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    前两篇文章中，我们提到了两个用杠杆原理解决数学问题的例子。这篇文章将从另一个物理领域出发，探索光学的一个重要原理与几何极值问题的关系。
    物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现，很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是Fermat原理，它指出了光的传播路径的一个重要规律：光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下Fermat原理，该系列后面的文章里将会用到这一原理。
    Fermat原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”，意思是光线传播的路径总是满足这样一个规律：它总能使光在最短的时间内到达目的地。这个原理完美地统一了直线传播定律、反射定律和Snell定律，解释了为什么光线总是沿直线传播，为什么入射角等于反射角，以及光线在不同介质间传播为什么会发生折射现象。
    在Ted Chiang的著名科幻小说The Story of Your Life里有这样一段形象的描述：

    “好，这是一条光线从空气射进水中所走的路线。在碰到水面前，光线沿着直线前进；水有不同的折射率，所以光改变了前进方向。你以前听过这个，对吗？”
    我点点头，“当然。”
    “现在关于光所走路线有个有趣的性质。这条路线是这两点之间可能的最快的路线。”
    “又来了？”
    “想象一下，光线沿着这条路线前进。”他在图解中加了条虚线。
    “这条假想中的路线比光实际走的路线要短。但是光在水中前进的速度比在空气中小，而这条假想的路线的很大一部分是在水中的，所以光沿着这条假想的路线所花的时间要比沿着实际路线要长。”
    “好，我明白了。”
    “现在想象一下，假设光沿和另一条路线前进。”他画了第二条虚线。
    “这条路线减少了在水中的比例，但总长增加了。光沿着这条假想的路线所花的时间也要比沿着实际路线要长。”
    Gary放下粉笔，用蘸着粉笔屑的手指指着黑板上的图解，“任何假想的路线都比实际的要花更多的时间。换一句话说，光线走的路线是最有可能走得走快的一条。这就是Fermat定理的最小时间原理。”

    你发现Fermat原理有什么奇怪的地方了吗？你是不是感觉Fermat原理很诡异，但自己也说不清楚到底是为什么诡异？仔细想想你会发现，“最快到达”这种原理显然是不符合我们的行为方式的：假如我是光，我的传播规律是“最快到达”，但此时我要传播到哪里还不知道呢。Ted Chiang的小说对此也做出了详细的描述：

    “然而我仍要问你关于Fermat定理的东西。它的一些东西让我感到奇怪，但我不能正确指出那是什么。它只是不像是物理法则。”
     Gary的眼睛闪了一下，“我打赌我知道你想谈什么，”他用筷子把锅贴夹成两半，“你习惯于用起因和结果来思考折射：光照到水面上是起因，方向的变化是结果。但Fermat定理听上去很古怪，因为它以目的的形式来描述光的行为。它就像是光线的指挥官，‘你应该将抵达目的的时间最小化或最大化。’”
    我想了一下，“继续说。”
    “这是物理法则的一个老问题。人们在17世纪Fermat定理第一次成形时就一直在谈论它。Planck写了好几卷。本质是，普通的物理法则的表述是具有因果关系的，而像Fermat定理的可变法则具有目的性，几乎是目的论。”
    “嗯，这样解释道挺有趣。让我想一下。”我拿起一支标签笔，在餐巾纸上画了幅图解，就是Gary在我的黑板上画的那幅，“好，”我想我很大声地说道，“那么让我们假设光的目的是要沿着最快的路线前进。这样的话，光如何走呢？”
    “好吧，假若按人类行为学来说，光得检验每条可能的路线并计算每条得花多少时间。”他从盘子里戳起最后一块锅贴。
    “那样做的话，”我继续道，“光线得知道目的在哪儿。假如目的地在某某其他地方，最快的路线就会不同。”
    Gary再次点点头，“完全正确。‘最快的路线’的概念是无意义的，除非有特定的目的地。计算沿着一条假想的路线需多长时间也需要关于在这条路线上有什么东西的信息，比如水面在哪？”
    我继续看着纸巾上的图解，“在光开始移动前，它得事先知道所有这一切，对吗？”
    “这样说来，”Gary说，“光线不能沿着老路前进，然后再在后来返回。因为引起这样行为的路线不是最快的。在一开始光就已经做好了全部的计算。”
    我心中暗想，在光线能够选择它移动的方向前，它已经知道它最终会在那里结束。我知道这让我想起了什么，我抬起头看着Gary，“这让我困扰。”

