- 1 + 2^7 = 127 这样的算式有多少个？
icon2 Brain Storm | icon4 2010-05-05 0:36| icon321 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    或许有人会对算式 5^2 = 25 有一种特别的偏好——等式左右两边都用到了相同的数字，让人深感奇妙。类似的算式还有很多，例如

      5^(6 - 2) = 625
      (4 / 2)^10 = 1024
      ((86 + 2 * 7)^5 - 91) / 3^4 = 123456789

    我们自然而然地提出了这样一个问题：这样的算式究竟有多少呢？答案是：无穷多。只需要借助本文一开始提到的算式 5^2 = 25 ，我们就能轻易构造出无穷多个同样满足这种神奇性质的算式来：

      50^2 + 0 = 2500
      500^2 + 0 + 0 = 250000
      5000^2 + 0 + 0 + 0 = 25000000
      ......

    现在，让我们来看看另一类更加精妙的算式：等式两边的数字顺序也完全一样！

      - 1 + 2^7 = 127
      (3 + 4)^3 = 343
      16^3 * (8 - 4) = 16384

    这样的算式是否仍然有无穷多个呢？


 
    答案仍然是肯定的，并且有趣的是，它的构造仍然可以由经典算式 5^2 = 25 扩展得到。把前面提到的 50^2 + 0 = 2500 稍微改造一下，我们便可以得到一个两边数字顺序也相同的等式：

      2 + 50^2 = 2502

    它可以继续衍生出无穷多个满足要求的式子：

      2 + (500 + 0)^2 = 250002
      2 + (5000 + 0 + 0)^2 = 25000002
      2 + (50000 + 0 + 0 + 0)^2 = 2500000002
      ......

    由此可见，即使要求等式两边的数字顺序也一模一样，符合要求的式子依旧有无穷多个。

 
    不过，上面这些构造都只在十进制中成立。在其它进制下，这种算式还是无穷多的吗？上个月的 UyHiP 谜题中就讨论了这个有趣的话题。事实上，我们只需要一个巧妙的构造就可以说明，在所用进制中，这种算式都有无限多。考虑算式

        (m + 9/9) * (9 + 9/9)^(9 + 9/9) - 9/9
      = (m + 1) * 10^10 - 1
      = m * 10^10 + 9999999999

    显然对任意正整数 m ，等式最左边和最右边所用的数字（包括顺序）都完全相同。我们很容易对这个式子进行改造，使它适用于任一进制。例如，为了得到一个八进制下的公式，只需要把式中的 9 全部换成 7 ，然后把指数部分改为 77 + 7/7 + 7/7 + 7/7 + ... 。注意到每添加一个 7/7 将使得算式中多出两个 7 ，但计算结果中只会多出一个 7 。因此，只要初始时把指数设为一个比算式中已有 7 的数目更大的数（比如 77 ），在其后面不断添加 7/7 ，总有一个时候计算结果和算式中数字 7 的个数恰好一样多。

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21 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2010-05-05 1:00 | lxyxynt 说：

    顶完再看

  • 楼层: 板凳 | 2010-05-05 2:41 | mickey 说：

    这个问题怎么形式化表示？。。。

  • 楼层: 地毯 | 2010-05-05 3:36 | LK 说：

    想起了那个愚人节算式...
    http://www.matrix67.com/blog/archives/3105

  • 楼层: 地板 | 2010-05-05 7:40 | youngshore 说：

    那满足a+b^c=100a+10b+c的最小正整数组是多少？a,b,c间有什么规律？

  • 楼层: 地下室 | 2010-05-05 8:16 | @AndyBear 说：

    不错。。不错。。

  • 楼层: 地基 | 2010-05-05 10:35 | 小昊昊 说：

    第一次留言，这么靠前阿~

  • 楼层: 地壳 | 2010-05-05 10:46 | chyanog 说：

    第一次坐板凳哦，坐上再看

  • 楼层: 地幔 | 2010-05-05 12:26 | Climber.pI 说：

    占座

  • 楼层: 地核 | 2010-05-05 19:20 | holysky5 说：

    靠前

  • 楼层: 10楼 | 2010-05-05 23:51 | xsf72006 说：

    支持。很有趣。

  • 楼层: 11楼 | 2010-05-05 23:54 | www.28.com 说：

    这个不看答案还真的不知道

  • 楼层: 12楼 | 2010-05-05 23:56 | www.3158.cn 说：

    做一做，看一看

  • 楼层: 12a楼 | 2010-05-06 0:11 | biohu 说：

    佩服小广告。。。

  • 楼层: 14楼 | 2010-05-07 3:05 | tanghall 说：

    孩子，你真厉害。

  • 楼层: 15楼 | 2010-05-07 11:21 | wuzhengkai 说：

    构造的思想很NB

  • 楼层: 16楼 | 2010-05-08 0:44 | www.28.cn 说：

    不是很NB，是非常NB

  • 楼层: 17楼 | 2010-05-08 0:49 | www.3158.com 说：

    一个很有意思的算式

  • 楼层: 18楼 | 2010-05-09 6:59 | XD 说：

    这个不是Using Your Head is Permitted上今年4月的题么？

  • 楼层: 19楼 | 2010-05-23 9:36 | cx 说：

    如果要求每一边都没有重复数字呢？

  • 楼层: 20楼 | 2011-08-15 14:11 | orbea jersey 说：

    恩 有许多！

  • 楼层: 21楼 | 2011-10-19 19:03 | minglingmaster 说：

    我最欣赏的一个是：
    5/2=2.5
    （当然，这是小数的范围）

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