1,或者这两个数都是 -1 。前者对应了 m = 2, n = 2 ,后者解出来则是 m = 0, n = 0 。如果把 (0, 0) 看作平凡解(或者如果我们把问题限制在正整数范围)的话,非平凡解就只有 (2, 2),没有其他的了。

2015 年 5 月 19 日更新:我又学到了三种新的证明方法。这里,我们统一把问题限制在正整数范围内。

  1. 不妨假设 m ≤ n 。如果 m ≥ 3 的话,那么 mn ≥ 3n > 2n = n + n ≥ m + n = mn ,矛盾。因此, m 只能是 1 或者 2 。但是,如果 m = 1 的话, m + n = mn 就变成了 1 + n = n ,这显然无解。所以, m 只能等于 2 。原方程变为 2 + n = 2n ,解得 n = 2 。
  2. 不妨假设 m ≤ n 。由于 m + n = mn ,因而 m = mn / n = (m + n) / n = m / n + 1 。但是,当 m < n 时, m / n + 1 根本不是整数。所以 m = n 。因此, m + n = mn 就变成了 2m = m2 ,显然 m 只能等于 2 。因此, n 也只能等于 2 。
  3. 首先注意到, m · (n – 1) 一定是 m 的倍数。但是, m · (n – 1) = m · n – m = m + n – m = n 。这说明, n 一定是 m 的倍数。根据同样的道理, m 也一定是 n 的倍数。所以, m 和 n 一定是两个相等的数。因此, m + n = mn 就变成了 2m = m2 ,显然 m 只能等于 2 。因此, n 也只能等于 2 。

以上是 2015 年 5 月 19 日更新的内容。

有趣的是,如果三个正整数之和恰好等于它们的乘积,解也只有一个:(1, 2, 3) 。更有趣的是,如果四个正整数之和恰好等于它们的乘积,解仍然是唯一的:(1, 1, 2, 4) 。如果五个数呢?这一回,解就不止一个了,(1, 1, 2, 2, 2) 、 (1, 1, 1, 3, 3) 、 (1, 1, 1, 2, 5) 都是满足要求的解。

我们自然想问,对于哪些 n,“n 个正整数的和恰好等于它们的积”有唯一解。让人意想不到的是,这竟然是一个数学未解之谜。目前已经知道,在 n < 13 587 782 064 的范围内,只有 n = 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174, 444 时有唯一解。是否有其他满足要求的 n ,这个问题至今仍未解决。

 

问题二: 2 的 4 次方等于 16 , 4 的 2 次方也等于 16 。还有其他的正整数 m 和 n ,使得 m 的 n 次方和 n 的 m 次方也相等吗?

当然,我们忽略所有 m = n 的平凡解。另外,当 m = 1 时,有 1n = n1 ,于是 m = n = 1 。因此,下面我们都假设 2 ≤ m < n 。

等式两边同时除以 mm,有

mn/mm = nm/mm

mn – m = (n/m)m

由于等式左边是一个整数,因此等式右边也一定是一个整数,可见 n 一定是 m 的整数倍。不妨令 n = k·m ,其中 k 是一个大于等于 2 的整数。于是上式继续变为:

mkm – m = km

mm(k – 1) = km

两边同时开 m 次方,有

mk – 1 = k

当 k = 2 时,上式化为 m1 = 2,于是我们找到一组非平凡解 m = 2, n = 4 。

如果 k = 3 呢?上式将变为 m2 = 3。注意到我们的 m 至少等于 2 ,因此 m2 至少也是 4 ,是不可能等于 3 的。

如果 k 更大呢?mk – 1 肯定会更大,更不可能等于 k 了。我们用数学归纳法证明这一点。

假设 mk – 2 > k – 1,那么mk – 1 = m · mk – 2 > m(k – 1) ;但 m 是大于等于 2 的,因而 m(k – 1) ≥ 2(k – 1) ;但 k 是大于等于 3 的,因此 2(k – 1) = 2k – 2 > k。

因此, (2, 4) 是这个算术问题的唯一一组非平凡解。

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