  
    上面的论述似乎很抽象。我们来看一个实际的数学问题。这个问题有点怪，和其它的问题很不一样。给出一个点A，给出两个圆O1、O2，再给定O1上的一点B，问O2上是否存在一点C，使得B点的位置恰好能让AB+BC达到最小，也即对于O1上异于B的任一点B'都有AB'+B'C > AB+BC。你一时间可能找不到这个点C，这很正常，但光可以立即找到这个点C。因为从Fermat原理的角度看，光的思维方式是“逆向”的，这个别扭的题目正好顺应了它的思维方式。只要沿AB发射一条光线，在圆O1表面上发生反射后的光线与O2的交点即为点C。因为，A->B->C这条光路符合光的传播性质，这条路径是所有经过O1上一点到C的路径中最短的一条，其它所有的B'都会使光程增加。事实上，光就有这种神奇的本领：不管之前有过多少反射点，有过多少折射点，这条光线今后传播到的每一个点都满足这种无比别扭的“以它为终点则前面的定点均已达到最优”的性质。对于光来说，这是顺理成章的事；但从我们的角度来看，还没到目的地便能确保路径最优是很不可思议的。我们会习惯性地认为，光从A点出发往B走之前必须得先知道它的终点是C，然后才会知道B可以使光程最短，因此它才会往B走。这是明显有悖于我们熟知的因果关系的。或许说，这个世界本没有什么因果关系，仅仅是因为人类的思维被禁锢在了因果链式思维中？


    接下来，我们举两个火星例子。两个都是经典的小学奥赛题。
  
    问题1：给定直线l同侧的两点A和B，在直线上找一点C使得折线ACB最短。
    问题2：角ABC内有一点P，请在AB上找一点M，BC上找一点N，使得三角形PMN的周长最短。
    类似的问题还有很多。很多这类几何极值问题都和Fermat原理有直接关系。考虑这样一种物理解法：将问题中的所有直线想象成镜面。对于问题1，在点A处发射光线，并不断调整初始方向，直到在某个角度时光线经反射过B点；对于问题2，在点P处发射光线，并不断调整初始方向，直到在某个角度时光线经两次反射回到P点。由Fermat原理，这两条路径都满足光程最短，途中的反射点是最优解。这直接导出了下面的结论：上述两个问题达到最优，当且仅当路径中每相连的两条折线段与对应的动点所在直线具有相等的夹角。
  
    下面考虑这两个问题的纯几何解法。对于问题1，作出点A关于直线l的对称点A'，那么A'B与直线l的交点就是我们要求的C；对于问题2，分别作出点P关于AB和BC的对称点P1、P2，则P1、P2的连线与AB、BC的交点就是我们要求的M和N。几何解法的正确性也是显而易见的：把AC转移到A'C，把PM和PN分别转换为P1M和P2N，问题就变成了求两点间的最短距离，显然两点间以直线距离最短。
    无论从数学方面看还是从物理方面看，这两种解法都是等价的。从几何解法的构造中我们可以轻易推出入射角与反射角相等，而这个几何构造说穿了就是作出光源的镜像，与物理解法没有本质上的区别。

