– 1 + 2^7 = 127 这样的算式有多少个?

    或许有人会对算式 5^2 = 25 有一种特别的偏好——等式左右两边都用到了相同的数字,让人深感奇妙。类似的算式还有很多,例如

      5^(6 – 2) = 625
      (4 / 2)^10 = 1024
      ((86 + 2 * 7)^5 – 91) / 3^4 = 123456789

    我们自然而然地提出了这样一个问题:这样的算式究竟有多少呢?答案是:无穷多。只需要借助本文一开始提到的算式 5^2 = 25 ,我们就能轻易构造出无穷多个同样满足这种神奇性质的算式来:

      50^2 + 0 = 2500
      500^2 + 0 + 0 = 250000
      5000^2 + 0 + 0 + 0 = 25000000
      ……

    现在,让我们来看看另一类更加精妙的算式:等式两边的数字顺序也完全一样!

      – 1 + 2^7 = 127
      (3 + 4)^3 = 343
      16^3 * (8 – 4) = 16384

    这样的算式是否仍然有无穷多个呢?


 
    答案仍然是肯定的,并且有趣的是,它的构造仍然可以由经典算式 5^2 = 25 扩展得到。把前面提到的 50^2 + 0 = 2500 稍微改造一下,我们便可以得到一个两边数字顺序也相同的等式:

      2 + 50^2 = 2502

    它可以继续衍生出无穷多个满足要求的式子:

      2 + (500 + 0)^2 = 250002
      2 + (5000 + 0 + 0)^2 = 25000002
      2 + (50000 + 0 + 0 + 0)^2 = 2500000002
      ……

    由此可见,即使要求等式两边的数字顺序也一模一样,符合要求的式子依旧有无穷多个。

 
    不过,上面这些构造都只在十进制中成立。在其它进制下,这种算式还是无穷多的吗?上个月的 UyHiP 谜题中就讨论了这个有趣的话题。事实上,我们只需要一个巧妙的构造就可以说明,在所用进制中,这种算式都有无限多。考虑算式

        (m + 9/9) * (9 + 9/9)^(9 + 9/9) – 9/9
      = (m + 1) * 10^10 – 1
      = m * 10^10 + 9999999999

    显然对任意正整数 m ,等式最左边和最右边所用的数字(包括顺序)都完全相同。我们很容易对这个式子进行改造,使它适用于任一进制。例如,为了得到一个八进制下的公式,只需要把式中的 9 全部换成 7 ,然后把指数部分改为 77 + 7/7 + 7/7 + 7/7 + … 。注意到每添加一个 7/7 将使得算式中多出两个 7 ,但计算结果中只会多出一个 7 。因此,只要初始时把指数设为一个比算式中已有 7 的数目更大的数(比如 77 ),在其后面不断添加 7/7 ,总有一个时候计算结果和算式中数字 7 的个数恰好一样多。

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