    在接下来的两篇文章里，我们会提到另外两个精彩的数学问题，它们既可以用Fermat原理来解决，同时也可以从力学的角度来阐述。

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    今年恰逢PKU数学文化节十周年，其间开办的很多讲座我都去了。去听讲座的人好像都是数院的，我恐怕是唯一一个中文系的。考虑到我和中文系的MM没有共同话题，因此每一次听讲座时我都会顺便四处打望，看看有没有数院的美女，下来可以和她“交谈”一下。有趣的是我的做法与常人所想的恰好相反：据说数院的已经盯上中文系的MM了，而我一个中文系的竟然反过来去找数院的MM。
    昨天有一个关于非欧几何的讲座，这是目前所有的讲座中最为精彩的一次。讲座里提到了Poincaré的一个双曲几何模型，感觉非常有意思，在这里和大家分享一下。
    在所有的双曲几何模型中，Poincaré的圆盘模型可能是最有趣的一个。这个双曲世界存在于一个有限的平面区域里，整个世界限制在一个单位圆的范围内。这个世界中有两个最重要的物理定律：一，假如某物体X离原点O距离为d，那么该物体的温度为1-d^2；二，物体的大小与温度成正比。这样，假如某个人从这个世界的中心走向边缘，那么他的温度会从1慢慢变成0，同时整个人慢慢变小。他自身大小改变的同时周围的物体也等比例地放大或缩小，而这个世界里的人视野有限，看不见远处的东西，因此他不会觉得自己变小了或者变大了。因此，在这个世界里，物理学家们能够很轻易地发现第一定律，但要发现第二定律则非常具有挑战性，探索第二定律的过程必然很曲折，并且很可能出现哥白尼时代的故事。
    对于我们来说，这个世界是有界的；但对于这个世界中的人来说，这个世界是无穷大的。因为离原点越远，人就越小，于是相对来说他们所看到的空间也就越大。当人的位置趋于边界时，物体大小趋于0，此时的空间将变得无穷大，因此这个世界中的物体永远无法到达边界。同时，离原点越远的话越接近“绝对零度”，这将非常不适宜生物的生存，因此人们大多居住在原点，离原点越远城市规模越小，更远的地方则完全没有开发过，只适合于疯狂的冒险家进行极限运动。于是这个世界中的物理学家很自然地得到这个结论：世界是无穷大的。
    下面就神奇了。现在，考虑某个人想从A点走到B点。如果按照红色的线段直直地走过去，所走的路程并不是最短的，因为这条路线离原点较远。聪明的人会发现，我先往原点方向走一点，然后再到B点去，这样走的路程更短一些。我们猜想，最短路线很可能是一条偏向于原点的弧线（就好像原点把直线段“吸”过去了一样）。之所以产生这种奇怪的现象是因为，离原点越远物体就越小，人的步子也变小了，相对来说实际空间就变大了。因此，对我们来说距离相等的两点，对他们来说离原点越远其实际距离越大。因此，我们有必要重新定义这个双曲世界中“距离”的概念。由于物体大小与1-d^2成正比，因此我们可以定义，如果在离原点距离为d的位置上有一个充分小的位移，在我们看来距离为Δx，那么在这个世界中的实际距离就是Δx/(1-d^2)。这样就可以算出，从A到B的最近路线是一条垂直于边界的圆弧（蓝色的那条）。于是在这个世界中，“直线段”已经不再是我们熟悉的直线段了，而是一条条的弧线（还包括整个圆的直径）。而我们眼中的直线，在他们看来就是曲线。
      
    这个世界中的几何满足欧式几何的前面四个公设，但不满足第五公设。比如，两点确定一条直线，因为过两点的圆弧只有一条垂直于这个世界的边界；而直线可以无限延长，因为离边界越近两点的实际距离越大，你永远走不到尽头。但是，这个世界不满足第五公设。从图2可以看到，过一点可以作无数条直线不与已知直线相交；从图3可以看到，三角形的内角和小于180度。下面这幅图片可以帮助你更好地理解这个双曲模型。这是该平面上的一个三角形剖分，里面的所有三角形都是等边三角形，而且所有这些三角形都是一样大的。你可以看到7个等边三角形共用一个顶点，这说明三角形的内角和小于180度。

      

    另外值得一提的是，这个构想很适合写成一篇科幻小说。记得大刘的那篇科幻吗？一群电子器件诞生在某颗星球的内核，然后探索物理定律，历经重重困难，最终冲破了它们那个世界的“天然外壳”，看到了外面的世界，并相信我们整个宇宙也处于一个更大的星体内。这个双曲几何模型也很适合写出这样的小说来，比如以物理史书的方式叙述从古至今若干个传奇人物的故事，讲述他们是如何从一些奇怪的现象出发，通过各种试验证明自己的猜想，顶住社会各方面的压力，执著地探索宇宙的奥秘。小说中的人物可以带着读者一起进行探索，最后才告诉读者这个宇宙的本质是什么。

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    前面那篇日志里大家的讨论都很激烈，我很高兴。axgle的发言让我想起了这样一个非常有趣的例子。这是我很喜欢的一个科幻构想，我曾经在进位制讲解中引用过它。这里再次引用，表达我的另一个比较奇异的观点。

    语文和数学永远是最基础的两门学科，从小学开始我们就一直在接触它们。这两门学科教给人两种截然不同的思维方式，理性的思考和感性的思考。在众多学科中，可能只有语文是不需要逻辑思维的，大多数时候你只需要跟着你的感觉走。有时候我常常在想，如果人类文明没有发展出数学这门学科，只具有感性思维的能力，那么世界将会怎样。Robert J. Sawyer的科幻小说《Calculating God》里就构想了这样一个世界。小说中提到，人类有10根手指，因此发展出了满十进一的计数系统。10是前四个正整数的和，又是2和5的积，这样的进位制非常适合数学的发展。但小说中构想的一种外星生物却没有那么好的运气——它有23根手指。这种别扭的数字最多只能让人联想到乔丹和染色体，除此之外没有任何特性。这给这种生物的数学发展带来不可逾越的障碍。而事实上，这种生物恰好又没有发展数学的必要性。他就好像人类一样，对较小的物体个数具有直接感知的能力。人类可以直接感知的物体数量一般不超过6。也就是说，如果你眼前有3个，或者5个东西，你不需要数，看一眼就知道有多少个；但当你眼前出现的物体数目达到7个或者8个时，你就必须要数一数才知道个数了。而我们所说的生物面对的物体数目多达46个时仍然可以一眼分辨出多少来，数目超过46后就统称为“很多”了。46这个数字对于种族的生存已经完全足够了，他们在组建部落时总会保证部落里的个体数不超过这个数字。因此，这种生物不需要数数的能力，他们也就无须发展数学了。作为一种补偿，他们对事物的感知能力相当敏锐。他们甚至直接凭直觉感知到了相对论，因为他们的思维不受演绎逻辑的束缚。演绎逻辑思维正在限制我们的思想吗？或许，只具有感性思维的能力是一件好事。

    Flatland是一部巨经典的科学幻想小说，小说里构造了一个全新的世界──这个世界是二维的！整个小说分成两个部分，前一部分系统地描述这个二维世界，包括自然状况、居民生活、政治历史等等。真正有趣的事情发生在后一部分里，这里不同维度的世界之间发生了碰撞——二维世界中的主人公拜访了一维世界，同时又接触到了一个全新的三维世界。当他在他的世界传播三维思想时，整个世界大乱，哥白尼时代的那段故事再次发生。
    Flatland: The Movie是由此改编的一个动画短片，整个电影大约30分钟。官方网站上已经放出了电影的预告片，看起来非常有意思：




下面是一个两分多钟的片段：



原版小说：http://xahlee.org/flatland/index.html
陈忱译《神奇的二维国》：http://www.matrix67.com/data/flatland.html
官方网站：http://flatlandthemovie.com/
imdb链接：http://www.imdb.com/title/tt0814106/

现在，你可以在官方网站上订购学校教育专用的特别版DVD，价格是120美元；30美元的个人版DVD还要过几个月才能订购。

    前几年有一个电影叫做Robot Stories，讲述有关机器人与人的四个独立的小故事。记得当时《科幻世界》上曾对这个电影有过介绍。下面这段视频是电影的片头动画，非常有意思：

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    Showtime有部美剧叫做Masters of Horror，请了一大帮人来拍恐怖短片。不过我不太感兴趣。这次abc也做了一件类似的事情，根据众多科幻短篇故事改编的Masters of Science Fiction，每一集都讲述着一个完全不同的科幻故事。第一季暂时只预定了六集，现在第一集已经播出，目前看来评价并不高。

官方网站：http://www.mastersofscifi.com/site/
abc链接：http://abc.go.com/specials/mastersofscifi.html
tv.com链接：http://www.tv.com/masters-of-science-fiction/show/58459/summary.html
imdb链接：http://www.imdb.com/title/tt0772139/
第一集BT下载（中文字幕）：http://bt.ydy.com/view.php?tid=45009 （我还没看）

    那年出事了，封面故事和高考作文题撞车，各大报纸都在登载相关消息。那是我第一次听说《科幻世界》。从那时起我迷上了科幻小说，甚至还动手写过几篇。当时我成为了忠实的传教士，向周围的朋友不断推荐科幻小说。01年到03年这三年里，《科幻世界》的作品质量达到顶峰，以后的银河奖征文再也没有超越过这三年。后来科幻世界又出版了一系列国外长篇科幻小说，加之以前买的一些零散的科幻长篇，我的科幻书放满了一排书架。我上高中后，《科幻世界》变味了，从文化领域发展到商业领域，没完没了地推出副刊和单行本。《科幻世界》本身的作品质量急剧下降，杂志中到处充斥着冒充科幻的奇幻和杂文。又由于后来我忙于OI，于是暂时离开了科幻的世界。虽然现在我已经不再看《科幻世界》，但我仍然保留了通过科学幻想来活动头脑、激发创意的习惯。在所有电影类型中Sci-Fi仍然是我的最爱。
    在所有的小说中，科幻小说是最具智慧的。刘慈欣、王晋康、何夕、韩松等一代大师的创造力和想象力令人敬佩。但其中思想最机灵、最敏捷的，非柳文扬莫属。
    柳文扬的“惊天大作”不多。他更擅长于短篇小说的创作。和美国著名的短篇小说家Robert Sheckley一样，他的作品极具想象力，构思机智巧妙，结局往往意想不到而又在情理之中，最后以一个令人拍案叫绝twist收尾。小说中穿插着“柳式”幽默，给向来比较黑暗的科幻小说营造了一种轻松的气氛。前面提到的很多大师都创作过不少场景壮观宏大的中篇小说以及史诗级的长篇小说，但很少有短小精悍的短篇小说出炉，而柳文扬则正好填补了这一空白。精妙的短篇小说往往更让人喜爱，中国科幻小说界还需要更多像柳文扬这样的作家。
    在柳文扬的众多作品中，我最喜欢的是短篇小说《一日囚》。我至今仍记得《一日囚》的第一句话：“B先生死了。就在他搬进这座大楼不到二十四小时”。我将永远记住2008年8月18日这一天并期待着看一看这一天到底会发生什么。《一日囚》是难得一见的佳作，在我看来是柳文扬最具代表性的作品之一，它使得所有同题材的短篇小说黯然失色。还记得第一次看这篇文章后晚上竟没睡着觉，因为文章的结尾太令人激动了。在向朋友们推荐科幻小说时我总是先让他们看两篇比较软的科幻，一篇就是《一日囚》，还有一篇何夕的《伤心者》。
    柳文扬的一系列封面故事也令人印象深刻。在我看《科幻世界》的那段时间里，封面故事栏目近一半都是柳文扬写的。封面故事几乎成了柳文扬的专利。很可惜我没看过《惊奇档案》上柳文扬的一系列专栏文章，据称那才真正体现出柳文扬的个性与智慧。
    现在已经很久没有接触科幻小说了，因此不太关注科幻界的相关新闻。刚才才得知柳文扬去世的消息，在这里写下一些文字表示纪念。
    最后我在这里引用一篇柳文扬早期的科幻小小说，还不曾接触科幻小说或对柳文扬不太熟悉的网友可以看看。这段连高考作文都不够字数的文字却可以充分体现出柳文扬的机敏才智。

托马斯叔叔的推荐信
作者：柳文扬

    他最后怯生生地瞧我一眼，因为害怕保安人员，脸色还红白不定。那身打扮活像《摩登时代》里的卓别林。
    “您真的连推荐信都不看吗？”他恳求道。
    半小时之前他甩掉了门卫溜进办公室，就结结巴巴地对我说什么父母双亡，托马斯叔叔供他上学到十六岁等等。又说别人不相信他的发明，要送他进疯人院。全世界最聪明的托马斯叔叔也没法子，只好叫他到这儿来找“管事的”，还带了一封推荐信。
    他的“发明”其实就是一块装在金属腰带上的表，不值一看。很多年轻人都象他一样，患有“发明妄想症”。不过他更象轻度弱智，话都说不连贯，自动转椅也不会用。那个什么托马斯多半是乡村学校的教师，这类“伯乐”我见多了，井底之蛙而已。
    “一会儿我还有个会，”我尽量耐心地说，“你先回家好吗？”
    “他们不相信我，托马斯叔叔说他们都是白痴。您不看看推荐信吗？”
    “一会儿看，一定看。”我敷衍着他，端起咖啡杯。
    他愤然说：“您跟他们一样。您……也是白痴！”
    咖啡差点泼出来。我从高处盯者他，警卫慢慢向他逼近。
    他脸色苍白，慌忙伸手拨弄了“腰带表”上什么见鬼的玩意儿，一下子就不见了。
    警卫和我都惊呆了──这小子是什么人物？
    我楞了片刻，赶紧扯开那封推荐信，信上是这么写的：
    “先生们：我向你们推荐一位罕世天才。在我周围的世界里，骄傲与愚蠢蒙蔽着人们的眼睛，使他们看不到这个年轻人的杰出之处。我死后将无人再庇护他了，只有把他托付给你们：他的希望在二十一世纪。请让这孩子发挥出所有的才能吧，人类历史会为此改写。
                                 托·阿·爱迪生”